測量誤差及數(shù)據(jù)處理

1、第一章測量誤差及數(shù)據(jù)處理物理實驗的任務(wù)不僅是定性地觀察各種自然現(xiàn)象，更重要的是定量地測量相關(guān)物理量。而對事物定量地描述又離不開數(shù)學(xué)方法和進(jìn)行實驗數(shù)據(jù)的處理。因此，誤差分析和 數(shù)據(jù)處理是物理實驗課的基礎(chǔ)。本章將從測量及誤差的定義開始，逐步介紹有關(guān)誤差和 實驗數(shù)據(jù)處理的方法和基本知識。誤差理論及數(shù)據(jù)處理是一切實驗結(jié)果中不可缺少的內(nèi)容，是不可分割的兩部分。誤差理論是一門獨(dú)立的學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)事業(yè)的發(fā)展，近 年來誤差理論基本的概念和處理方法也有很大發(fā)展。誤差理論以數(shù)理統(tǒng)計和概率論為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，研究誤差性質(zhì)、規(guī)律及如何消除誤差。實驗中的誤差分析，其目的是對實驗 結(jié)果做出評定，最大限度的減小實驗誤差，或

2、指出減小實驗誤差的方向，提高測量質(zhì)量, 提高測量結(jié)果的可信賴程度。對低年級大學(xué)生，這部分內(nèi)容難度較大，本課程盡限于介 紹誤差分析的初步知識，著重點(diǎn)放在幾個重要概念及最簡單情況下的誤差處理方法，不 進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，減小學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，有利于學(xué)好物理實驗這門基礎(chǔ)課程。第一節(jié)測量與誤差物理實驗不僅要定性的觀察物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān) 系。因此就需要進(jìn)行定量的測量，以取得物理量數(shù)據(jù)的表征。對物理量進(jìn)行測量，是物 理實驗中極其重要的一個組成部分。對某些物理量的大小進(jìn)行測定，實驗上就是將此物 理量與規(guī)定的作為標(biāo)準(zhǔn)單位的同類量或可借以導(dǎo)出的異類物理量進(jìn)行比較，得出結(jié)論， 這個比較的

3、過程就叫做測量。例如，物體的質(zhì)量可通過與規(guī)定用千克作為標(biāo)準(zhǔn)單位的標(biāo) 準(zhǔn)祛碼進(jìn)行比較而得出測量結(jié)果；物體運(yùn)動速度的測定則必須通過與二個不同的物理 量，即長度和時間的標(biāo)準(zhǔn)單位進(jìn)行比較而獲得。比較的結(jié)果記錄下來就叫做實驗數(shù)據(jù)。 測量得到的實驗數(shù)據(jù)應(yīng)包含測量值的大小和單位，二者是缺一不可的。國際上規(guī)定了七個物理量的單位為基本單位。其它物理量的單位則是由以上基本單位按一定的計算關(guān)系式導(dǎo)出的。因此，除基本單位之外的其余單位均稱它們?yōu)閷?dǎo)出單位。如以上提到的速度以及經(jīng)常遇到的力、電壓、電阻等物理量的單位都是導(dǎo)出單位。一個被測物理量，除了用數(shù)值和單位來表征它外， 還有一個很重要的表征它的參數(shù)， 這便是對測量結(jié)果

4、可靠性的定量估計。這個重要參數(shù)卻往往容易為人們所忽視。設(shè)想如 果得到一個測量結(jié)果的可靠性幾乎為零，那么這種測量結(jié)果還有什么價值呢？因此，從 表征被測量這個意義上來說，對測量結(jié)果可靠性的定量估計與其數(shù)值和單位至少具有同等的重要意義，三者是缺一不可的。測量可以分為兩類。按照測量結(jié)果獲得的方法來分，可將測量分為直接測量和間接 測量兩類，而從測量條件是否相同來分，又有所謂等精度測量和不等精度測量。根據(jù)測量方法可分為直接測量和間接測量。直接測量就是把待測量與標(biāo)準(zhǔn)量直接比較得出結(jié)果。如用米尺測量物體的長度， 用天平稱量物體的質(zhì)量，用電流表測量電流等， 都是直接測量。間接測量借助函數(shù)關(guān)系由直接測量的結(jié)果計算

5、出所謂的物理量。例如已知了路程和時間，根據(jù)速度、時間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測量。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測量儀器的改進(jìn)，很多原來只能間接測量的量，現(xiàn)在可以直接測量了。比如電能的測量本來是間接測量，現(xiàn)在也可以用電度表來進(jìn)行直接測量。物理量的測量，大多數(shù)是間接測量，但直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。根據(jù)測量條件來分，有等精度測量和非等精度測量。等精度測量是指在同一（相同）條件下進(jìn)行的多次測量，如同一個人，用同一臺儀器，每次測量時周圍環(huán)境條件相同，等精度測量每次測量的可靠程度相同。反之，若每次測量時的條件不同，或測量儀器改變，或測量方法、條件改變。這樣所進(jìn)行的一系

6、列測量叫做非等精度測量，非等精度測量的結(jié)果，其可靠程度自然也不相同。物理實驗中大多采用等精度測量。應(yīng)該指出：重復(fù)測量必須是重復(fù)進(jìn)行測量的整個操作過程，而不是僅僅為重復(fù)讀數(shù)。測量儀器是進(jìn)行測量的必要工具。熟悉儀器性能。掌握儀器的使用方法及正確進(jìn)行讀數(shù)，是每個測量者必備的基礎(chǔ)知識。如下簡單介紹儀器精密度、準(zhǔn)確度和量程等基本概念。儀器精密度是指儀器的最小分度相當(dāng)?shù)奈锢砹?。儀器最小的分度越小，所測量物理量的位數(shù)就越多，儀器精密度就越高。對測量讀數(shù)最小一位的取值，一般來講應(yīng)在儀器最小分度范圍內(nèi)再進(jìn)行估計讀出一位數(shù)字。如具有毫米分度的米尺，其精密度為1 毫米，應(yīng)該估計讀出到毫米的十分位；螺旋測微器的精密度

7、為0.01 毫米， 應(yīng)該估計讀出到毫米的千分位。儀器準(zhǔn)確度是指儀器測量讀數(shù)的可靠程度。它一般標(biāo)在儀器上或?qū)懺趦x器說明書上。如電學(xué)儀表所標(biāo)示的級別就是該儀器的準(zhǔn)確度。對于沒有標(biāo)明準(zhǔn)確度的儀器，可粗略地取儀器最小的分度數(shù)值或最小分度數(shù)值的一半，一般對連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小分度數(shù)值的一半，對非連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小的分度數(shù)值。在制造儀器時，其最小的分度數(shù)值是受儀器準(zhǔn)確度約束的，對不同的儀器準(zhǔn)確度是不一樣的，對測量長度的常用儀器米尺、游標(biāo)卡尺和螺旋測微器它們的儀器準(zhǔn)確度依次提高。量程是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍（有時也將所能測量的最大值稱量程）測量過程中，超過儀器量程使用儀

8、器是不允許的，輕則儀器準(zhǔn)確度降低，使用壽命縮短，重則損壞儀器。誤差與偏差測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實數(shù)據(jù)，但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及觀測者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，也就是說，一個被測量值N與真值No之間總是存在著這種差值，這種差值稱為測量誤差，即AN=N-No顯然誤差A(yù)N有正負(fù)之分，因為它是指與真值的差值，常稱為絕對誤差。注意，絕對誤差不是誤差的絕對值！誤差存在于一切測量之中，測量與誤差形影不離，分析測量過程中產(chǎn)生的誤差，將影響降低到最低程度，并對測量結(jié)果中未能消除的誤差做出估計，是實驗中的一項重要 工作，也是實驗的基本技能。實驗總是根據(jù)

9、對測量結(jié)果誤差限度的一定要求來制定方案 和選用儀器的，不要以為儀器精度越高越好。因為測量的誤差是各個因素所引起的誤差 的總合，要以最小的代價來取得最好的結(jié)果，要合理的設(shè)計實驗方案，選擇儀器，確定 采用這種或那種測量方法。 如比較法、替代法、天平復(fù)稱法等，都是為了減小測量誤差； 對測量公式進(jìn)行這樣或那樣的修正，也是為了減少某些誤差的影響；在調(diào)節(jié)儀器時，如 調(diào)儀器使其處于鉛直、水平狀態(tài)，要考慮到什么程度才能使它的偏離對實驗結(jié)果造成的 影響可以忽略不計；電表接入電路和選擇量程都要考慮到引起誤差的大小。在測量過程 中某些對結(jié)果影響大的關(guān)鍵量，就要努力想辦法將它測準(zhǔn)；有的測量不太準(zhǔn)確對結(jié)果沒 有什么影響

10、，就不必花太多的時間和精力去對待，在進(jìn)行處理數(shù)據(jù)時，某個數(shù)據(jù)取到多少位，怎樣使用近似公式， 作圖時坐標(biāo)比例、尺寸大小怎樣選取，如何求直線的斜率等， 都要考慮到引入誤差的大小。由于客觀條件所限、人們認(rèn)識的局限性，測量不可能獲得待測量的真值，只能是近 似值。設(shè)某個物理量真值為X0 ,進(jìn)行n次等精度測量，測量值分別為X1, X2,Xn,（測量過程無明顯的系統(tǒng)誤差）。它們的誤差為-X1 X1- x0=-X2 = X2 _ X0Xn =Xn -Xo求和當(dāng)測量次數(shù)nnXi = '' Xii =4i z4nn二'Xi' Xi=4i 4nnnn一oo,可以證明上一0,而nnXo

11、- X0n工Xi _1 = X 是 X0的最佳估計值,n稱X為測量值的近似真實值。為了估計誤差，定義測量值與近似真實值的差值為偏差：即Xi =Xi -X。偏差又叫做“殘差”。實驗中真值得不到，因此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準(zhǔn)確知道，實驗誤差分析中要經(jīng)常計算這種偏差，用偏差來描述測量結(jié)果 的精確程度。相對誤差E表木:絕對誤差與真值之比的百分?jǐn)?shù)叫做相對誤差。用 NE = x100 %N0由于真值無法知道，所以計算相對誤差時常用 N代替N0。在這種情況下，N可能是公認(rèn)值，或高一級精密儀器的測量值，或測量值的平均值。相對誤差用來表示測量的相對精 確度，相對誤差用百分?jǐn)?shù)表示，保留兩位有效數(shù)字。系統(tǒng)

12、誤差與隨機(jī)誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差是指在一定條件下多次測量的結(jié)果總是向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾個方面：（1）儀器誤差。它是由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的 誤差；（2）理論誤差。它是由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒灄l件不能 達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測量方法等所帶來的誤差；（3）觀測誤差。它是由于觀測者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤差。例如，用“落球法”測量重力加速度，由于空氣 阻力的影響，多次測量的結(jié)果總是偏小，這是測量方法不完善造成的誤差；用停表

13、測量 運(yùn)動物體通過某一段路程所需要的時間，若停表走時太快，即使測量多次，測量的時間 t總是偏大為一個固定的數(shù)值，這是儀器不準(zhǔn)確造成的誤差；在測量過程中，若環(huán)境溫 度升高或降低，使測量值按一定規(guī)律變化，是由于環(huán)境因素變化引起的誤差。在任何一項實驗工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減、小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對測量結(jié)果進(jìn)行修正。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差需要改變實驗條 件和實驗方法，反復(fù)進(jìn)行對比，系統(tǒng)誤差的消除或減小是比較復(fù)雜的一個問題，沒有固 定不變的方法，要具體問題具體分析各個擊破。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因可能不止一個，一 般應(yīng)找出影響的主要因素， 有針對性地消除或減小系統(tǒng)誤差。以下介紹

14、幾種常用的方法。檢定修正法：指將儀器、量具送計量部門檢驗取得修正值，以便對某一物理量測量 后進(jìn)行修正的一種方法。替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個已知標(biāo)準(zhǔn)量 替換被測量來減小系統(tǒng)誤差的一種方法。如消除天平的兩臂不等對待測量的影響可用此辦法。異號法：指對實驗時在兩次測量中出現(xiàn)符號相反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數(shù)會產(chǎn)生一個附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動180。再進(jìn)行一次測量，外磁場將對讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，引起負(fù)的附加誤差。兩次測量結(jié)果平 均，正負(fù)誤差可以抵消，從中可以減小系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差在實際測量條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值符號

15、的變化，時大時小、時正時負(fù)，以不可預(yù)定方式變化著的誤差叫做隨機(jī)誤差，有時也叫偶然誤差。當(dāng)測量次數(shù)很多時，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差 服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布），其特點(diǎn)是：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性）；絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同（對稱性）；絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性）；誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零（抵償性）。因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。引起隨機(jī)誤差的原因也很多。儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。如儀器顯示數(shù) 值的估計讀數(shù)位偏大和偏?。粌x器調(diào)節(jié)平衡時，平衡點(diǎn)確定不準(zhǔn)；測

16、量環(huán)境擾動變化以 及其他不能預(yù)測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾，電源電壓波動引起測量的變化 等。由于測量者過失，如實驗方法不合理，用錯儀器，操作不當(dāng)，讀錯數(shù)值或記錯數(shù)據(jù) 等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差，只要測量者采用嚴(yán)肅認(rèn)真的 態(tài)度，過失誤差是可以避免的。實驗中，精密度高是指隨機(jī)誤差小，而數(shù)據(jù)很集中；準(zhǔn)確度高是指系統(tǒng)誤差小，測 量的平均值偏離真值??；精確度高是指測量的精密度和準(zhǔn)確度都高。數(shù)據(jù)集中而且偏離 真值小，即隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都小。測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評價測量結(jié)果的術(shù)語，但目前使用時其涵義并 不盡一致，以下介紹較為普遍采用的

17、意見。測量精密度表示在同樣測量條件下，對同一物理量進(jìn)行多次測量，所得結(jié)果彼此間 相互接近的程度，即測量結(jié)果的重復(fù)性、測量數(shù)據(jù)的彌散程度，因而測量精密度是測量 偶然誤差的反映。測量精密度高，偶然誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。測量準(zhǔn)確度表示測量結(jié)果與真值接近的程度，因而它是系統(tǒng)誤差的反映。測量準(zhǔn)確 度高，則測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較小，測量的系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)較分散，偶 然誤差的大小不確定。測量精確度則是對測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差的綜合評定。精確 度高，測量數(shù)據(jù)較集中在真值附近，測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差都比較小。隨機(jī)誤差的估算對某一測量進(jìn)行多次重復(fù)測量，其測量結(jié)果服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，也就是正

18、態(tài)分布（或高斯分布）。我們用描述高斯分布的兩個參量（x和b）來估算隨機(jī)誤差。設(shè)在一組測量值中，n次測量的值分別為：x1,x2，xn1 .算術(shù)平均值根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測量的算術(shù)平均值一 16x = xin a（1）是待測量真值x0的最佳估計值。稱7為近似真實值，以后我們將用X來表示多次測量的近似真實值。2.標(biāo)準(zhǔn)偏差誤差理論證明，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx = '.'x =n'、xi -x i 1.n -1（貝塞爾公式）(2)其意義表示某次測量值的隨機(jī)誤差在-x 十%之間的概率為68.3%。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)n有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為(3)其意義是測量

19、平均值白隨機(jī)誤差在_仃文+仃又之間的概率為68.3%?；蛘哒f，待測量的真值在&_仃 &+仃 帝圍內(nèi)的率為 68.3%。因此仃*反映了平均值接近真值的程xxx度。標(biāo)準(zhǔn)偏差二x標(biāo)準(zhǔn)偏差仃x小表示測量值密集， 即測量的精密度高；標(biāo)準(zhǔn)偏差仃x大表示測量值分 散，即測量的精密度低。估計隨機(jī)誤差還有用算術(shù)平均誤差、2ox、3仃x等其它方法來表木的。異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有幾種，有3crx準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。1 . 3Ox準(zhǔn)則統(tǒng)計理論表明，測量值的偏差超過3Ox的概率已小于1%。因此，可以認(rèn)為偏差超過3仃x的測量值是其他因素或過失造成的， 次測量所得的一系列數(shù)據(jù)

20、，算出各測量值的偏差xj與3 bx比較，若Axj>3Ox,則認(rèn)為第后，對余下的各測量值重新計算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差,為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多xi和標(biāo)準(zhǔn)偏差把其中最大的j個測量值是異常數(shù)據(jù)， 舍去不計。剔除xj并繼續(xù)審查，直到各個偏差均小于 3ax為止。2 .肖維準(zhǔn)則假定對一物理量重復(fù)測量了 n次，其中某一數(shù)據(jù)在這 n次測量中出現(xiàn)的幾率不到半 次，即小于工，則可以肯定這個數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不合理的，應(yīng)當(dāng)予以剔除。2 n根據(jù)肖維準(zhǔn)則，應(yīng)用隨機(jī)誤差的統(tǒng)計理論可以證明，在標(biāo)準(zhǔn)誤差為。的測量列中,若某一個測量值的偏差等于或大于誤差的極限值K仃，則此值應(yīng)當(dāng)剔出。不同測量次數(shù)的誤差極限值K。列于下表。表1肖維系數(shù)表nKCTnKCTnKCT41.53 仃101.96。162.16。51.65。112.00 d172.18。61