西農數學建模復習題及答案.

1、2、如果連續(xù)復利時，以什么利率才能使本金在8年內變成3倍？ 1、在每半年復利一次的情況下，以8%的利率，需要經過多長時間才能使現值增到2.5倍？3、連續(xù)收益流量每年按80萬元持續(xù)5年，若以年利率5%貼現，其現值應是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S80353.92tedt8003SSre002.5SS+2T0.08（1）24、某汽車使用壽命為10年，若購買此車需35000元，若租用此車每年租金為7200元，若資金的年利率為14%，按連續(xù)復利計算，問買車與租車哪一種方式合算。 計算租車資金流量總值的現值，然后與購買費相比。租車租金流量總值的現值為 所以買車比租車合算。 10101

2、4141172003875635000iiiiiS ee5 、 一商家銷售某種商品的價格滿足關系xp2 . 07 (萬元/噸)， x 為銷售量(單位：噸)；商品的成本函數是 C=3x+1(萬元)。 (1) 若每銷售一噸商品，政府要征稅t(萬元)，求該商家獲最大利潤時商品的銷售量； (2) t 為何值時，政府稅收總額最大。 6、已知某企業(yè)生產的商品的需求彈性為1.2，如果該企業(yè)準備明年將價格降低15%，問這種商品的銷量預期會增長多少？總收益會增長多少？25(2) 10 02 2TtxttTt R18%, 3%RQQ令2(70.2 )31(4)0.21PxCTx xxtxt xx 5( )0,(

3、)0102L xL xxt（1）利潤L(x)= 7、某消費者打算購買兩種商品q1和q2，他的預算約束是240元，兩種商品的單價分別是10元和2元,其效用函數為U=q1q2,消費者的最優(yōu)商品組合是什么？一元錢的邊際效用是多少？8、效用函數U(q1,q2) 應滿足的條件是以下的A,B之一：A. U(q1,q2) =c 所確定的函數 q2=q2(q1)單調減、下凸；0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqUAB 證明：對U(q,q2) =c兩端求q1的一階導和二階導 12102240qq1212MUMUPP1212,60qq解 建立方程組得解出一元錢邊際效用為610、

4、在確定性存貯模型中，在費用中增加購買貨物本身的費用，確定不允許缺貨的最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。 9、已知消費者的效用函數為212() , ,0Ua qb qa b211 11 122222212a = ba qp qp qpp qp qpb q或分析消費者的均衡。不允許缺貨不改變，允許缺貨改變。11、建立不允許缺貨的生產銷售存儲模型：設企業(yè)邊生產邊出售，生產速度k大于銷售速度r（均為常數）。時刻t0以后只銷售不生產。設每次生產開工費為c1，單位時間每件產品的存儲費為c2，求最佳生產周期T。00000) 0tt () t ()() kr tr TttTrTkr tr Tttk （q(t)因為所以2

5、22111()( )()22cc r KrC TcTKr tcTK12()( )2cc r KrC TTTK( )0dC TdT*122()c KTc r Kr解、存量為令得最小的最佳周期為 oTtq0t單位時間總費用每周期的總費用為13、某儀器廠一年需要另一企業(yè)生產的某種配件50000件，平時對這種配件的使用數量是穩(wěn)定的。該配件每次訂貨費為2000元單價為每件10元，而當一次訂貨量達到10000件時，單價可以優(yōu)惠至每件9.6元，配件的庫存費為8元/件年，試求電器廠每次訂該配件多少才最經濟？12、商場皮鞋柜銷售某品牌女鞋，從廠方每次進貨需付訂貨費400元，每雙鞋的進價(包括運費)為94元，每雙

6、鞋在商場期間的各種花費總數（統(tǒng)稱之貯存費）為每月18元,假定這種女鞋在商場的銷售速度均勻144(雙/月).試問：為了降低成本，皮鞋柜承包商應間隔多少時間向廠方進一次貨？每次又應進多少雙鞋？T=5/9月 Q=80雙10000件1.假設人口增長率與 成正比；試建立人口模型并給予評價，這里 為最大人口數，a為常數。amxx)(1mx模型為01() (0)amdxxkxdtxxx令1()amxyx則11()ammdyxdxadtxxdt 得0(1)(0)dyakyydtyy 1()amxyx001()amxyx解得001(1)katkaty eyye2.考察一個漁場，其中魚量在天然環(huán)境下按Logist

7、ic規(guī)律增長，給出魚量的模型。00001()11(1)1(1)katakatkatmy eyxxyeye , t mxx01(0)mdNNrNdtNNN所以當模型為0( )1 (1)mmrtmNN tNNeN3.傳染病模型21世紀初，傳染病經常在世界各地流行，應該建立適當的數學模型預測傳染病高潮的到來。下面是對一個傳染病問題的簡化假設，建立這種傳染病問題的數學模型并對求解結果進行簡單分析。（1）設某國家總人數是N, t 時刻健康人數為S(t), 病人人數為 I(t), I(0) = ，N=S(t)+I(t) 0I（2）t 時刻單位時間內一個病人能傳染的人數與 健康人數成正比，比例系數為K(稱為

8、傳染系數）。0(0)dIk NI IdtII模型為000( )KNtKNtNI eI tNII e4. 某汽車廠生產三種類型的汽車，已知今年的銷售量與價格如下： 型號 1型 2型 3型銷售量（萬輛） 5 8 10價格（萬元） 20 15 12 若估計價格彈性矩陣為試計劃明年的產量與價格，使銷售收入最大。5 . 1 0.5 0.30.6 2 0.40.2 0.3 3E123,x xx123,P P P123,q q q(1) 1,2,3iiiPPxi311(1) 1,2,3jjiiiqqxj3312311223311( ,)(1)(1)iiiijjijR x x xP qP qP qPqxx0(

9、1,2,3)iRix解：設1.2.3車型價格增長分別，設今年價格分別為產量分別為則明年的價格為 明年的產量為收入令12315.9413.8712.3ppp 1237.929.778.57qqq 5 5 設有一個經濟系統(tǒng)包括三個部門，在某一設有一個經濟系統(tǒng)包括三個部門，在某一生產周期內，各部門間的直接消耗系數和最終生產周期內，各部門間的直接消耗系數和最終產品為產品為 求完全消耗系數矩陣和總產量。求完全消耗系數矩陣和總產量。 若在以后的兩個周期內若在以后的兩個周期內,第一部門最終產品的增長速度是每周期增長第一部門最終產品的增長速度是每周期增長10，第二，第二部門每周期增長部門每周期增長5，第三部門

10、每周期增長，第三部門每周期增長1；那么各；那么各部門的總產值將平均每周增長多少？部門的總產值將平均每周增長多少？0.250.10.1245A=0.20.20.1 ,Y=900.10.10.2175完全消耗系數矩陣1369 180 1801()340 289 190891200 170 269BEAE1400()259300XEAY1122()()(1)(1)XEAYEAYX0.10.050.01總產量向量其中第二周期末總產值向量為再求各部門的總產值平均每周增長多少6、某一經濟系統(tǒng)在一個生產周期內各部門產品的生產與分配情況如表中 間 產 品最終產品總產品 生產資料轉移價值生產部門1 5 810

11、20 26 1 7Y1Y2Y3256030折舊D1 D2 D3新創(chuàng)造價值勞動報酬純收入5 15 102 10 2總 投 入25 60 30試求：(1)各部門的最終產品；(2)各部門新創(chuàng)造價值(3)各部門的固定資產折舊。 （4）直接消耗系數111112132221222333313233()()()YXxxxYXxxxYXxxx12311,28,16YYY1237,25,12ZZZ111121311222122322333123332()()()DXxxxZDXxxxZDXxxxZ1231,9,1DDD(1)由分配平衡方程組可得將具體數值代入得(3)由消耗平衡方程得 （2）由消耗平衡方程得解得（

12、4）直接消耗陣為 114 251215211A 5315671 2560301、某工廠生產某種機器，決策者可選擇生產某工廠生產某種機器，決策者可選擇生產1010臺、臺、2020臺或臺或3030臺。實際需求可能是臺。實際需求可能是1010臺、臺、2020臺或臺或3030臺。假定賣出一臺利臺。假定賣出一臺利潤為潤為1010萬元，滯銷一臺損失萬元，滯銷一臺損失2 2萬元，試用悲觀準則和樂觀準萬元，試用悲觀準則和樂觀準則確定工廠的生產量。若假定需求是則確定工廠的生產量。若假定需求是1010臺、臺、2020臺或臺或3030臺的概臺的概率分別為率分別為0.50.5、0.30.3、0.20.2，再確定工廠的

13、生產量。，再確定工廠的生產量。損益陣為損益陣為 收益值收益值 ( (元）元）需求需求1010臺臺需求需求2020臺臺需求需求3030臺臺選擇選擇1010臺臺100100100100100100選擇選擇2020臺臺8080200200200200選擇選擇3030臺臺6060180180300300樂觀準則 30臺悲觀準則 10臺期望準則 30臺2 2、報童出售一份報紙獲利、報童出售一份報紙獲利0.30.3元，賣不出去損失元，賣不出去損失0.10.1元，假元，假設每天需求量為設每天需求量為1 1，2 2，100100的概率都是的概率都是0.010.01，求報童，求報童每天應定多少報紙可使他平均獲利

14、最大。每天應定多少報紙可使他平均獲利最大。134niiabpac0.3 0.4 abac30.01 754nn即即3、某一季節(jié)性商品必須在銷售之前就把產品生產出來。當市場需求量是D時，生產者生產x件商品獲得的利潤（萬元）是D x3Dx0 2)(xDxxf設D只有四個可能值：1000件，2000件，3000件，4000件，并且取這些值的概率都相等。生產者也希望商品的生產量是上述四個值中的某一個。生產者如何決策，才能使利潤最大？ 損益表為 用期望值決策法：生產1000時，期望利潤為2000元，生產2000時，期望利潤為3250元，生產3000時，期望利潤為3750元，生產4000時，期望利潤為35

15、00元，所以生產3000單位，利潤最大。800050002000-100040006000600030000300040004000400010002000200020002000200010004000300020001000 需求方案 4 4、世界市場對我國某種商品的需求量（噸）服從、世界市場對我國某種商品的需求量（噸）服從2000200040004000上的均勻上的均勻分布，設該商品每出售一噸獲利分布，設該商品每出售一噸獲利3 3萬美元，但若售不出壓在倉庫，則每萬美元，但若售不出壓在倉庫，則每噸需支付保養(yǎng)費噸需支付保養(yǎng)費1 1萬美元，如何計劃年出口量，以獲得最大的期望利潤。萬美元，如何計

16、劃年出口量，以獲得最大的期望利潤。令設年出口量為設年出口量為Q,利潤函數為利潤函數為3() 20003 Q4000 rQrrQLQr400020003()()3()QQELrQrfrdrQfrdr0 Q=3500, maxEL=8250dELdQ5 5、在單周期庫存模型中，假定市場需求分別服從均勻分布和泊松分、在單周期庫存模型中，假定市場需求分別服從均勻分布和泊松分布，分別求最佳訂購量。布，分別求最佳訂購量。21211 ( )0 xrxxxf r其它2101Qabdrxxac21()abQxxac0Qiiabpac所以均勻分布均勻分布泊松分布泊松分布所以0!kQkeabkac或!kk Qebc

17、kac6、一商店擬出售某種商品，已知每單位商品成本為一商店擬出售某種商品，已知每單位商品成本為5050元，售價為元，售價為7070元，如果元，如果售不出去，每單位商品損失售不出去，每單位商品損失1010元，已知該商品銷售量服從參數為元，已知該商品銷售量服從參數為5 5的泊松分的泊松分布，問該商店訂購量為多少單位時，才能使平均獲利最大？布，問該商店訂購量為多少單位時，才能使平均獲利最大？55101!303kk Qebckac6Q 查表得查表得線性規(guī)劃作業(yè)0,03221212121xxxxxx一、用圖解法求解2123maxxxz120, 01522532x 53max21212121xxxxxxx

18、z無可行解125 5 maxz=40 xx二、 某工廠生產A、B、C三種產品，每噸利潤分別為2000元、3000元、3000元，生產單位產品所需要的工時及原材料如下表 資源 A B C 工 時 1 1 1 材 料 1 4 7 若供應的原材料每天不超過9噸，所能利用的勞動力日總工時為3單位，問如何制定生產計劃，使三種產品利潤最大。建立線性規(guī)劃模型并求解。 解：設生產解：設生產A、B、C三種產品分別為三種產品分別為x1、x2、x3，則，則123123123123max20003000+3000 x+9 4730 ,0,0zxxxxxxxxxxx求解得X1=3、x2=0、x3=0 maxz=6000

19、三、工廠生產工廠生產A A、B B兩種產品，每噸利潤分別為兩種產品，每噸利潤分別為3 3千元和千元和4 4千元，千元，生產單位產品所需要的工時、原材料和電力如下生產單位產品所需要的工時、原材料和電力如下 單位產品所需資源單位產品所需資源 產品產品 資源資源 A B A B 工工 時（小時）時（小時） 1 2 1 2 材材 料（噸）料（噸） 3 23 2 電電 力（百度）力（百度） 0 1 0 1 若供應的原材料每天不超過若供應的原材料每天不超過6 6噸，所能利用的勞動力日總工噸，所能利用的勞動力日總工時為時為1212小時。供應的電力每天不超過小時。供應的電力每天不超過2 2百度。問：百度。問：

20、（1 1）如何制定生產計劃，使兩種產品利潤最大。建立線性）如何制定生產計劃，使兩種產品利潤最大。建立線性規(guī)劃模型并求解。規(guī)劃模型并求解。（2 2）求各資源的影子價格并解釋經濟意義。）求各資源的影子價格并解釋經濟意義。（3 3）工廠又開發(fā)了一種新產品，對三種資源的單位需求分）工廠又開發(fā)了一種新產品，對三種資源的單位需求分別是別是3 3，1 1，1 1，單位利潤為，單位利潤為2 2千元，是否應該生產？千元，是否應該生產？設生產設生產A、B兩種產品分別為兩種產品分別為x1和和x2，則，則121212212max34x21226 20 ,0zxxxxxxxx解 （1）（2）最優(yōu)解為x1=2, x2=2

21、/3各資源的影子價格分別為各資源的影子價格分別為y1=0, y2=1 , y3=2工時影子價格為零，說明工時是剩余資源；材料影子價格為1，說明再增加一單位材料，會使最優(yōu)利潤增加1千元，電力影子價格為2，說明再增加一單位電力，會使最優(yōu)利潤增加2千元。（3）不應生產四、某公司下屬的3個分廠A1、A2、A3生產質量相同的工藝品，要運輸到B1、B2、B3這三個銷售點，分廠產量、銷售點銷量、單位物品的運費數據如下： B1B2B3產量A130112317A215192224A327241019銷量231621 試建立這個運輸問題的數學模型并求解。并證明對一般運輸問題的運價表的行或列同加（或減）一個常數，最

22、優(yōu)方案不會變。解 設xij為從第i個發(fā)點到第j個收點的運量i=1,2,3, j=1,2，3331111min1,2,31,2,301,2,3,1,2,3ijijijnijijmijjiijZc xxaixbjxij最優(yōu)解 x12=16 x13=1 x21=23 x23=1 x33=19 其余變量為零，最優(yōu)目標值為756證明思路：將變化后的運價表所對應的最優(yōu)解帶入目標函數后經整理和原問題最優(yōu)解所對應的目標值相差常數五、有五個工人，要指派他們完成五項任務，每人做各項工作消耗的成本矩陣如下：18 18 21 24 2019 23 22 18 2126 17 16 19 2718 21 23 17 2517 25 20 26 19建立這個問題的數學模型1 ,1,2,30ijijxi jij第 人去做第 件任務第 人不做第 件任務33113131min1.10,1( ,1,2,3)ijijijijiijjijZt xxstxxi j解 設模型為六、背包問題：一個旅行者