初中數(shù)學(xué)建模思想的策略研究

1、初中數(shù)學(xué)建模思想的策略研究勐?？h布朗山鄉(xiāng)九年制學(xué)校雷 鑫一 什么是數(shù)學(xué)建模 ？1.1 數(shù)學(xué)建模（ Mathematical Modeling ）是建立數(shù)學(xué)模型并用它解決問題這一過程的簡稱，有代表的定義如下：（ 1 ）、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 4 中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容和基本內(nèi)容 .（ 2 ）、葉其孝在數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動與大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革一書中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模 (Mathematical Modeling) 就是應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些“ 規(guī)律” 建立

2、起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問題(也可稱為一個數(shù)學(xué)模型 ) ，求解該數(shù)學(xué)問題，解釋、驗證所得到的解，從而確定能否用于解決實際問題的多次循環(huán)、不斷深化的過程。兩種定義的區(qū)別在于課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)建模的定義沒有強(qiáng)調(diào)建立特定的解決問題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模的過程中當(dāng)然會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、 方法和知識解決實際問題，但僅僅如此很難稱得上是“數(shù)學(xué)建?！?。 處理很多事情， 比如法律和組織上的問題，常常會用到分類討論的思想、轉(zhuǎn)化的思想、類比的思想，而并沒有建立數(shù)學(xué)模型，這就不能說是進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模。這里所談（實際上，同大部分人認(rèn)為的一樣）的數(shù)學(xué)建模，其過程是要建立具體的數(shù)學(xué)模型的。什么是數(shù)學(xué)模型？根據(jù) 徐利治 先生在數(shù)學(xué)方

3、法論選講一書中所談到， 所謂“數(shù)學(xué)模型”（ Mathematic Model ）是一個含義很廣的概念，粗略的講，數(shù)學(xué)模型是指參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系， 采用形式化數(shù)學(xué)語言， 概括地或近似地表達(dá)出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 廣義的說，一切數(shù)學(xué)概念、 數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由之構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型； 狹義的解釋，只有那些反應(yīng)特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。本論文所談到的數(shù)學(xué)建模，其過程一定是建立了一定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。另外，我們所談的數(shù)學(xué)建模主要側(cè)重于解決非數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的問題。 這類問題往往來自于日常生活、 經(jīng)濟(jì)、工程、醫(yī)學(xué)等其他領(lǐng)域， 呈現(xiàn)“原胚”狀

4、態(tài)， 需要分析、假設(shè)、抽象等加工，才能找出其隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。一般地，數(shù)學(xué)建模的過程可用下面的框圖表示：1.2什么是中學(xué)數(shù)學(xué)建模？這里的“中學(xué)數(shù)學(xué)建?！庇袃芍睾x，一是按數(shù)學(xué)意義上的理解、 在中學(xué)中做的數(shù)學(xué)建模。 主要指基于中學(xué)范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)知識所進(jìn)行的建模活動， 同其它數(shù)學(xué)建模一樣， 它仍以現(xiàn)實世界的具體問題為解決對象，但要求運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識在中學(xué)生認(rèn)知水平內(nèi)， 專業(yè)知識不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教學(xué)價值 。二是按課程意義理解， 它是本文要展開討論的， 一種要在中學(xué)中實施的特殊的課程形態(tài)。它是一種以“問題引領(lǐng)、 操作實踐”為特征的活動型課程。 學(xué)生要通過經(jīng)歷建模特有的過程，真實地解決

5、一個實際問題，由此積累做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗，提升對數(shù)學(xué)及其價值的認(rèn)識。 其設(shè)置目的是希望通過教師對數(shù)學(xué)建模有目標(biāo)、有層次的教與學(xué)的設(shè)計和指導(dǎo)， 影響學(xué)生的學(xué)習(xí)過程， 改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，實現(xiàn)激發(fā)學(xué)生自主思考，促進(jìn)學(xué)生合作交流，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神， 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力， 最終使學(xué)生提升適應(yīng)現(xiàn)代社會要求的可持續(xù)發(fā)展的素養(yǎng)。二全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）有關(guān)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容教育部新啟動的 義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 的修訂中， 東北師大史寧中校長提議，將原來的“雙基”增加到“四基”， 增加了“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和基本數(shù)學(xué)思想”?；净顒咏?jīng)驗是指學(xué)生親自或間接經(jīng)

6、歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗。 另外，全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （修改稿）在“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容中提出了“要初步形成模型思想”，對“綜合與實踐” 部分內(nèi)容加以明確并提供了具體課例。上述變化正是課標(biāo)對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的應(yīng)措。 相比數(shù)學(xué)建模， 綜合與實踐部分是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的最初階段， 因此內(nèi)容包含的更加基本、 廣泛，下面我們將分別介紹全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）提出的“模型思想”，“綜合與實踐” 的內(nèi)容，以及內(nèi)容在實驗稿基礎(chǔ)上的變化，最后在通過實例來說明綜合與實踐部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容。（ 1）模型思想2007 年 12 初全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （修改稿）提出 在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，應(yīng)幫助

7、學(xué)生建立數(shù)感和符號意識， 發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力， 初步形成模型思想。 模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。（ 2） “綜合與實踐”部分與實驗稿相比有如下變化：目的和內(nèi)涵進(jìn)一步明確，統(tǒng)一了名稱 ，給出了明確的定義：“綜合與實踐”，是一類以問題為載體，學(xué)生主動參與的學(xué)習(xí)活動， 是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識的重要途

8、徑。 針對問題情境， 學(xué)生綜合所學(xué)的知識和生活經(jīng)驗， 獨(dú)立思考或與他人合作， 經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、 分析問題和解決問題的全過程， 感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、 數(shù)學(xué)與生活實際之間、 數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。明確要求 “綜合與實踐”應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次。 三個學(xué)段“綜合與實踐”的要求和教學(xué)目標(biāo)有了差異。（ 3）“綜合與實踐”的常用教學(xué)形式和案例按照教學(xué)內(nèi)容不同， “綜合與實踐”可以分為三種內(nèi)容形式： 體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識內(nèi)部聯(lián)系；體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系；體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其它學(xué)科聯(lián)系。若按照活動開展的地點(diǎn)不同， 可以分為課堂內(nèi)、 課堂內(nèi)外結(jié)合、課堂外三種形式。為了配合課程標(biāo)準(zhǔn)的編制和修

9、改， 我和北大附中、 北達(dá)資源中學(xué)的老師們做了不少課例研究，以下就是我們試驗過的，對應(yīng)這三種形式的教學(xué)案例。三新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的部分新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在研制過程中， 對是否增加數(shù)學(xué)建模的要求是有爭議的。 一些專家認(rèn)為， 中學(xué)數(shù)學(xué)是打基礎(chǔ)的階段， 核心是學(xué)好將來需要的基礎(chǔ)知識， 應(yīng)用不必強(qiáng)調(diào)，強(qiáng)調(diào)了也沒有用在大躍進(jìn)時期我們曾強(qiáng)調(diào)過“理論聯(lián)系實際”，文革中我們的教學(xué)內(nèi)容里加入了類似“三機(jī)一泵”， 地主如何算“變天帳”一類的內(nèi)容，弱化了基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)， 效果是不好的。 但一批數(shù)學(xué)家深刻注意到了數(shù)學(xué)的發(fā)展和變化，姜伯駒、李大潛、丁石孫、葉其孝等先生都分別撰文闡明在中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用

10、能力的重要性。 我們多年開展中學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽和中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐也證明了， 數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)中學(xué)生應(yīng)用能力的良好作用。 種種努力，使數(shù)學(xué)建模最終成為 新高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一部分。新高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)在基本理念的第 5 條即是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 ，認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實際背景， 反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值， 開展“數(shù)學(xué)建?！钡膶W(xué)習(xí)活動，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程。 高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、 數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系， 促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識， 提高實踐能力。 由此在數(shù)學(xué)內(nèi)容中特別加入了：數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模 。這些內(nèi)容不

11、單獨(dú)設(shè)置，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中。標(biāo)準(zhǔn)要求高中階段至少各應(yīng)安排一次較為完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建?；顒印?1) 數(shù)學(xué)探究與前面所說的探究性學(xué)習(xí)、 課題學(xué)習(xí)稍有區(qū)別， 標(biāo)準(zhǔn)中所提出的數(shù)學(xué)探究側(cè)重于圍繞一個數(shù)學(xué)問題展開， 被看做是一種新的學(xué)習(xí)方式。 數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實， 提出有意義的數(shù)學(xué)問題， 猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明。 數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式， 有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程， 初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系， 初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程， 體驗創(chuàng)造的激情， 建立

12、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力；有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。(2) 數(shù)學(xué)建模這里標(biāo)準(zhǔn)中談到的數(shù)學(xué)建模， 內(nèi)容即是一般意義上的數(shù)學(xué)建模。 數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程， 已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育重要和基本的內(nèi)容。數(shù)學(xué)建?？梢酝ㄟ^以下框圖體現(xiàn)：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式， 它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間， 有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用， 體驗數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗綜合運(yùn)用知識和方法解決實際問題的過程， 增強(qiáng)應(yīng)用意識； 有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，

13、發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。課程標(biāo)準(zhǔn)提出的教學(xué)要求是：1 在數(shù)學(xué)建模中，問題是關(guān)鍵。數(shù)學(xué)建模的問題應(yīng)是多樣的，應(yīng)來自于學(xué)生的日常生活、現(xiàn)實世界、其他學(xué)科等多方面。 同時，解決問題所涉及的知識、 思想、方法應(yīng)與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有聯(lián)系。2 通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生將了解和經(jīng)歷上述框圖所表示的解決實際問題的全過程，體驗數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實用價值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實踐能力。3 每一個學(xué)生可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)并提出問題， 對同樣的問題， 可以發(fā)揮自己的特長和個性， 從不同的角度、 層次探索解決的方法， 從而獲得綜合運(yùn)用知識和方法解決實際問題的經(jīng)驗，發(fā)展創(chuàng)新意識。4 學(xué)生在發(fā)現(xiàn)

14、和解決問題的過程中，應(yīng)學(xué)會通過查詢資料等手段獲取信息。5 學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)采取各種合作方式解決問題， 養(yǎng)成與人交流的習(xí)慣， 并獲得良好的情感體驗。6 高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排 1 次數(shù)學(xué)建?；顒?。還應(yīng)將課內(nèi)與課外有機(jī)地結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)建?；顒优c綜合實踐活動有機(jī)地結(jié)合起來。標(biāo)準(zhǔn)未對數(shù)學(xué)建模的課時和內(nèi)容做具體安排。學(xué)校和教師可根據(jù)各自的實際情況，統(tǒng)籌安排數(shù)學(xué)建?；顒拥膬?nèi)容和時間。例如，可以結(jié)合統(tǒng)計、線性規(guī)劃、數(shù)列等內(nèi)容安排數(shù)學(xué)建?；顒印Ｅc傳統(tǒng)應(yīng)用題相比， 數(shù)學(xué)建模所解決的問題往往呈現(xiàn)一種“混沌”狀態(tài)， 沒有明顯的數(shù)據(jù)和關(guān)系可用， 所給的條件也不一定有用， 得出的結(jié)論往往不唯一， 建立的數(shù)學(xué)模型也

15、要在實踐中反復(fù)修改驗證，由于具有這些特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的最佳方式之一， 能讓學(xué)生更好地體驗數(shù)學(xué)是怎樣運(yùn)用于實際的過程，形成他們的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。四，初中數(shù)學(xué)建模的若干簡要案例4.1初中數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)案例1： -與自行車有關(guān)的問題（小組學(xué)習(xí)實踐）課題：了解自行車中的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，解決以下問題。問題 1：用自己或同學(xué)的一輛自行車為觀察對象，觀察并解決下列問題：（ 1 ）我觀察的這輛自行車是什么牌子的？（ 2 ）它的 直徑 是 _cm ，輪 子轉(zhuǎn) 動一周 ，在地面走過的距 離是_cm ，精確到 1cm 。（ 3 ）自行車中軸的大齒輪盤的齒數(shù)是 _齒，后軸的小齒輪（飛輪）的齒數(shù)是

16、 _，中軸的大齒輪被踏動一周時，后軸的小齒輪在鏈條傳動下，不計算慣性將轉(zhuǎn)動 _周（保留 2位小數(shù)）。問題 2 ：如果你有自行車，并騎車上學(xué)，你能借助于自行車，測量出從你的家到學(xué)校的路程嗎？請你設(shè)計一個測量方案， 并盡可能地通過實際操作測量出從你的家到學(xué)校的路程。問題 3 ：如果你的（或你的朋友）自行車是可以變速的自行車（如山地車、多飛輪的自行車）、請你觀察一下在這輛自行車上有幾個（中軸上的）大輪盤，幾個飛輪，它們都各有多少齒？記錄這些數(shù)據(jù)。 如果你騎車時每一秒腳蹬一圈， 請你根據(jù)上面測量的數(shù)據(jù)計算出這輛自行車運(yùn)行時最大的速度和最小的速度各是每小時多少公里？：選做問題 4 ：你認(rèn)為對問題 3 中的自行車的各個齒輪的齒數(shù)安排的合理嗎？你能發(fā)現(xiàn)或提出什么樣的問題？如果有可能請你做設(shè)計改進(jìn)的話，你會做什么？求解工作的表