2010高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（10）三角恒等變換學(xué)案

1、三角恒等變換【學(xué)法導(dǎo)航】1.三角函數(shù)的化簡與求值、證明的難點在于眾多三角公式的靈活運用和解題突破口的合理選擇，要認真分析所給式子的整體結(jié)構(gòu)，分析各個三角函數(shù)及角的相互關(guān)系是靈活選用公式的基礎(chǔ)，是恰當(dāng)尋找解題思維起點的關(guān)鍵所在（1）化簡，要求使三角函數(shù)式成為最簡：項數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的求出值來；（2）求值，要注意象限角的范圍、三角函數(shù)值的符號之間聯(lián)系與影響，較難的問題需要根據(jù)上三角函數(shù)值進一步縮小角的范圍（3）證明是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進行變換使其左右相等2.對于三角變換公式務(wù)必要知道

2、其推導(dǎo)思路，從而清晰地“看出”它們之間的聯(lián)系，它們的變化形式.如， 等.從而可做到:正用、逆用、變形用自如使用各公式；三角變換公式除用來化簡三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準備。3.三角函數(shù)恒等變形的基本策。常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。項的分拆與角的配湊。如分拆項：;配湊角(常用角變換):、等.降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan=確定。

3、4. 三角恒等變換過程與方法，實際上是對三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即（1）找差異：角、名、形的差別；（2）建立聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，名、形之間可以用哪個公式聯(lián)系起來；（3）變公式：在實際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運用或逆用公式，如升、降冪公式， cos= coscos（-）- sinsin（-） ，1= sin2+cos2，=tan（450+300）等?！緦ｎ}綜合】例1. （05天津）已知，求及解：解法一：由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得，即由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得 故由和式得，因此，由兩角和的正切公式解法二：由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得，解得，即由可得

4、由于，且，故a在第二象限于是，從而以下同解法一小結(jié)：1、本題以三角函數(shù)的求值問題考查三角變換能力和運算能力，可從已知角和所求角的內(nèi)在聯(lián)系（均含）進行轉(zhuǎn)換得到2、在求三角函數(shù)值時，必須靈活應(yīng)用公式，注意隱含條件的使用，以防出現(xiàn)多解或漏解的情形例2. 已知為銳角的三個內(nèi)角，兩向量，若與是共線向量. （1）求的大??； （2）求函數(shù)取最大值時，的大小.解：（1）， （2）小結(jié)：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意例3. 設(shè)關(guān)于x的方程sinxcosxa0在(0, 2)內(nèi)有相異二解、.(1)求的取值范圍; (2)求tan()的值. 解: (1)sinxcosx2(sinxcosx)2 sin

5、(x), 方程化為sin(x).方程sinxcosxa0在(0, 2)內(nèi)有相異二解, sin(x)sin . 又sin(x)±1 (當(dāng)?shù)扔诤?#177;1時僅有一解), |<1 . 且. 即|a|<2且a. a的取值范圍是(2, )(, 2). (2) 、 是方程的相異解, sincosa0 . sincosa0 . 得(sin sin)( cos cos)0. 2sincos2sinsin0, 又sin0, tan.tan().小結(jié)：要注意三角函數(shù)實根個數(shù)與普通方程的區(qū)別，這里不能忘記(0, 2)這一條件.例4.中，已知內(nèi)角，邊.設(shè)內(nèi)角,面積為.(1)若，求邊的長；(2

6、)求的最大值. 解：（1）由正弦定理得： （2）的內(nèi)角和 ， = ，當(dāng)即時，取得最大值.小結(jié)：本題將三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形（正、余弦定理等）綜合，考查學(xué)生靈活運用知識的能力例5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實數(shù)的取值范圍解：已知條件實際上給出了一個在區(qū)間上恒成立的不等式任取，且，則不等式恒成立，即恒成立化簡得由可知：，所以上式恒成立的條件為：.由于且當(dāng)時，所以 ,從而 ,有 ,故 的取值范圍為.【專題突破】一、選擇題1若，則的值為（）2.=（ ）A. B. C. 2 D. 3.函數(shù)是（ ）A周期為的奇函數(shù) B周期為的偶函數(shù)C周期為的奇函數(shù) D周期為的偶函數(shù)4求值（ ）A B C D

7、5已知，則（ ）A B C D6函數(shù)的最小正周期是（ ）A. B. C. D.7在ABC中，則ABC為（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D無法判定8設(shè)，則大小關(guān)系（ ）A B C D9函數(shù)是（ ）A.周期為的奇函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的偶函數(shù)10已知，則的值為（ ）A B C D11、已知，且，則的值是 （ ） A、 B、 C、 D12、已知不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、二、填空題13、已知，則 14、函數(shù)的最小值是 15、函數(shù)圖像的對稱中心是（寫出通式） 16、關(guān)于函數(shù)，下列命題：、若存在，有時，成立；、在

8、區(qū)間上是單調(diào)遞增；、函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖像；、將函數(shù)的圖像向左平移個單位后將與的圖像重合其中正確的命題序號 （注：把你認為正確的序號都填上）三、解答題17.求證：18. 求值：19.已知函數(shù) （1）若，求的值； （2）求函數(shù)在上最大值和最小值20. 已知圖像上相鄰的兩個對稱軸的距離是（1）求的值；（2）求函數(shù)上的最大值和最小值21. 設(shè)向量，若，求：（1）的值； （2）的值22. 設(shè)函數(shù)學(xué)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，是否存在實數(shù)m，使函數(shù)的值域恰為？若存在，請求 出m的取值；若不存在，請說明理由專題突破參考答案一、選擇題1C 2 C 3C 4C 5.D ，6.D 7.C 為鈍角8.D ，9.C ，為奇函數(shù)，10.B 11.D12.A二、填空題13、 14、15、 16、三、解答題17. 解：證明：左邊=右邊，原題得證18解：解：原式 19. 解：（1）由題意知： ，即，即 ， ，（2） ， 即 ，20. 解：（2分）（1）因為函數(shù)的圖象上相鄰的兩個對稱軸間的距離是所以函數(shù)的最小正