2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(新課改)函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、第八節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用 突破點(diǎn)一基本初等函數(shù)模型 抓牢雙基咱學(xué)回扣 基本知識(shí) 1.幾類常見(jiàn)的函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 f(x) = ax+ b(a, b 為常數(shù)，a 豐 0) 反比例函數(shù)模型 k f(x) = - + b(k, b 為常數(shù)且 kz 0) 二次函數(shù)模型 f(x) = ax1 2 3 4 5 + bx+ c(a, b, c 為常數(shù)，az 0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)= bax+ c(a, b, c 為常數(shù)，bz 0, a0 且 az 1) 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 f(x) = blogax+ c(a, b, c 為常數(shù)，bz 0, a0 且 az 1) 幕函數(shù)模型 f(x

2、) = axn+ b(a, b 為常數(shù)，az 0) 2.三種基本初等函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì) 、 y= a (a1) y= logax(a1) n. y= x (n0) 在(0, +s )上的單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長(zhǎng)速度 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 相對(duì)平穩(wěn) 圖象的變化 隨 x 的增大，逐漸表 現(xiàn)為與 y 軸平行 隨 x 的增大，逐漸表 現(xiàn)為與 X 軸平行 隨 n 值變化而各 有不同 值的比較 存在一個(gè) Xo,當(dāng) xXo 時(shí)，有 logaxvxnvax 基本能力 1 某物體一天內(nèi)的溫度 T 是時(shí)間 t 的函數(shù) T(t)= f 3t+ 60,時(shí)間單位是 h，溫度單位 為C, t= 0

3、 時(shí)表示中午 12: 00,則上午 8: 00 時(shí)的溫度為 _ C . 答案：8 2. 在不考慮空氣阻力的情況下， 火箭的最大速度 v 米/秒和燃料的質(zhì)量 M 千克、火箭(除 燃料外) )的質(zhì)量 m 千克的函數(shù)關(guān)系式是 v = 2 000 n 1 +豊.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的 _ 倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá) 12 千米/秒. 解析：當(dāng) v= 12 000 時(shí)，2 000 ln 1+ = 12 000, In 1 + M = 6,. M = e6 1. V mJ m 答案：e6 1 每瓶 4 元，每月可銷售 400 瓶；若零售價(jià)每降低( (升高)0.5 元，則可多( (少)銷售 40 瓶，在每 月

4、的進(jìn)貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為 _ 元/瓶. 解析：設(shè)銷售價(jià)每瓶定為 x 元，利潤(rùn)為 y 元，則 y=(x 3) -400 +冷才乂 40 = 80(x 3)(9 x) = 80(x 6)2+ 720(x 3)，所以 x= 6 時(shí)，y 取得最大值. 答案：6 4. (2019 棗陽(yáng)高級(jí)中學(xué)期中) )擬定甲、乙兩地通話 m 分鐘的電話費(fèi) 伸位：元) )由 f(m)= 1.06(0.5m + 1)給出，其中 m0 , m是不超過(guò) m 的最大整數(shù)( (如3 = 3, 3.7 = 3, 3.1 =3)，則甲、乙兩地通話 6.5 分鐘的電話費(fèi)為 _ 元. 解析：/ m= 6.5,

5、.m = 6，貝 U f(m)= 1.06X (0.5X 6+ 1) = 4.24. 答案：4.24 研透高考深化提能 全析考法 考法一二次函數(shù)模型 x 1 設(shè)矩形 BNPM 的面積為 S,貝 U S(x)= xy= x( 10 ? ) = ?(x 10)2+ 50, 所以 S(x)是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，且其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線 x = 10, 所以當(dāng) x 4,8時(shí)，S(x)單調(diào)遞增， 所以當(dāng) x= 8 時(shí)，矩形 BNPM 的面積取得最大值，最大值為 48 平方米. 方法技巧 在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)問(wèn)題時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍， 需根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域

6、在坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解.解 決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后例 1 (2019 商丘二中檢測(cè)) )如圖，已知邊長(zhǎng)為 8 米的正方形鋼 板有一個(gè)角被銹蝕，其中 AE= 4 米，CD = 6 米.為了合理利用這塊鋼板， 在五邊形 ABCDE 內(nèi)截取一個(gè)矩形 BNPM，使點(diǎn) P 在邊 DE 上. (1) 設(shè) MP = x 米，PN = y 米，將 y 表示成 x 的函數(shù)，并求該函數(shù)的 解析式及定義域； (2) 求矩形 BNPM 面積的最大值. 解 如圖，作 PQ 丄 AF 于 Q,所以 PQ = 8 y, EQ = x 4, 在厶 EDF 中, EQ PQ FF，所以 x 4 8 y 4 2

7、, 1 所以 y= ?x+ 10,定義域?yàn)閤|4wx8. 還要還原到實(shí)際問(wèn)題. 考法二指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型 A. 4 B. 5.5 例 2 (1)(2019 貴陽(yáng)摸底) )20 世紀(jì) 30 年代，為了防范地震帶來(lái)的災(zāi)害，里克特 (C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)， 地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí) M，其 計(jì)算公式為 M = lg A- lg Ao,其中 A 是被測(cè)地震的最大震幅， Ao是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅， 若“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅為 0.001，測(cè)震儀測(cè)得某地地震的震級(jí)為 4 級(jí)，則該地震的最大振

8、幅 為()() A 6 B. 8 C. 10 D. 12 (2)(2019 唐山模擬) )某人計(jì)劃購(gòu)買一輛 A 型轎車，售價(jià)為 14.4 萬(wàn)元，購(gòu)買后轎車每年的 保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)、年檢費(fèi)、停車費(fèi)等約需 2.4 萬(wàn)元，同時(shí)汽車年折舊率約為 10%(即這輛車 每年減少它的價(jià)值的 10%)，試問(wèn)，大約使用 _ 年后，用在該車上的費(fèi)用( (含折舊費(fèi)) ) 達(dá)到 14.4 萬(wàn)元. 解析 由題意知，lg A lg 0.001 = 4，所以 lg A = 1,即卩 A= 10.故選 C. x 設(shè)使用 x 年后花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到 14.4 萬(wàn)元，依題意可得，14.4(1 0.9)+ 2.4x =14.4.化

9、簡(jiǎn)得 x 6X 0.9x= 0.令 f(x)= x 6X 0.9x, 易得 f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又 f(3) = 1.3740,所以函數(shù) f(x)在(3,4) 上有一個(gè)零點(diǎn). 故大約使用 4 年后，用在該車上的費(fèi)用達(dá)到 14.4 萬(wàn)元. 答案(1)C (2)4 方法技巧 兩種函數(shù)模型的應(yīng)用技巧 (1) 與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選 擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快 ( (底數(shù)大于 1)的一類函數(shù)模型， 與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)函數(shù)模型. (2) 在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般需要先通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)

10、解析 式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問(wèn)題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù). 集訓(xùn)沖關(guān) 1. 考法一某商場(chǎng)銷售 A 型商品.已知該商品的進(jìn)價(jià)是每件 3 元，且銷售單價(jià)與日均銷 售量的關(guān)系如下表所示： 銷售單價(jià)/元 4 5 6 7 8 9 10 C. 8.5 D. 10 日均銷售量/件 400 360 320 280 240 200 160 請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤(rùn)最大，則此商品的定價(jià) ( (單位：元/ 件)應(yīng)為( ( ) )C. 8.5 D. 10 解析：選 C 設(shè)定價(jià)為 x 元/件時(shí)，日均銷售利潤(rùn)為 y 元，則 y= (x 3) 400 - (x 4) 40 =40 x 17 2+ 1 2

11、10 ,故當(dāng) x =號(hào)=8.5 時(shí)，該商品的日均銷售利潤(rùn)最大，故選 C. 2. 考法二某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司 入研發(fā)資金 130 萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng) 年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò) 200 萬(wàn)元的年份是( ( ) ) (參考數(shù)據(jù):lg 1.12 0.05, lg 1.3 0.11, lg 2 0.30) A. 2018 年 B. 2019 年 C. 2020 年 D. 2021 年 解析：選 C 設(shè)第 n(n N6)年該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò) 根據(jù)題意得 130(1 + 12%)n1 200, 則 lg130(1 + 12%) n

12、1 lg 200, lg 130+ (n 1)lg 1.12 lg 2+ 2, 2+ lg 1.3 + (n 1)lg 1.12 lg 2+ 2, 0.11 + (n 1)x 0.050.30，解得 n嚴(yán), 5 又T n N*, n 5, 6 該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò) 2016 年全年投 12%，則該公司全 200 萬(wàn)元. C. 8.5 D. 10 200 萬(wàn)元的年份是 2020 年.故選 C. 突破點(diǎn)二兩類特殊函數(shù)的模型 全析考法 考法一 y=x+ a(a0)型函數(shù)模型 例 1 (2019 鹽城中學(xué)期末) )某校為豐富師生課余活動(dòng)，計(jì)劃在一塊直 角三角形 ABC 的空地上修建一個(gè)占地

13、面積為 S(平方米) )的 AMPN 矩形健身場(chǎng) 地.如圖，點(diǎn) M 在 AC 上，點(diǎn) N 在 AB 上，且 P 點(diǎn)在斜邊 BC 上.已知 / N-V ACB = 60 |AC|= 30 米，|AM|= x 米，x 10,20.設(shè)矩形 AMPN 健身場(chǎng)地 每平方米的造價(jià)為3；元，再把矩形 AMPN 以外( (陰影部分) )鋪上草坪，每平 (1)試用 x 表示 S,并求 S 的取值范圍； 求總造價(jià) T 關(guān)于面積 S 的函數(shù) T = f(S); (3)如何選取|AM|,使總造價(jià) T 最低( (不要求求出最低造價(jià))? 解(1)在 Rt PMC 中，顯然 |MC| = 30 x，/ PCM = 60方米

14、的造價(jià)為 12k S 元(k 為正常數(shù)). |PM|= |MC|tan/PCM = 3(30 x), 矩形 AMPN 的面積 S= |PM| |AM|= 3x(30 x), x 10,20, 丄 (x+ 30 x 由 x(30 x)w 2 = 225, 可知當(dāng) x= 15 時(shí)，S 取得最大值為 225 3, 當(dāng) x = 10 或 20 時(shí)，S 取得最小值為 200 3, 200 30) ”型函數(shù)模型的求解策略 “y= x+ a”型函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是利用已知 條件，建立函數(shù)模型，然后化簡(jiǎn)整理函數(shù)解析式，必要時(shí)通過(guò)配湊得到 “y= x+a 型函數(shù) 模型. (2)求函

15、數(shù)解析式要確定函數(shù)的定義域?qū)τ?y= x+ a(a0, x0)類型的函數(shù)最值問(wèn)題， 要特別注意定義域和基本不等式中等號(hào)成立的條件，如果在定義域內(nèi)滿足等號(hào)成立，可考 慮用基本不等式求最值，否則要考慮函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)可借用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性. 考法二分段函數(shù)模型 例 2 (2019 德州期中) )某地自來(lái)水苯超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠?lái)水公司對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定在水 中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)已知每投放質(zhì)量為 m 的藥劑后，經(jīng)過(guò) x 天該藥劑在水中釋放200 3 SW 225 3. 低于 5（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于 5（毫克/升）且不高于 10（毫克 /升）時(shí)稱為最佳凈化. （1）

16、 如果投放的藥劑的質(zhì)量為 m= 5,試問(wèn)自來(lái)水達(dá)到有效凈化總共可持續(xù)幾天？ （2） 如果投放的藥劑質(zhì)量為 m,為了使在 9 天（從投放藥劑算起包括 9 天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá) 到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量 m 的最小值. 2 -+ 10, Ovxw 5, -5 解（1）當(dāng) m= 5 時(shí)，y=5. 2x - 2 2 x 當(dāng) Ovx 5,顯然符合題意; 5 5x + 95 當(dāng)x5時(shí)，由怎二廠5解得5vxw 21. 所以自來(lái)水達(dá)到有效凈化總共可持續(xù) 21 天. 2 mx , 25 + 2m, Ovxw 5, (2)y= mf(x) = m x+佃 ,x5. 2x- 2 2 mx 當(dāng) Ovxw 5

17、 時(shí)，y= - + 2m 在區(qū)間（0,5上單調(diào)遞增， 25 所以 2mvyW 3m； 40m 當(dāng) x5 時(shí)，y =ixTv0， 所以函數(shù) y=需；9在（5,9上單調(diào)遞減， 所以 yv3m.綜上可知 加三 yw 3m. 4 4 為使 5W yw 10 恒成立，只要弩 5, i3mw 10, 解得 2 5. 當(dāng)藥劑在水中的濃度不 所以應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量 m 的最小值為2 . 方法技巧 解：設(shè)該服裝廠所獲效益為 f(x)元，貝 U f(x) = 100 xq(x) 126 OOOx, 0 xw 20, x + 1 當(dāng) 0vx 20 時(shí), 100 x 90 3 5 x , 20vxw 180. f(x

18、) = 儲(chǔ)=126 000 -磐f( (x) ) 在區(qū)間( (0,20上單調(diào)遞增，所以當(dāng) x = 20 時(shí)，f(x)有最大值 120 000.當(dāng) 20 x 180 時(shí)，f(x)= 9 000 x 300 (x)= 0 , x = 80.當(dāng) 20 x0, f(x)單調(diào)遞增，當(dāng) 80 xw 180 時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng) x= 80 時(shí)，f(x) 分段函數(shù)模型的求解策略 (1) 實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式 構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解. (2) 構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷，做到分段合理、不重不漏. (3) 分段函數(shù)的最值是各段最大值 ( (或最小值) )中的最大者( (或最小者) ).