八年級(jí)上全等三角形專題講解

1、全等三角形專題講解專題一 全等三角形判別方法的應(yīng)用專題概說(shuō)：判定兩個(gè)三角形全等的方法一般有以下4種：1三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“SSS”）2兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“SAS”）3兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“ASA”）4兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“AAS”）而在判別兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，除了可以應(yīng)用以上4種判別方法外，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊”，即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成“HL”）也就是說(shuō)“斜邊、直角邊”是判別兩個(gè)直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩個(gè)直角三角形全等三角形全

2、等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？（1）條件充足時(shí)直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等，而從近年的中考題來(lái)看，這類試題難度不大，證明兩個(gè)三角形的條件比較充分只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等例1 已知：如圖1，CEAB于點(diǎn)E，BDAC于點(diǎn)D，BD、CE交于點(diǎn)O，且AO平分BAC那么圖中全等的三角形有_對(duì)分析：由CEAB，BD

3、AC，得AEO=ADO=90º由AO平分BAC，得EAO=DAO又AO為公共邊，所以AEOADO所以EO=DO，AE=AD又BEO=CDO=90º，BOE=COD，所以BOECOD由AE=AD，AEO=ADO=90º，BAC為公共角，所以EACDAO所以AB=AC又EAO=DAO， AO為公共邊，所以ABOACO 圖1所以圖中全等的三角形一共有4對(duì)（2）條件不足，會(huì)增加條件用判別方法此類問(wèn)題實(shí)際是指條件開(kāi)放題，即指題中沒(méi)有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充使三角形全等的條件解這類問(wèn)題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案

4、例2 如圖2，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，還需添加的條件是（只需填一個(gè)）_分析：要使ABCADE，注意到1=2，所以1+DAC=2+DAC，即BAC=EAC要使ABCADE，根據(jù)SAS可知只需AC=AE 圖2即可；根據(jù)ASA可知只需B=D；根據(jù)AAS可知只需C=E故可添加的條件是AC=AE或B=D或C=E（3）條件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線用判別方法在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過(guò)添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等例3 已知：如圖3，AB=AC，1=2求證：AO平分BAC分析：要證AO平

5、分BAC，即證BAO=BCO，要證BAO=BCO，只需證BAO和BCO所在的兩個(gè)三角形全等而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可證明：連結(jié)BC因?yàn)锳B=AC，所以ABCACB因?yàn)?=2，所以ABC-1ACB-2 圖3即3=4，所以BO=CO因?yàn)锳B=AC，BO=CO，AO=AO，所以ABOACO所以BAO=CAO，即AO平分BAC（4）條件中沒(méi)有現(xiàn)成的全等三角形時(shí)，會(huì)通過(guò)構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問(wèn)題中，往往不能直接證明一對(duì)三角形全等，一般需要作輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形 例4 已知：如圖4，在RtABC中，ACB=90º，AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CEAD于E，交AB于F，連

6、接DF求證：ADC=BDF證明：過(guò)B作BGBC交CF延長(zhǎng)線于G，所以BGAC所以G=ACE因?yàn)锳CBC，CEAD，所以ACE=ADC所以G=ADC因?yàn)锳C=BC，ACDCBG=90º，所以 圖4ACDCBG所以BG=CD=BD因?yàn)镃BF=GBF=45º，BF=BF，所以GBFDBF所以G=BDF所以ADCBDF所以ADCBDF說(shuō)明：常見(jiàn)的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：涉及三角形的中線問(wèn)題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的方法，構(gòu)造出一對(duì)全等三角形；涉及角平分線問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線，可以得到一對(duì)全等三角形；證明兩條線段的和等于第三條線段時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一

7、對(duì)全等三角形（5）會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視例5 要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無(wú)法直接度量A，B兩點(diǎn)間的距離請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一測(cè)量方案(1)畫(huà)出測(cè)量圖案(2)寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示） 圖5 (3)計(jì)算A、B的距離（寫出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示）分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)三角形全等第(1)題，測(cè)量圖案如圖5所示第(2)題，測(cè)量步驟：先在陸地上找到一點(diǎn)O，在AO的延長(zhǎng)線

8、上取一點(diǎn)C，并測(cè)得OC=OA，在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，并測(cè)得OD=OB，這時(shí)測(cè)得CD的長(zhǎng)為，則AB的長(zhǎng)就是第(3)題易證AOBCOD，所以AB=CD，測(cè)得CD的長(zhǎng)即可得AB的長(zhǎng)解：(1)如圖6示(2)在陸地上找到可以直接到達(dá)A、B的一點(diǎn)O，在AO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，并測(cè)得OCOA，在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，并測(cè)得ODOB，這時(shí)測(cè)出CD的長(zhǎng)為，則AB的長(zhǎng)就是(3)理由：由測(cè)法可得OC=OA，OD=OB又COD=AOB，CODAOBCD=AB= 圖6評(píng)注：本題的背景是學(xué)生熟悉的，提供了一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，重點(diǎn)考查了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)練習(xí)：1已知：如圖7，D是ABC的邊AB

9、上一點(diǎn)，ABFC，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE 圖7求證：AE=CE2如圖8，在ABC中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AE上，已知ABD=ACD，BDE=CDE求證：BD=CD 圖83用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖9所示，先在AOB的兩邊上取OP=OQ，再取PM=QN，連接PN、QM，得交點(diǎn)C，則射線OC平分AOB你能說(shuō)明道理嗎？ 圖94如圖10，ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作GEBC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E、G試在圖10中找出3對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明 圖105已知：如圖11，點(diǎn)C、D在線段AB上，PC=PD請(qǐng)你添加一個(gè)條件

10、，使圖中存在全等三角形，并給予證明所添?xiàng)l件為_(kāi)，你得到的一 圖11對(duì)全等三角形是_ 6如圖12，1=2，BC=EF，那么需要補(bǔ)充一個(gè)直接條件_（寫出一個(gè)即可），才能使ABCDEF 圖127如圖13，在ABD和ACD中，AB=AC，B=C求證：ABDACD 圖138如圖14，直線AD與BC相交于點(diǎn)O，且AC=BD，AD=BC求證：CO=DO圖149已知ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于G求證：EG=GF 圖1510已知：如圖16，AB=AE，BC=ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，AFCD求證：B=E 圖1611如圖17，某同學(xué)把一把三角形的玻璃打碎成了三塊

11、，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（）(A)帶和去 (B)帶去 (C)帶去 (D)帶去 圖1712有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖18中的陰影部分，你對(duì)圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具，并說(shuō)明其中的道理 圖18 13如圖19，將兩根鋼條AA'、BB'的中點(diǎn)O連在一起，使AA'、BB'可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，則A' B'的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB，那么判定OABOAB的理由是（ ）（A）邊角邊 （B）角邊角（C）邊邊邊 （D）角角邊 圖19專題二 角的平分線從一個(gè)角的頂

12、點(diǎn)出發(fā)，把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線角的平分線有著重要的作用，它不僅把角分成相等的兩部分，而且角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，再加上角的平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸因此當(dāng)題目中有角的平分線時(shí)，可根據(jù)角的平分線性質(zhì)證明線段或角相等，或利用角的平分線構(gòu)造全等三角形或等腰三角形來(lái)尋找解題思路（1）利用角的平分線的性質(zhì)證明線段或角相等例6 如圖20，12，AEOB于E，BDOA于D，交點(diǎn)為C 求證：AC=BC 圖20證法：AEOB，BDOA，ADC=BEC=12，CD=CE在ACD和BCE中，ADC=BEC，CD=CE，34ACD

13、BCE(ASA)，AC=BC說(shuō)明：本題若用全等方法證明點(diǎn)C到OA、OB距離相等，浪費(fèi)時(shí)間和筆墨，不如直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)證明，原因在于同學(xué)們已經(jīng)習(xí)慣了用全等的方法，不善于直接應(yīng)用定理，仍去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次定理，以后再學(xué)新定理，應(yīng)用時(shí)要注意全等定勢(shì)的干擾，注意采用簡(jiǎn)捷證法例7 已知：如圖21，ABC中，BD=CD，12求證：AD平分BAC證明：過(guò)D作DEAB于E，DFAC于F 圖21在BED與CFD中，12，BEDCFD，BD=CD，BEDCFD(AAS)DEDF，AD平分BAC說(shuō)明：遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí)，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

14、出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等（2）利用角的平分線構(gòu)造全等三角形過(guò)角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段例8 如圖22，ABCD，E為AD上一點(diǎn)，且BE、CE分別平分ABC、BCD求證：AE=ED分析：由于角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，而點(diǎn)E是兩條角平分線的交點(diǎn)，因此我們自然想到過(guò)點(diǎn)E分別作AB、BC、CD的垂線段證明：過(guò)點(diǎn)E作EFAB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作EGBC，垂足為G，作EHCD，垂足為HBE平分ABC，EFAB，EGBC，EF=EG同理EG =EHEF=EHABCD，F(xiàn)AE=DEFAB，EHCD，AFE=DHE=90º 圖22在AFE和DHE中，AFE=DH

15、E，EF=EH，F(xiàn)AE=DAFEDHEAE=ED以角的平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造對(duì)稱圖形例9 如圖23，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求證：AB=AC+CD分析：由于角平分線所在的直線是這個(gè)角的對(duì)稱軸，因此在AB上截取AE=AC，連接DE，我們就能構(gòu)造出一對(duì)全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=CD就可以了證明：在AB上截取AE=AC，連接DEAD平分BAC，EAD=CAD 圖23在EAD和CAD中，EAD=CAD，AD=AD，AE=AC，EADCADAED=C，CD=DEC=2B，AED=2BAED=B+EBD，B=EDBBE=EDBE=CDAB=AE+BE，AB=AC+

16、CD延長(zhǎng)角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例10 如圖24，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求證：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，即可構(gòu)造全等三角形證明：延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)FAD平分BAC，F(xiàn)AE=CAECEAD，F(xiàn)EA=CEA=90º在FEA和CEA中，F(xiàn)AE=CAE，AE=AE，F(xiàn)EA=CEA 圖24FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD（3）利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖25，在ABC中，AD平分BAC，過(guò)點(diǎn)D作DEAB，DE交AC于點(diǎn)E易證AED是等腰三角形因此，我們可以過(guò)角平分線

17、上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形 圖25例11 如圖26，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于點(diǎn)E求證：CD=BE分析：要證CD=BE，可將BE分成兩條線段，然后再證明CD與這兩條線段都相等證明：過(guò)點(diǎn)D作DFAB交BC于點(diǎn)FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=ABC 圖262=3，DF=BFDEBD，2+DEF=90º，3+5=90ºDEF=5DF=EFAB=AC，ABC=C4=C，CD=DFCD=EF=BF，即CD=BE練習(xí)：1如圖27，在ABC中，B=90º，AD為BAC的平分線，DFAC于F，DE=DC求證：BE=C

18、F 圖272已知：如圖28，AD是ABC的中線，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF求證：（1）AD是BAC的平分線；（2）AB=AC 圖283在ABC中，BAC=60º，C=40º，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求證：AB+BP=BQ+AQ 圖294如圖30，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求證：C=2B 圖305如圖31，E為ABC的A的平分線AD上一點(diǎn)，ABAC求證：AB-ACEB-EC 圖316如圖32，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 圖32求證：A+C=180º7如圖33所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線DC過(guò)點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)C求證：AD+BC=AB 圖338已知，如圖34，ABC