2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第8章-第3節(jié) 圓的方程【課件】

第八章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程1.理解確定圓的幾何要素，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.圓的定義和圓的方程定長(zhǎng)D2＋E2－4F＞02.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).圓外圓上圓內(nèi)常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒×√×√解析(1)當(dāng)a＝0時(shí)，x2＋y2＝0表示點(diǎn)(0，0)；當(dāng)a≠0時(shí)，表示半徑為|a|的圓.A解析法一∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，

3.(2023·上海卷)已知圓C：x2＋y2－4y－m＝0的面積為π，則m＝________.－3解析由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.4.(選修一P85T4改編)已知△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，則△AOB的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________________.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一圓的方程例1(1)已知圓的圓心為點(diǎn)(2，－3)，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是(

) A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52A解析設(shè)兩端點(diǎn)分別為(a，0)和(0，b)，則a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，即a＝4，b＝－6，(2)(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_(kāi)______________________.(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析法一設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三設(shè)A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半徑為r，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.感悟提升求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，用待定系數(shù)法求系數(shù).訓(xùn)練1(1)(2024·邯鄲模擬)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為_(kāi)___________________.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1解析到兩直線3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，又兩平行線間的距離為2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.(2)(2022·全國(guó)乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)_____________________________________________________________________________________(寫出一個(gè)即可).解析依題意設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.①若圓過(guò)(0，0)，(4，0)，(－1，1)三點(diǎn)，所以圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；所以圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若圓過(guò)(0，0)，(4，2)，(－1，1)三點(diǎn)，考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例2

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；解法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1.化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1，0)，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))，所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3，0)，M是線段BC的中點(diǎn)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).感悟提升求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.D所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，所以x2＋(y－2)2＝8為點(diǎn)M的軌跡方程.(2)若長(zhǎng)為10的線段的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_____________.x2＋y2＝25解析設(shè)M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，得4x2＋4y2＝100，即點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝25.考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(2)x＋y的最大值和最小值；解設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距.解析P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1′(2，－3)，12由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，感悟提升C解析將方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圓心為(2，1)，半徑為3的圓.設(shè)z＝x－y，數(shù)形結(jié)合知，只有當(dāng)直線x－y－z＝0與圓相切時(shí)，z才能取到最大值，(2)(2024·福州質(zhì)檢)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1關(guān)于直線ax＋2y＋1＝0對(duì)稱的圓記為⊙O2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為⊙O1，⊙O2上的動(dòng)點(diǎn)，EF長(zhǎng)度的最小值為4，則a＝________.因?yàn)椤袿1和⊙O2關(guān)于直線ax＋2y＋1＝0對(duì)稱，所以|O1O2|＝2d，則EF長(zhǎng)度的最小值為||O1O2|－2r|＝|2d－4|，又EF長(zhǎng)度的最小值為4，所以|2d－4|＝4，易知d>0，所以d＝4，課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.下列各點(diǎn)中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的內(nèi)部的是(

)A.(0，2) B.(3，3)C.(－2，2) D.(4，2)A解析由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圓內(nèi)；由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圓外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圓上，由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圓上.2.圓心為(1，1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是(

)A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2D解析因?yàn)閳A心為(1，1)且過(guò)原點(diǎn)，3.圓C：x2＋y2－2x－3＝0關(guān)于直線l：y＝x對(duì)稱的圓的方程為(

)A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0A解析由題意，得圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為(1，0)，半徑為2.故其關(guān)于直線l：y＝x對(duì)稱的圓的圓心為(0，1)，半徑為2，故對(duì)稱圓的方程為x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.C解析設(shè)△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，所以△ABC的外接圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過(guò)圓M的圓心(1，3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱.因?yàn)?2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故點(diǎn)(2，3)在圓M內(nèi).5.設(shè)P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(

) A.6

B.25 C.26 D.36D解析(x－5)2＋(y＋4)2表示點(diǎn)P(x，y)到(5，－4)的距離的平方，∵P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為圓心(2，0)到(5，－4)的距離與半徑之和的平方，B解析圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心為(－1，－2)，依題意，點(diǎn)(－1，－2)在直線ax＋by＋1＝0上，因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，AB8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是____________，半徑是________.(－2，－4)5解析依據(jù)圓的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.當(dāng)a＝－1時(shí)，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心為(－2，－4)，半徑是5；當(dāng)a＝2時(shí)，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，9.已知等腰△ABC，其中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，0)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，1)，則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)______________________________________.x2＋y2＝2(除去點(diǎn)(1，1)和點(diǎn)(－1，－1))解析設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，因此點(diǎn)C不能為(1，1)和(－1，－1).所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(diǎn)(1，1)和點(diǎn)(－1，－1)).10.(2024·德州聯(lián)考)已知A(0，2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.解析因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，解得b＝1，所以外接圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.(2)若線段MN的端點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5，2)，端點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程.解設(shè)P(x，y)，由于P是MN中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得M(2x－5，2y－2)，代入x2＋(y－1)2＝10，12.已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn).求：(1)m＋2n的最大值；設(shè)m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，因?yàn)樵撝本€與圓有公共點(diǎn)，設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.13.(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝