二次函數(shù)壓軸題

1、面積類1如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MNy軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由解：（1）拋物線的解析式：y=x2+2x+3（2）先求直線BC的解析式：y=x+3已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MNy，則M（m，m+3）、N（m，m2+2m+3）；故利用坐標(biāo)公式即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到MN的長（上減下）MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（3）設(shè)MN

2、交x軸于點(diǎn)D SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）；當(dāng)m=時(shí)，BNC的面積最大，最大值為你的收獲：2. 如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）拋物線的解析式為：y=x2x2（2）先證ABC為直角三角形（法一證OACOCB，法二利用坐標(biāo)公式及勾股定理逆定理）AB為ABC外接圓的直徑；該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（

3、，0）（3）函數(shù)最值問題：表示出MBC的面積，為一二次函數(shù)，求最值即可。面積最大為4，M（2，3）你的收獲：平行四邊形類3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時(shí)，求ABM的面積（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）拋物線的解析式是y=x22x3直線AB的解析式是y=x3；（2）設(shè)

4、點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），因?yàn)閜在第四象限，所以利用坐標(biāo)公式（上減下）即用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到SABM= =（3）存在，理由如下：PMOB，當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，(畫圖發(fā)現(xiàn)有3種情況，但可歸為2種：一種是P上M下，另一種是M上P下)當(dāng)P上M下時(shí)（即在第四象限）：PM=OB=3，由（2）知PM最長為，所以不可能有PM=3當(dāng)M上P下時(shí)（即在第一或三象限）：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=（第一象限）t2=（第三象限） 綜上，所

5、以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或你的收獲：4. 如圖，拋物線y=x22x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x5上（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C、D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷ABD的形狀；（3）在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）A（1，4）（2）ABD是直角三角形（法一相似，法二利用坐標(biāo)公式及勾股定理逆定理）（3）存在（A、B、D三點(diǎn)已知，這樣的點(diǎn)P應(yīng)有三個(gè)，問在直線l上是否存在，應(yīng)先證直線l與直線BD平行，如果平行，則應(yīng)有兩個(gè)；如果不平行，則一個(gè)也沒有）由題意知：直線y=x5交y軸

6、于點(diǎn)E（0，5），交x軸于點(diǎn)F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF與OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD（也可求直線BD表達(dá)式，看其k與直線l的k是否相同，若相同，則平行；若不相同，則不平行）則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，求P坐標(biāo)的方法：法一：在坐標(biāo)系中構(gòu)造直角三角形APG、AP，F(xiàn)利用它們與BOD全等求坐標(biāo)（類似于在網(wǎng)格中數(shù)格子）法二：利用AP=BD，A、B、P坐標(biāo)已知，設(shè)P（x，x5），利用坐標(biāo)公式求解即可所以，存在，點(diǎn)P（2，7）或P（4，1）使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形你的收獲：5. 如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（1，4

7、），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，CD，AD，試證明ACD為直角三角形；（3）若點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）拋物線解析式為：y=x2+2x3；（2）利用坐標(biāo)公式及勾股定理逆定理（3）（關(guān)鍵是畫出符合題意的圖）當(dāng)AB為平行四邊形的一邊時(shí)：AB EF ，AB=4 EF=4，如圖E1F1、E2F2、E在對稱軸上F的橫坐標(biāo)為3或-5，代入拋物線解析式求縱坐標(biāo)即可當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時(shí)：AB

8、 與EF互相平分，且EF必過AB中點(diǎn)（-1,0）如圖EF、此時(shí)點(diǎn)F即點(diǎn)D 所以，存在，（3，12）、（-5，12）、（-1，-4）變式：若第（3）問點(diǎn)E在y軸上，答案？（4，21）、（-4，5）、（-2，-3）（當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時(shí)，構(gòu)造全等三角形）你的收獲：等腰三角形類6如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）（2）拋物

9、線的解析式為y=x2+x（3） （思路：根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)已知，可先利用坐標(biāo)公式表示出OPB三邊的邊長表達(dá)式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)）存在，拋物線的對稱軸是直線x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，y），若OB=OP， 則22+y2=42（坐標(biāo)公式）解得y=±2，當(dāng)y=2時(shí)，在RtPOD中，PDO=90°，sinPOD=，POD=60°，POB=POD+AOB=60°+120°=180°，

10、即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，y=2不符合題意，舍去， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）若OB=PB，則42+（y+2）2=42，解得y=2， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），若OP=BP，則22+y2=42+（y+2）2， 解得y=2， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2，2），（三種情況求出的點(diǎn)相同，純屬巧合；此類題必須分三種情況討論，合理利用坐標(biāo)公式，最后驗(yàn)?zāi)芊駱?gòu)成三角形、不共線即可）你的收獲：7如圖，已知拋物線y=x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（2，0）（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、

11、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷AOC與COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）拋物線解析式為 y=x2+x+4，對稱軸為：直線x=3（2）C（0，4），y=x+4（3）略（4）拋物線的對稱軸方程為：x=3，可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：AC=，AQ=，CQ=i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，有=，t2=5，此方程無實(shí)數(shù)根，此時(shí)ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，有=，整理得：t28t

12、+5=0，解得：t=4±，點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4）（易檢驗(yàn)三個(gè)Q點(diǎn)均不會與A、C共線，即三角形均存在）綜上所述，存在點(diǎn)Q，使ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）你的收獲：8. 在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax2經(jīng)過點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）

13、過點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，證BCDCAO，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）（2）拋物線的解析式為y=x2+x2（3）（思路：首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1Mx軸，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90°，MP1CDBCCM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1（1，1）；若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P

14、2作P2Ny軸，同理可證AP2NCAO，NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2（2，1），經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1（1，1）與點(diǎn)P2（2，1）都在拋物線y=x2+x2上（必須檢驗(yàn)，因?yàn)榍笞鴺?biāo)的過程只說明是等腰直角三角形，還需說明所求點(diǎn)在拋物線上）你的收獲：相似類9. 已知，拋物線y=ax2+bx-2的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0），B（4, 0），與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是直線x=4右側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM垂直于x軸，垂足為點(diǎn)M，是否存在P點(diǎn)，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出所有符合條件的P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解：（1）拋物

15、線解析式，C（0，-2）（2）變式：若改為“點(diǎn)P拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)”，答案？（利用拋物線的對稱性求另外兩個(gè)答案即可）你的收獲：10. 如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（2）試判斷BCD的形狀，并說明理由（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）拋物線的解析式為y=x22x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）BCD是直角三角形（法一：相似；法二：坐標(biāo)公式及勾股定理逆定理）（3）（分P在x軸和y軸兩種情況討論，設(shè)P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求）BCD的三邊，=，又=，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí)，ACPDBC；當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則PC=3a，=，即=，解得：a=9，則P的坐標(biāo)是（0，9），三角形ACP不是直角三角形，則AC