彈性力學(xué)重點(diǎn)復(fù)習(xí)題及其答案

1、彈性力學(xué)重點(diǎn)復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、 形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時(shí)為正,縮短時(shí)為負(fù),與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相 適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正,變大時(shí)為負(fù),與切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī) 定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力,它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng) 度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量,也就是正應(yīng)力 和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是L"Mr205、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變

2、問題。7、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量q=100 MPa, by=50MPa,卻、=10回MPa,則主應(yīng)力任=150MPa, cr2 = 0MPa, 4= 35°16'。8、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，q=200 MPa, j=0MPa, % =700 MPa,則主應(yīng)力b尸臭2MPa, b)= -312MPa, = -37° 57z o9、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，b,=-2000 MPa, bv =1000 MPa, rn=-400 MPa,則主應(yīng)力 Q-,= 1052 MPa, 6 = -2052 MPa, a, = -82° 32' .10、在弓而J學(xué)里分梆I

3、瓶廠要考慮靜力學(xué)、兒何學(xué)和物理學(xué)三方面條件,分別建立三 套方程。11、表示應(yīng)力分力與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束,或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、 應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu),然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。 其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的,另一部 分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有

4、關(guān) 的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變;另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相 同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量 應(yīng)變,還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù),為 了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們?cè)诠步Y(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí), 也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移O19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)N在i結(jié)點(diǎn)M三L：在其他結(jié)點(diǎn)Ni=9及20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用而種方法：一是將單元的尺寸減小, 以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情

5、況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式,使位移 和應(yīng)力的精度提高。二、判斷題（請(qǐng)?jiān)谡_命題后的括號(hào)內(nèi)打“ J”，在錯(cuò)誤命題后的括號(hào)內(nèi)打“X”）1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。（V）2、均勻性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。 （X）3、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體是由同一材料組成的。（X）4、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的物理方程是完全相同的。（X）5、如果某一問題中，o=zr=j=0,只存在平面應(yīng)力分量*,rvv,且它們不沿z方向變化，僅為X, y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。（J）6、如果某一問題中，/=及=4=0,只存在

6、平面應(yīng)變分量%, Yxy,且它們不沿z方向變化，僅為x, y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。（J）7、表示應(yīng)力分量與面力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。（X）8、表示位移分量與應(yīng)力分量之間關(guān)系的方程為物理方程。（X）9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（J）10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí).，形變分量即完全確定。（7）11、按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用位移法和應(yīng)力法。（X）12、按應(yīng)力求解平面問題，最后可以歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。（X）13、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力。（X）14、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。（J）15、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單

7、元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（7 ）三、簡答題1、簡述材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究對(duì)象、研究方法方面的異同點(diǎn)。在研究對(duì)象方面，材料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件，也就是長度遠(yuǎn)大于高度和寬度 的構(gòu)件；而彈性力學(xué)除了對(duì)桿狀構(gòu)件作進(jìn)一步的、較精確的分析外，還對(duì)非桿狀結(jié)構(gòu)， 例如板和殼，以及擋土墻、堤壩、地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)加以研究。在研究方法方面，材料力學(xué)研究桿狀構(gòu)件，除了從靜力學(xué)、兒何學(xué)、物理學(xué)三方面 進(jìn)行分析以外，大都引用了一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，這就大簡化了 數(shù)學(xué)推演，但是，得出的解答往往是近似的。彈性力學(xué)研究桿狀構(gòu)件，一般都不必引用 那些假定，因而得出的結(jié)果就比較精確，并且可以用來校核

8、材料力學(xué)里得出的近似解答。2、簡述彈性力學(xué)的研究方法。答：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、兒何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。 即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何 關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性 體的邊界上還要建立邊界條件。在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上微分體的平衡條件， 建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件建立位移邊界條件。 求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、兒何方程、物理方程求解應(yīng)力 分量、形變分量和位移分量。3、彈性力學(xué)中應(yīng)力如何表示？正負(fù)如何規(guī)定？答：彈性

9、力學(xué)中正應(yīng)力用。表示，并加上一個(gè)下標(biāo)字母，表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面與作 用方向；切應(yīng)力用2表示，并加上兩個(gè)下標(biāo)字母，前一個(gè)字母表明作用面垂直于哪一個(gè) 坐標(biāo)軸，后一個(gè)字母表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。并規(guī)定作用在正面上的應(yīng)力以沿 坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，作用在負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方 向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。4、簡述平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的區(qū)別。答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變 化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量只有外, by, rxyo而平面應(yīng)變問題是指很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并

10、且不沿長度變 化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面并且不沿長度變化，對(duì)應(yīng)的位移分量只有和u5、簡述圣維南原理。如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢 量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn) 處所受的影響可以不計(jì)。6、簡述按應(yīng)力求解平面問題時(shí)的逆解法。答：所謂逆解法，就是先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；并由應(yīng)力分量與 應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看 這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的 問題。7、以三節(jié)點(diǎn)三角形單元為例，簡述有限單元法求

11、解離散化結(jié)構(gòu)的具體步驟。（1）取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)。（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變。（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力。（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力出單元的結(jié)點(diǎn)力。（6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置，求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載。（7）列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。8、為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足哪些條件?W.,V答：為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足下列條件：(1)位移模式必須 能反映單元的剛體位移；(2)位移模式必須能反映單元的常

12、量應(yīng)變；(3)位移模式應(yīng)盡 可能反映位移的連續(xù)性。9、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移？每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部 分是本單元的形變無關(guān)的，即剛體位移，它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。 甚至在彈性體的某些部位，例如在靠近懸臂梁的自由端處，單元的形變很小，單元的位 移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形 態(tài)，位移模式必須能反映該單元的剛體位移。10、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變？答：每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)

13、有關(guān) 的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相同的, 即所謂常量應(yīng)變。而且，當(dāng)單元的尺寸較小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，也就是單 元的應(yīng)變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。因此，為了正確反映單元的 形變狀態(tài)，位移模式必須能反映該單元的常量應(yīng)變。11、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，能否選取如下的位移模式并說明理由：(1) u(x,y)=a+a2x2+a3y , v(x,y)=a4 +a5x+a6y2(2) +a2xy+a3y2 , v(x,y)=a4x2 +a5xy+aby2答：(1)不能采用。因?yàn)槲灰颇Ｊ經(jīng)]有反映全部的剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng)；對(duì)坐標(biāo)X,)，

14、 不對(duì)等；在單元邊界上的連續(xù)性條件也未能完全滿足。(2)不能采用。因?yàn)椋灰颇Ｊ經(jīng)]有反映剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng)；在單元邊界上 的連續(xù)性條件也不滿足。四、分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的 應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。(1) v =Ax+By , av=Cx+Dy, T =Ex+Fy ；(2) ax=A(x2+y2) , a=B(x2+y2), r=Cxy ； J了其中，A, B, C, D, E,尸為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程信 人/ a， a，、</： (2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程

15、二十二(5+5 )=0； (3)在邊界上的應(yīng)力M y"。)dy dx=fx（s）- ； _;（4）對(duì)于多連體的位移單值條件。（"v+/tJ=3（s）（1）此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須4=-F, D=-E.此 外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。（2）為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+8=0；為了滿足平衡微分方程，其系 數(shù)必須滿足4=3=672。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量0=-2）+，工'，（y> =C1xy1,/一，體力不計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)G，C2, C3o解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程

16、絲J空1=0dx dy,巴+Jdy dx得-Sy2 +3C/2 -3G y 2 -C3/=o一 3c2 xy-2 c3 xy=O即(3C-C3>2-(e+3C2)y2=O<(3C2+2C3)a7=0由x, y的任意性，得'3CG=0< e+3c2=o3C2+2C3=O由此解得，C|= , C,=, C3=6 一 3- 23、已知應(yīng)力分量b、=q , Tx=0 ,判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和 相容方程。解：將已知應(yīng)力分量巴=-小b，Qv=0,代入平衡微分方程w.,V可知，已知應(yīng)力分量q=M，b、=q , Jv=0一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略 不計(jì)時(shí)才滿足

17、。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程：o*' t鏟9口)+密9廣/)=2(1+”溫將已知應(yīng)力分量,=-q, b、=-q , 1V=0代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：l-v dxdy將已知應(yīng)力分量o=-q , %=-（ , %=0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否 可能存在。（1）£x=Axy , y-C-Dy1;（2） £x=Ay2 , £y=Bx2y , yx>-Cxy ：（3） £x =0 , e、=0, yxy=Cxy ；其中，A, B,

18、 C,。為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即式 dx2 dxdy將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2） 2A+2By=C （1分）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0, 2A=C.（3） 0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足:C=0,則-=0, 4=0, /tv=0 （1分）。5、證明應(yīng)力函數(shù)0=外2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解 決什么問題（體力不計(jì)，岳安）。解：將應(yīng)力函數(shù)94），2代入相容方程女2 分,2 ay4可知，所給應(yīng)力函數(shù)尹斗），2能滿足相容方程。 由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)

19、生上述應(yīng)力時(shí)、根據(jù)邊界條件，上下左右四 個(gè)邊上的面力分別為：Ij上邊，y=-，/=0，一 1，£=一«Q）力=0，4=-（bv） ,=0；7v=-v=-_422h下邊，產(chǎn)彳，/=0，7=1, £=（%，）力=0，/v=（bj h=Q ；2.產(chǎn)5.左邊，x=_g, 1=1, m=O,0=一（名）,=一2，/； =_« ） /=0；7.A=_-*.K=_422右邊,X=<，/=1, ?=0，） t =2b, f =（Txv） z=0o2A=-A-可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右.的均布面力2兒 因此, 應(yīng)力函數(shù)歹4產(chǎn)能解決矩形板在X

20、方向受均布拉力 SO）和均布?jí)毫Γ╞<0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù)片/0，能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解 決什么問題（體力不計(jì)，）o解：將應(yīng)力函數(shù)4例y代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)上”能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為d2(p“=一=一。dxdyd2（p 八 cr（p 八6 =v=o，區(qū) -、X 6 2）dx2對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四 個(gè)邊上的面力分別為：上邊,h尸院/町，/（）,二，片一億）尸尸； W.,V這兩個(gè)方程要求下邊,h左邊,/ x=,2I=，?=0，人=_（6） /=0，/v =一（二“）/

21、=； 產(chǎn)一5右邊,可見,X=-，/=1，m=o ' £ =（q ）/=0 ' /> =（%）=一。在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力“，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力因此，應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅(jiān)柱，密度為夕，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分 量。x 解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓, 即設(shè)/=0。由此可知b =-=0 /2將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 （P（y）=fiWy+f2（x）將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得dx4 dx4這是），的線性方程,但相容方程

22、要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它）,可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即dx4/, (x)=Av3 +Bx2+Cx+I , f2(x)=D.x5 +Ex2 +Jx+K代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得 (p=y(Ax'+Bx2 +Cx)+Dx3 +Ex2對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為a v=-=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgyd2(p 7-=-3Ax2-2Bx-C dxdy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，工=0, /=1, 口0,沿)，方向無面力，所以有 一().l=c=o右邊，x=Z?, /=1, ?=0,沿y方向的面力為夕，所以有 (*從一2

23、3上邊，y=0, /=(), -1,沒有水平面力，這就要求小在這部分邊界上合成的主 矢量和主矩均為零，即將Q,的表達(dá)式代入，并考慮到C=o,則有：(-3 Am 2-2Bx)dx=-Ax 3-Bx2=-Ab5-Bb2 =0而f'(Q、.)x)a/x=。自然滿足。乂由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求,在這部 分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即(9、.)一依0 ,心=0將。，的表達(dá)式代入，則有(6Dx+2E)dx=3Dx2 +2Ex: =3Db2 +2Eb=06Dx+2E)xdx=2Dx 3+Ex2|J=2D/?3 +Eb2 =0 由此可得A=B 旦,C=0, ZX), E=0b2

24、b應(yīng)力分量為X N c T=q 3-2 ° b bV x=0， bv=24L 1-3- -pgy,隊(duì) b)雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn) 離）=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為/v=-, f= ,其中v是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為， dx oyo產(chǎn)駕+V, b產(chǎn)空+V, Tx=-L ,試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。X dy?dx2 xy dxdy證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分量%, %, % 應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程6 J_"-0d

25、xdydx阿,此，一dxdy（1分）還應(yīng)滿足相容方程（對(duì)于平面應(yīng)力問題）w.,Vj+JIl+g）u也生| （對(duì)于平面應(yīng)變問題）（次6-J'、'1-從&；并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。 首先考察平衡微分方程。將其改寫為這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為（7 -V ）=（-T ）ox x尸6'根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（X, y）,使得 dA dA6-V =，-T=dy y dx同樣，將第二個(gè)方程改寫為二(b、T 卜縣(f J(1 分) oy ox可見也一定存在某一函數(shù)8 (x, y)

26、,使得tz dBdB(r-V=- , -rv.=> dxdy由此得絲里dx dy因而乂一定存在某一函數(shù)°(xy),使得dyd2(pdxdy代入以上各式，得應(yīng)力分量W(p ,<7=-v+V，b為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)以x,y)必須滿足一定的方程, 將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得2+三丫蟲+V+速+w.,V簡寫為V4=-(1-/)V2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得簡寫為a2 a2女2十挪9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為夕，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為(p=ax +bx2y+cxy2 +&

27、quot;y、相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為d(pd(p&(p%-獷=2cx+6"y， 5 =一加=6ax+2by-pgy, rdy-6廠dxdy這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù), 是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y=0, /=0, ?=-1,沒有水平面力，所以有一 (J).o=2x=O對(duì)上端面的任意X值都應(yīng)成立，可見b=0同時(shí).，該邊界上沒有豎直面力，所以有一(bv)v.o=64x=O對(duì)上端面的任意X值都應(yīng)成立，可見4=0因此，應(yīng)力分量可以簡化為crx=2cx+6dy , aY=-pgy , rxv=-2cy斜面,y=xtantz ,in=

28、cos(-a )=cosa ,沒有 面力，所以有Icy +mrvx)=0 k V/v=xtana(m<Tv+/fxv)=0lv » x-/v=mna由第一個(gè)方程，得一(2cx+6c/xt ana )s in a-2cxtanacosa=-4cxs incz-6Jxtanas iii a=0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求-4c-61tana=0 由第二個(gè)方程，得2cxtanasina一房xtanacosa=2cxtanasin2一xsina=0對(duì)斜面的任意X值都應(yīng)成立，這就要求2ctan。-q=0 （1 分）由此解得c=pgcota （1 分），d=-pcQVa從而應(yīng)力分量為

29、=pgxcota-2pgycot2a, bv =-儂，rxy=-pgycota設(shè)三角形懸臂梁的長為/,高為h,則tana=；。根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束 反力沿x方向的分量為0,沿y方向的分量為行因此，所求?在這部分邊界上 2合成的主矢應(yīng)為零，1應(yīng)當(dāng)合成為反力"?7。21 （b J f/y=J （pglcota-2pgycota）.iy=pglhcota-pgh2cot2a=0j（Q，）i 心=,（一o。M廣J 感力 2 c ota=pglh可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角。，下端作為無限長，承受重 力及液體壓力，楔形體的密度為P-液體的密度為金，試求應(yīng)力分量。解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力 分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在