【KS5U解析】北京市平谷區(qū)第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、北京平谷五中2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期高二第一次月考試題數(shù)學(xué)一 單項(xiàng)選擇題 共10小題，每小題4分，共40分1. 已知某種產(chǎn)品的合格率是95%，合格品中的一級(jí)品率是20%則這種產(chǎn)品的一級(jí)品率為（ ）a. 18%b. 19%c. 20%d. 21%【答案】b【解析】【分析】由題意可知，根據(jù)一級(jí)品率在合格品率所占的比例，計(jì)算即可.【詳解】某種產(chǎn)品的合格率是95%，合格品中的一級(jí)品率是20%， 一級(jí)品率為：.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2. 甲、乙兩位同學(xué)各拿出六張游戲牌，用作投骰子的獎(jiǎng)品，兩人商定：骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)甲得1分，否則乙得1分，先積得3分者獲勝得所

2、有12張游戲牌，并結(jié)束游戲比賽開始后，甲積2分，乙積1分，這時(shí)因意外事件中斷游戲，以后他們不想再繼續(xù)這場(chǎng)游戲，下面對(duì)這12張游戲牌的分配合理的是（ ）a. 甲得9張，乙得3張b. 甲得6張，乙得6張c. 甲得8張，乙得4張d. 甲得10張，乙得2張【答案】a【解析】【詳解】試題分析：由題意可知：乙獲得12張游戲牌概率為，所以甲應(yīng)分得張牌，乙應(yīng)分得張牌，故選a考點(diǎn)：排列組合問題3. 從四雙不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成對(duì)”與事件“至少有只成對(duì)”（ ）a. 是對(duì)立事件b. 不是互斥事件c. 是互斥但不對(duì)立事件d. 都是不可能事件【答案】a【解析】【分析】從雙不同的鞋中任意摸出只,可能的結(jié)果

3、為:“恰有只成對(duì)”,“只全部成對(duì)”,“只都不成對(duì)”,即可求得答案.【詳解】從雙不同的鞋中任意摸出只,可能的結(jié)果為:“恰有只成對(duì)”,“只全部成對(duì)”,“只都不成對(duì)”,故:事件“4只全部成對(duì)”的對(duì)立事件為“恰有只成對(duì)”+“只都不成對(duì)”“至少有兩只不成對(duì)”.事件“只全部不成對(duì)”與事件“至少有只成對(duì)”是:對(duì)立事件.故選:a.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷2個(gè)事件是否是對(duì)立事件,解題關(guān)鍵是掌握對(duì)立事件概念和結(jié)合實(shí)際問題具體分析,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.4. 小吳一星期的總開支分布如圖1所示，一星期的食品開支如圖2所示，則小吳一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為（）a. 1%b. 2%c. 3%d. 5%【答

4、案】c【解析】【分析】由圖1知食品開支占總開支的30%，由圖2知雞蛋開支占食品開支的，由此求得雞蛋開支占總開支的百分比【詳解】解：由圖1所示，食品開支占總開支的30%，由圖2所示，雞蛋開支占食品開支的，雞蛋開支占總開支的百分比為30%3%故選c5. 圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）a. b. c. d. 1【答案】c【解析】【分析】利用互斥事件和的概率等于概率的和計(jì)算結(jié)果.【詳解】從中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件是互斥事件，設(shè)兩粒是同一色為事件，同為黑子為事件，同為白子為

5、事件，則.故選：c【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件和的概率，屬于基礎(chǔ)題型.6. 在平行六面體abcd-a1b1c1d1中,化簡(jiǎn) ( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量運(yùn)算的平行四邊形法則或三角形法則求解【詳解】在平行六面體，連接ac，如圖，則,故選a【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形并根據(jù)向量加法的平行四邊形或三角形法則求解，屬于基礎(chǔ)題7. 給出下列命題：空間向量就是空間中的一條有向線段；在正方體中，必有；是向量的必要不充分條件；若空間向量滿足，則其中正確的命題的個(gè)數(shù)是a. 1b. 2c. 3d. 0【答案】b【解析】【分析】有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)

6、是固定的，而空間向量是可以平移的；，大小一樣方向相同，二者相等；不能推出；為零向量時(shí)，這一特殊情況要注意，就不成立【詳解】有向線段可以表示向量，但不是向量，故不正確；根據(jù)正方體中，向量與的方向相同，模也相等，則，故正確；命題顯然正確；命題不正確，向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)為零向量時(shí)，零向量與任何向量都平行，則不一定平行故選b【點(diǎn)睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量與任何向量都是平行向量8. 如圖，在正方體中，若，則的值為（ ） a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】以為基底表示出，由此確定的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得，x=1，y=-1，z=1，故x+y+z=1，故選

7、：b【點(diǎn)睛】本小題主要考查用基底表示向量，考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.9. 在四面體中，為中點(diǎn)，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】運(yùn)用空間向量基本定理及向量的線性運(yùn)算可解答此問題【詳解】解：根據(jù)題意得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用以及向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題10. 已知四面體中，兩兩垂直，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】首先以為原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)與平面所成角的正切值為得到，再求到平面的距離即可.【詳解】以為原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

8、設(shè)，.，.設(shè)平面的法向量，則，令，得，故.因?yàn)橹本€與平面所成角的正切值為，所以直線與平面所成角的正弦值為.即，解得.所以平面的法向量，故到平面的距離為.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求點(diǎn)到面的距離，同時(shí)考查線面成角問題，屬于中檔題.二 填空題 共5小題，每小題6分，共30分11. 某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品檢測(cè)，已知抽到一等品或二等品的概率為0.86，抽到二等品或三等品的概率為0.35，則抽到二等品的概率為_.【答案】0.21【解析】【分析】設(shè)抽到一等品、二等品、三等品的事件分別為，根據(jù)互斥事件的概率求解.【詳解】設(shè)抽

9、到一等品、二等品、三等品事件分別為.則解得故答案為：0.21【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)事件的概率，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12. 由1， 2， 3， ，1000這個(gè)1000正整數(shù)構(gòu)成集合，先從集合中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，取出后把放回集合，然后再?gòu)募现须S機(jī)取出一個(gè)數(shù)，則的概率為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，且，要使得，即：，分類討論當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值，得出所有取法，即可求出的概率.【詳解】解：由題可知，且，要使得，即：，則有：當(dāng)時(shí)，或，有2種取法；當(dāng)時(shí)，的取值增加3、4、5，有2+3種取法；當(dāng)時(shí)，的取值增加6、7、8，有種取法；當(dāng)時(shí)，有種取法；當(dāng)時(shí)，都有1000種取法.故.故答案為：.【

10、點(diǎn)睛】本題考查古典概型求概率，考查分類討論思想和計(jì)算能力.13. o為空間中任意一點(diǎn)，a，b，c三點(diǎn)不共線，且，若p，a，b，c四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t_【答案】【解析】【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件即可求出t的值.【詳解】p，a，b，c四點(diǎn)共面，且，解得.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共面，掌握向量共面的充要條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14. 在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則=_.（用，表示）【答案】【解析】在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)故答案為15. 正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與成角的大小為_【答案】【解析】【分析】利用向量的方法，以為基底表示，并計(jì)算，然后根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)

11、算即可.【詳解】如圖，由側(cè)棱和底面垂直，所以且，且，異面直線與成角的大小為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的方法求解異面直線所成的角，本題關(guān)鍵在于選擇合適的向量作為基底，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.三 解答題 共6小題，80分16. 將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，事件a：“兩數(shù)之和為8”，事件b：“兩數(shù)之和是3的倍數(shù)”，事件c：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”（i）寫出該試驗(yàn)的基本事件，并求事件a發(fā)生的概率；（ii）求事件b發(fā)生的概率；（iii）事件a與事件c至少有一個(gè)發(fā)生的概率【答案】（i）|=36，p（a）= （ii）（iii）【解析】【分析】（i）用列舉法列舉出所有的基本事件，利用古典概型概率

12、計(jì)算公式求得事件發(fā)生的概率.（ii）根據(jù)（i）列舉的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求得事件發(fā)生的概率.（iii）根據(jù)（i）列舉的基本事件，利用古典概型概率計(jì)算公式求得事件與事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率.【詳解】（i）所有可能的基本事件為：共種.其中“兩數(shù)之和為”的有共種，故.（ii）由（i）得“兩數(shù)之和是的倍數(shù)”的有共種，故概率為.（iii）由（i） “兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”的有種，“兩數(shù)之和為”的有共種，重復(fù)的有 三種，故事件與事件至少有一個(gè)發(fā)生的有種，概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算公式，考查列舉法求解古典概型問題，屬于基礎(chǔ)題.17. 某中學(xué)根據(jù)學(xué)生興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”、“詩(shī)

13、詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“書法”、“詩(shī)詞”、“理學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為、，己知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“書法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“詩(shī)詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，假設(shè)該同學(xué)通過考核選拔進(jìn)入該校的“書法”、“詩(shī)詞”、“理

14、學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為、，已知三個(gè)社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且，利用相關(guān)公式建立方程組，即可求得與的值；（2）根據(jù)題意，可知不低于4分包括了得分為4分、5分、6分三種情況，之后應(yīng)用乘法和加法公式求得結(jié)果.【詳解】（1）依題，解得（2）由題令該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為，獲得本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分為事件，則；.故.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，注意對(duì)公式的正確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.18. 甲乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.（1）若以表示和

15、為6的事件，求；（2）現(xiàn)連玩三次，若以表示甲至少贏一次事件，表示乙至少贏兩次的事件，試問與是否為互斥事件？為什么？（3）這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.【答案】（1）；（2）與不是互斥事件；（3）不公平.【解析】【詳解】（1）甲、乙出手指都有種可能，因此基本事件的總數(shù)為，事件包括甲、乙出的手指的情況有共種情況.（2）與不是互斥事件，因?yàn)槭录c可以同時(shí)發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件，即符合題意.（3）這種游戲規(guī)則不公平，由（1）知和為偶數(shù)的基本事件數(shù)為個(gè).所以甲贏的概率為，乙贏的概率為.所以這種游戲規(guī)則不公平.19. 已知，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值.（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解

16、析】【分析】(1)直接根據(jù)向量平行得到關(guān)于k方程,然后解出k即可;(2)直接根據(jù)向量垂直得到關(guān)于k的方程,然后解出k即可;【詳解】解:,.(1),.(2),.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行和向量垂直求參數(shù)值,考查了方程思想,屬基礎(chǔ)題.20. 如圖所示，已知空間四邊形abcd，e，h分別是邊ab，ad的中點(diǎn)，f，g分別是邊cb，cd上的點(diǎn)，且，證明：四邊形efgh是梯形【答案】證明見解析【解析】【分析】要證明四邊形efgh為梯形，必須證明兩點(diǎn)：；，二者缺一不可同時(shí)還必須指明點(diǎn)e不在fg上，即e，f，g，h四點(diǎn)不能共線【詳解】因?yàn)閑，h分別是邊ab，ad的中點(diǎn)，所以，所以又，所以，所以，所以且，又點(diǎn)e不在fg上，所以四邊形efgh是梯形【點(diǎn)睛】判斷向量共線就是利用已知條件找到實(shí)數(shù)，使得成立，同時(shí)要充分利用空間向量運(yùn)算法則，結(jié)合具體的圖形進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得到，即與共線21. 在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯