《工程力學》(二)輔導資料七

1、大連理工大學網(wǎng)絡教育學院工程力學（二）輔導資料七主 題：第三章 結構力學知識回顧（第12節(jié)）學習時間：2012年11月12日11月18日內(nèi) 容：本周我們學習平面體系組成分析，靜定梁、靜定平面剛架的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖繪制，三鉸拱的內(nèi)力分析及合理軸線的相關內(nèi)容。希望通過本周的學習，使同學們加深對相關知識的認識和理解。基本要求與重點：1.理解自由度、幾何可變體系與幾何不變體系、瞬變體系、瞬鉸的概念；2.了解計算自由度的計算方法；3.掌握幾何不變體系的基本組成規(guī)律，并能應用這些規(guī)律分析平面體系的幾何構造；4.理解靜定梁的分析方法和受力特點；5.掌握各種荷載作用下梁的內(nèi)力圖畫法，掌握疊加法畫彎矩圖；6.掌

2、握靜定剛架（簡支、懸臂、三鉸剛架）的內(nèi)力計算和內(nèi)力圖的畫法；7.了解拱式結構的分類及各自的特點，掌握三鉸拱在豎向荷載作用下的內(nèi)力計算；8.掌握靜定平面桁架結構的受力特點和結構特點；9.熟練掌握結點法、截面法和聯(lián)合法求解桁架結構的內(nèi)力。一、 平面幾何體系組成分析（一） 概述1. 幾何不變體系與幾何可變體系幾何不變體系在不考慮材料應變的條件下，體系的位置和形狀是不能改變的；幾何可變體系在不考慮材料應變的條件下，體系的位置和形狀是可以改變的。2. 自由度平面內(nèi)一點有兩種獨立運動方式，因此一點在平面內(nèi)有兩個自由度。一個剛片在平面內(nèi)有三種獨立的運動方式，因此一個剛片在平面內(nèi)有三個自由度。一般說來，如果一

3、個體系有個獨立運動的方程，則這個體系有個自由度。換句話說，一個體系自由度的個數(shù)，等于這個體系運動時可以獨立改變的坐標的數(shù)目。（二） 計算自由度計算自由度可采用以下幾種算法： 把體系看作由許多剛片受鉸結、剛結和鏈桿的約束而組成的。以表示體系中剛片的個數(shù)，則剛片的自由度個數(shù)總和為。計算約束總數(shù)時，體系中如有復約束，則應事先把它折合成單約束；剛片內(nèi)部如有多余約束，也應把它們計算在內(nèi)。以代表單剛結個數(shù)，以代表單鉸結個數(shù)，以代表單鏈桿根數(shù)，則約束總數(shù)為。因此，體系的計算自由度可表示為 把體系看作由許多結點受鏈桿的約束而組成的。體系中如有復鏈桿，則應事先把它們折合成單鏈桿。以代表結點個數(shù)，以代表結點個數(shù)，

4、以代表單鏈桿個數(shù)，則可表示為 除上述兩種算法外，還可以采用混合法。這時，計算公式即為（三） 平面幾何不變體系的組成規(guī)律1. 一個點于一個剛片之間的連接方式規(guī)律1 一個剛片與一個點用兩根鏈桿相連，且三個鉸不在一直線上，則組成幾何不變的整體，且沒有多余約束。2. 兩個剛片之間的連接方式規(guī)律2 兩個剛片用一個鉸和一根鏈桿相連接，且三個鉸不在一直線上，則組成幾何不變的整體，且沒有多余約束。規(guī)律3 兩個剛片用三根鏈桿相連，且三鏈桿不交于同一點，則組成幾何不變的整體，且沒有多余約束。3. 三個剛片之間的連接方式規(guī)律4 三個剛片用三個鉸兩兩相連，且三個鉸不在一直線上，則組成幾何不變的整體，且沒有多余約束。上

5、述三條規(guī)律雖然表述方式不同，但實際上可歸納為一個基本規(guī)律：如果三個鉸不共線，則一個鉸接三角形的形狀是不變的，而且沒有多余約束。二、 靜定梁（一）靜定單跨梁靜定結構是指結構的約束反力及內(nèi)力完全可由靜力平衡條件唯一確定的結構、其內(nèi)力計算是結構位移和超靜定結構內(nèi)力計算的基礎。靜定單跨梁是組成各種結構的基本構件之一。是建筑工程中用得最多的一種結構型式。常見的靜定單跨梁有簡支梁、懸臂梁和伸臂梁，如圖1所示。（a）簡支梁 （b）懸臂梁 （c）伸臂梁圖1單跨梁1.用截面法求指定截面的內(nèi)力在任意荷載作用下，平面桿件的任一截面上一般有三個內(nèi)力分量，軸力N，剪力Q和彎矩M，見圖2。圖2 梁的內(nèi)力分量計算指定截面內(nèi)

6、力的基本方法是截面法，即將指定截面切開，取截面任一側部分為隔離體，利用隔離體的平衡條件可求出此截面的三個內(nèi)力分量。軸力等于截面一邊所有的外力沿桿軸切線方向的投影代數(shù)和。軸力以拉為正，以壓為負。剪力等于截面一邊所有外力沿桿軸法線方向的投影代數(shù)和。剪力以繞隔離體順時針轉者為正，反之為負。彎矩等于截面一邊所有外力對截面形心的力矩代數(shù)和。彎矩以水平梁下側纖維受拉為正，反之為負。作內(nèi)力圖時，規(guī)定軸力圖、剪力圖要注明正負號，彎矩圖繪在桿件受拉一側，不用注明正負號。對于平放的直梁，當所有外力垂直梁軸線時，橫截面上只有剪力、彎矩，沒有軸力。2.利用微分關系作內(nèi)力圖 利用微分關系可以幫助我們迅速而正確池繪制或校

7、核內(nèi)力圖。在荷載連續(xù)分布的直桿上截取微段，如圖3（a）所示，x軸以向右為正，y軸向下為正，荷載垂直梁軸線，荷載集度為q(x)，以向下為正。由微段dx（圖7.3b）的平衡條件可以得出荷載集度與內(nèi)力之間的微分關系為：（a）梁的荷載和坐標 （b）微段受力圖圖3 梁的計算簡圖在自由端、鉸支座、鉸結點處，無集中力偶作用，截面彎矩等于零，有集中力偶作用，截面彎矩等于集中力偶的值。3.利用疊加法作彎矩圖（1）簡支梁彎矩圖的疊加方法注意：彎矩圖疊加，是指豎標相加，而不是指圖形的拼合，比如豎標M，如同M、M一樣垂直桿軸AB，而不是垂線。利用疊加法繪制彎矩圖可以少求一些控制截面的彎矩值，少求甚至不求支座反力。而且

8、對以后利用圖乘法求位移，也提供了把復雜圖形分解為簡單圖形的方法。圖4 疊加法作彎矩圖（2）分段疊加法簡支梁彎矩圖的疊加方法推廣應用到直桿的任意段情形。疊加法作彎矩圖步驟：求出必要的支座反力；求得區(qū)段兩端的彎矩值，將彎矩縱坐標連成虛線。以虛線為基線，將區(qū)段中的荷載作用在簡支梁上的彎矩圖疊加。注意：疊加法是數(shù)值的疊加，不是圖形的拼湊。（二）靜定多跨梁1. 靜定多跨梁的基本形式圖5 靜定多跨梁的基本形式2.分析靜定多跨梁的原則和步驟按照附屬部分支撐于基本部分的原則繪出層次圖（如圖6所示）。先從最上層的附屬部分開始，依次計算各梁的反力。分別作出各梁的內(nèi)力圖。圖6 層次圖三、靜定平面剛架（一）靜定平面剛

9、架的幾何形式和受力、變形特點1.幾何形式剛架是由若干直桿、部分或全部用剛結點連結而成的幾何不變體系。當剛架各桿軸線和外力作用線都處于同一平面內(nèi)時稱為平面剛架。（a）懸臂式 （b）簡支式 （c）三鉸式圖7 靜定剛架的類型2.受力和變形特點剛結點可承受和傳遞彎矩，剛結點處的各桿端不能發(fā)生相對移動和相對轉動，因而受力變形后，各桿桿斷轉動了同一角度，即各桿之間的夾角保持不變。（二）靜定平面剛架的內(nèi)力計算在靜定剛架的受力分析中，一般需先求支座反力，支座反力的計算的正確是內(nèi)力計算推確的保證。通常由剛架整體或某些部分的平衡條件求出各支座反力、并校核正確無誤后再計算內(nèi)力。剛架的內(nèi)力有M、Q、N。彎矩不規(guī)定正負

10、號，只規(guī)定彎矩圖畫在桿件受拉一側；剪力、軸力的正負號與梁相同。彎矩M =截面一邊所有外力對截面形心的外力矩之和。外力矩和彎矩使桿同側受拉時取正，反之取負。剪力Q =截面一邊所有外力沿桿軸法線方向投影代數(shù)和。外力繞截面形心順時針轉動，投影取正，反之取負。軸力N =截面一邊所有外力沿桿軸切線方向投影的代數(shù)和。外力指向截面投影取正，反之取負。結點處有不同的桿端截面。各截面上的內(nèi)力用該桿兩端字母作為下標來表示，并把該端字母列在前面。注意結點的平衡條件。（三）靜定剛架內(nèi)力圖的繪制靜定剛架內(nèi)力圖有彎矩圖、剪力圖、軸力圖。剛架的內(nèi)力圖是由各桿的內(nèi)力圖組合而成的，因此，只需求出桿端截面的內(nèi)力值，然后按照梁中繪

11、制內(nèi)力圖的方法畫出即可。求支座反力。求控制截面的內(nèi)力?？刂平孛嬉话氵x在支承點、結點、集中荷載作用點、分布荷載不連續(xù)點?？刂平孛姘褎偧軇澐殖墒芰唵蔚膮^(qū)段。求出各控制截面的內(nèi)力值，根據(jù)每區(qū)段內(nèi)的荷載情況，利用疊加法作出內(nèi)力圖。求截面的Q、N圖有兩種方法，一是由截面一邊的外力來求；另一種方法是首先作出M圖；然后取桿件為分離體，建立矩平衡方程，由桿端彎矩求桿端剪力；最后取結點為分離體，利用投影平衡由桿端剪力求桿端軸力。當剛架構造較復雜（如有斜桿）或者是外力較多時，計算內(nèi)力較麻煩時，采用第二種方法。 在剛結點上，各桿端彎矩和結點集中力偶應滿足結點的力矩平衡。尤其是兩桿相交的剛結點，無結點集中力偶作用時

12、，兩桿端彎矩應等值，同側拉。滿足：X0，Y0，M0。四、三鉸拱（一）概述拱結構是指桿軸為曲線且在豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平推力的結構。拱結構與梁的區(qū)別在于水平推力的存在。 圖8a所示的結構，在豎向荷載作用下無水平推力產(chǎn)生，稱為曲梁。圖8b所示的結構，豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平推力，故屬于拱結構。圖8 曲梁與拱結構拱的基本特點是在豎向荷載作用下會產(chǎn)生水平推力H。水平推力的存在與否是區(qū)別拱與梁的主要標志。由于水平推力的存在，對拱趾處基礎的要求高。在屋架中，為消除水平推力對墻或柱的影響，在兩支座間增加一拉桿，把兩支座改為簡支的形式，支座上的水平推力由拉桿來承擔。常見的拱結構：圖9 常見的拱結構（二）三鉸

13、拱的計算因為簡支梁的內(nèi)力計算大家非常熟練，所以在計算三鉸拱在豎向荷載作用下的內(nèi)力時，和同跨度同荷載的簡支梁對應起來，以找出兩者在支座反力、內(nèi)力等方面的區(qū)別，便于理解和記憶。 1.支座反力的計算公式三鉸拱可視為由兩根曲桿和地基按三剛片規(guī)則組成的靜定結構，有4個支座反力。 圖10 拱的支座反力，在豎向荷載作用下，三鉸拱的支座反力有如下特點：支座反力與拱軸線形狀無關，而與三個鉸的位置有關。豎向支座反力與拱高無關。當荷載和跨度固定時，拱的水平反力H與拱高f成反比，即拱高f越大，水平反力H越小，反之，拱高f越小，水平反力H越大。 2.內(nèi)力的計算公式 圖11 拱的內(nèi)力計算注意：該組公式僅用于兩底鉸在同一水

14、平線上，且承受豎向荷載；在拱的左半跨jk取正右半跨取負。3.內(nèi)力圖（1）畫三鉸拱內(nèi)力圖的方法：描點法（2）畫三鉸拱內(nèi)力圖的步驟計算支座反力計算拱圈截面的內(nèi)力（可以每隔一定水平距離取一截面，也可以沿拱軸每隔一定長度取一截面）。按各截面內(nèi)力的大小和正負繪制內(nèi)力圖。注意：仍有Q=dM/ds即剪力等零處彎達極；M、Q、N圖均不再為直線；集中力作用處Q圖將發(fā)生突變；集中力偶作用處M圖將發(fā)生突變。（三）三鉸拱的合理軸線 三鉸拱在荷載作用下各截面上一般產(chǎn)生彎矩、剪力及軸力。當拱所有截面均受到均勻壓力且處于無彎矩及無剪力狀態(tài)時，材料的使用最經(jīng)濟。我們將這種在固定荷載作用下使拱處于無彎矩狀態(tài)的軸線稱為合理軸線。

15、合理拱軸線的確定：在荷載、跨度、矢高給定時，H是一個常數(shù)，合理拱軸線與相應的簡支梁的彎矩圖形狀相似，對應豎標成比例。在荷載、跨度給定時，合理拱軸線 隨f的不同而有多條，不是唯一的。五、靜定桁架（一）概述桁架是一種由若干直桿在其兩端用鉸聯(lián)結而成的幾何不變的鉸結鏈桿體系。在平面桁架中，通常引用如下假定： （1）各桿兩端用理想鉸相互聯(lián)結。 （2）各桿的軸線都是絕對平直，在同一平面內(nèi)并通過鉸結點的中心。 （3）荷載和支座反力都作用在結點上并位于桁架平面內(nèi)。 桁架的各桿都是只承受軸力的二力桿。圖12 桁架結構示意圖桁架的桿件，依其所在位置的不同，可分為弦桿和腹桿兩大類。弦桿可分為上弦桿和下弦桿。腹桿又分

16、為豎桿和斜桿。弦桿上兩相鄰結點之間的區(qū)間稱為節(jié)間，其間距 d 稱為節(jié)間長度。實際桁架結點的構造并非理想鉸結，如鋼桁架或混凝土桁架的桿件采用節(jié)點板或預埋鐵件焊接時，并不是鉸結點；木桁架和鋼桁架采用螺栓連接時，其結點比較接近于鉸結。而且各桿的軸線也不一定是理想直線，結點上各桿的軸線也不一定完全交與一點。（二）桁架的內(nèi)力計算1.結點法取單結點為分離體，其受力圖為一平面匯交力系，它有兩個獨立的平衡方程。為避免解聯(lián)立方程，應從未知力不超過兩個的結點開始計算。具體步驟為：（1）求支座反力；（2）求各桿軸力；（3）利用對稱性可得其它桿的軸力；（4）利用D結點的平衡條件來校核。123PPACDPP6ah圖13

17、 結點法示意圖 2.截面法取桁架中包含兩個或兩個以上結點的部分為分離體，其受力圖為一平面任意力系，可建立三個獨立的平衡方程。對兩未知力交點取矩、沿與兩平行未知力垂直的方向投影列平衡方程，可使一個方程中只含一個未知力。N1O圖14 截面法示意圖3.聯(lián)合法單獨使用結點法或截面法有時并不簡潔。為了尋找有效的解題途徑，必須不拘先后地應用結點法和截面法。那就是要注意：選擇合適的出發(fā)點，即從哪里計算最易達到計算目標；選擇合適的截面，即巧取分離體，使出現(xiàn)的未知力較少；選用合適的平衡方程，即巧取矩心和投影軸，并注意列方程的先后順序，力求使每個方程中只含一個未知力。1圖15 結點法與截面法聯(lián)合使用示意圖六、組合

18、結構組合結構由兩類桿件組成：（1）二力桿，只承受軸力；（2）梁式桿，同時承受彎矩、軸力、剪力。計算組合結構時應注意：注意區(qū)分鏈桿（只受軸力）和梁式桿（受軸力、剪力和彎矩）；前面關于桁架結點的一些特性對有梁式桿的結點不再適用；一般先計算反力和鏈桿的軸力，然后計算梁式桿的內(nèi)力；取分離體時，盡量不截斷梁式桿。附：相關習題1.試分析圖下圖所示體系的幾何構造。解 首先，三角形和是兩個無多余約束的剛片，分別以和表示。與基礎間的鏈桿1、2相當于瞬鉸，與基礎間的鏈桿3、4相當于瞬鉸，如果、三個鉸不共線，則體系為無多余約束的幾何不變體系。否則，體系為幾何瞬變體系。2.試作下圖（a）所示靜定多跨梁的內(nèi)力圖。（a）（b）（c）解 此梁的組成次序為先固定梁，再固定梁，最后固定梁?；静糠峙c附屬部分之間的支撐關系如圖（b）所示。計算時按照相反的次序拆成單跨梁，如圖（