【小學(xué)五年級奧數(shù)講義】包含與排除(容斥原理)

1、【小學(xué)五年級奧數(shù)講義】包含與排除（容斥原理）一、專題簡析：集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個集合，0、1 、2、3、4、5、6、7、8、9 便組成一個數(shù)字集合。組成集合的每個事物稱為這個集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個集合，每一個學(xué)生都是這個集合的元素，數(shù)字集合中有10 個元素。兩個集合中可以做加法運算，把兩個集合A、 B合并在一起，就組成了一個新的集合C。計算集合C的元素的個數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、 B的一切元素都“包含”進(jìn)來加在一起，再“排除”A、 B 兩集合的公共元素的個數(shù)，減去加了兩次的元素，即：C=A B AB

2、。在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達(dá)清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進(jìn)行計算。二、精講精練例 1 五年級 96 名學(xué)生都訂了報紙，有64 人訂了少年報，有48 人訂了小學(xué)生報。兩種報紙都訂的有多少人？11練習(xí)一1、一個班的52 人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有32 人做完了語文作業(yè)，有35 人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？2、五年級有122 人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中語文得優(yōu)的有65 人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有87 人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？例 2： 某校教師至少懂得英語和日語

3、中的一種語言。已知有35 人懂英語，34 人懂日語，兩種語言都懂的有21 人。這個學(xué)校共有多少名教師？練習(xí)二1、某校的每個學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動。已知有900 人愛好體育活動，有 850 人愛好文娛活動，其中260 人兩種活動都愛好。這個學(xué)校共有學(xué)生多少人？2、某班在一次測驗中有26 人語文獲優(yōu)，有30 人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有 12 人，另外還有8 人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個班共有多少人？例 3： 學(xué)校開展課外活動，共有250 人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時活動，參加象棋組的有83 人，參加乒乓球組的有86 人，這兩個小組都參加的有25 人。問這250 名同

4、學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？練習(xí)三1、五年級有250 人，其中參加象棋組的有83 人，參加乒乓球組的有86 人，這兩個小組都參加的有25 人。兩個小組都不參加的有多少人？2、五（1）班有 50 人，在一次測試中，語文90 分以上的有30 人，數(shù)學(xué)90 分以上的 35 人，語文和數(shù)學(xué)都在90 分以上的有20 人。兩科都在90 分以下的有多少人？例 4 實驗小學(xué)各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有20 人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?6 人不是四年級的，有12 人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？練習(xí)四1、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運動會，其中24 名運動員不是六年級的，

5、28 名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員共有32 名，求五、六年級和中低年級運動員各有多少名？2、少年樂團學(xué)生中有170 人不是五年級的，有135 人不是六年級的，已知五、六年級的共有205人，求少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有多少人？例 5 在 100個外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？練習(xí)五1、 40 人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題。已知做對第一題的有 30 人，做對第二題的有21 人。只做對第一題的有多少人？2、五年級122名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)。已知語文65人得優(yōu)

6、，數(shù)學(xué)78 人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。三、課后作業(yè)1、某班有50 名學(xué)生，在一次測驗中有26 人滿分，在第二次測驗中有21 人滿分。如果兩次測驗都沒得過滿分的學(xué)生有17 人，那么，兩次測驗都得滿分的有多少人？2、第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對第一題的有15 人，做對第二題的有10 人，兩題都做對的有7 人，兩題都做錯的有2 人。第一小組共有多少人？3、老師在統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90 分以上的有25 人，語文得90 分以上的有21 人， 兩科中至少有一科在90分以上的有38人。兩科都在90 分以上的有多少人？4、 六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有 24 朵不是紅色的，有 20 朵不是黃色的，已知紅花和黃