二次函數(shù)中平行四邊形通用解決方法.

1、探究（ 1）在圖 1 中，已知線段 AB ，CD ，其中點(diǎn)分別為 E， F。若 A （-1， 0），B （ 3， 0），則 E 點(diǎn)坐標(biāo)為 _ ；若 C（-2， 2）， D（ -2， -1），則 F 點(diǎn)坐標(biāo)為 _ ；（2）在圖 2 中，已知線段AB 的端點(diǎn)坐標(biāo)為A（ a，b），B（ c，d），求出圖中AB中點(diǎn)D 的坐標(biāo)（用含a， b， c，d 的代數(shù)式表示） ，并給出求解過程；歸納無論線段 AB 處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為A（ a，b），B（ c，d），AB 中點(diǎn)為（不必證明）運(yùn)用D（ x，y） 時(shí)，x=_ ，y=_ ；在圖2 中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A，B

2、。求出交點(diǎn)A ，B 的坐標(biāo)；若以 A ，O，B，P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P 的坐標(biāo)。以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜， 知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來解決由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決這一類題1 兩個(gè)結(jié)論，解題的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)課標(biāo)， 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探

3、究，這可作為解題的切入點(diǎn)。1.1線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 坐標(biāo)為 ( x1, y1) ，點(diǎn) B 坐標(biāo)為 ( x2, y2) ，則線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為( x1x2 , y1 y2 ).22證明 ： 如圖 1，設(shè) AB 中點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x , y ). 由 x，得 xx1x2 ，同理P PP -x1=x 2-xPP=2yP=y1y2 ，所以線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x1 x2 , y1y2 ).2221.2 平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式圖 1ABCD 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A( xA , yA) 、B( xB, yB) 、C( xC, yC) 、D ( xD, yD ) ，則：x

4、A+xC=x B+xD；yA+yC=y B+yD.證明：如圖 2，連接 AC、 BD，相交于點(diǎn)E點(diǎn) E 為 AC 的中點(diǎn)， E 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x AxC ,y AyC).22圖 2又點(diǎn) E 為 BD 的中點(diǎn)，xBxD,yByD).E 點(diǎn)坐標(biāo)為 (22 xA+xC=x B+xD ；yA +yC=y B+yD.即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等2 一個(gè)基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識(shí)圖 3如圖 3，已知不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn)D，使以 A、B、C、D 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形答案有三種：以AB 為對(duì)角線的 ACBD 1，以 AC 為對(duì)角線的 ABCD 2，以

5、BC 為對(duì)角線的 ABD 3C3 兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題例 1已知拋物線y=x 2-2x+a ( a 0）與 y 軸相交于點(diǎn) A，頂點(diǎn)為 M. 直線 y=1 x-a 分別2與 x 軸、 y 軸相交于 B、 C 兩點(diǎn)，并且與直線AM 相交于點(diǎn) N.( 1) 填空：試用含 a 的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M 與 N 的坐標(biāo)，則 M( ),N()；( 2) 如圖 4，將 NAC 沿 y 軸翻折，若點(diǎn)N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) N恰好落在拋物線上，AN 與 x軸交于點(diǎn) D ，連接 CD，求 a 的值和四邊形ADCN 的面積；( 3) 在拋物線 y=x 2- 2x+

6、a ( a0）上是否存在一點(diǎn)P，使得以 P、 A、 C、N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由 .解： ( 1) M ( 1, a-1) ， N( 4 a , -1 a ) ； ( 2) a=-9； S 四邊形 ADCN = 189 ；33416( 3) 由已知條件易得A( 0, a) 、 C( 0, -a) 、N(4 a , - 1 a ). 設(shè) P( m, m2-2m+a).33當(dāng)以 AC 為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（解題時(shí)熟練推導(dǎo)出），得：004mm5a23, .1m215aaa2m aa38 P1( 5,-5)； 2 8當(dāng)以 AN 為對(duì)

7、角線時(shí)，得:040mm5a2 ( 不合題意，舍去 ).3, a1 aa m22m aa15圖 438當(dāng)以 CN 為對(duì)角線時(shí)，得 :040mm1a2 .3, a1aam22m aa338P(-1,7).228在拋物線上存在點(diǎn)P1( 5 ,-5)和 P2(- 1,7) ，使得以 P、 A、 C、 N 為頂點(diǎn)的四邊形2828是平行四邊形 .反思：已知三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)， 可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)， 運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程 （組）求解 . 這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對(duì)角線不清楚，往往要以這三條線段分別為對(duì)角線分類，分三種情況討論.3.2 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形存

8、在性問題例 2 如圖 5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線A( -1, 0), B( 3, 0),C( 0, -1) 三點(diǎn) .（ 1）求該拋物線的表達(dá)式；（ 2）點(diǎn) Q 在 y 軸上，點(diǎn) P 在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、 B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo).解 ：（ 1）易求拋物線的表達(dá)式為y= 1x22x 1 ；33( 2) 由題意知點(diǎn) Q 在 y 軸上，設(shè)點(diǎn) Q 坐標(biāo)為 ( 0, t) ；點(diǎn) P 在拋物線上，設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ( m, 1m22m 1 ).33圖 5盡管點(diǎn) Q 在 y 軸上，也是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但可理解成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了當(dāng)以 AQ 為對(duì)角線時(shí)，由

9、四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0= 3+m ， m=- 4， P1( - 4, 7) ；當(dāng)以 BQ 為對(duì)角線時(shí)，得：- 1+m= 3+ 0， m=4， P2( 4, 5 ) ；3當(dāng)以 AB 為對(duì)角線時(shí)，得： -1+3=m+0， m=2， P3( 2, -1).綜上，滿足條件的點(diǎn)P 為 P1( -4,7) 、P2( 4,5 ) 、P3( 2, -1).3反思： 這種題型往往特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在x 軸（ y 軸）或?qū)ΨQ軸或某一定直線上設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x 軸上，縱坐標(biāo)為 0，則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y 軸上，橫坐標(biāo)為0，則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式該

10、動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式本例中點(diǎn) Q的縱坐標(biāo) t沒有用上，可以不設(shè)另外，把在定直線上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論.例 3 如圖 6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A( -4, 0),B( 0, -4), C( 2, 0) 三點(diǎn)（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）若點(diǎn) M 為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m， AMB 的面積為 S求S 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式，并求出S 的最大值；（ 3）若點(diǎn) P 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q 是直線 y=- x 上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn) P、 Q、 B、 O

11、 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q 的坐標(biāo)解：（ 1）易求拋物線的解析式為y=12x +x-4；2（ 2） s=-m 2-4m( -4<m<0) ；s 最大 =4（過程略）；（ 3）盡管是直接寫出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)，這里也寫出過程由題意知O( 0, 0) 、B( 0, -4).由于點(diǎn) Q 是直線 y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)Q( s, -s) ，把 Q 看做定點(diǎn)；設(shè) P( m, 1 m2+m-4).2當(dāng)以 OQ 為對(duì)角線時(shí)，0s0m0s41m 2m42 s=- 2 2 5 . Q1(-2+2 5, 2-2 5)，Q2(-2-2 5, 2+2 5)；圖 6當(dāng)以 BQ 為對(duì)角線時(shí)，0m

12、 0s01 m2m 44 s2 s1=- 4， s2= 0( 舍 ). Q3( -4, 4) ；當(dāng)以 OB 為對(duì)角線時(shí)，00sm0 4s1 m2m 42 s1= 4， s2= 0( 舍 ). Q4( 4, -4).綜上，滿足條件的點(diǎn)Q 為 Q1(-2+2 5,2-2 5)、Q2(-2-2 5,2+2 5)、Q3(-4,4)、Q4( 4, -4).反思：該題中的點(diǎn)Q是直線 y=- x 上的動(dòng)點(diǎn)， 設(shè)動(dòng)點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 ( s, -s ) ，把 Q看做定點(diǎn)，就可根據(jù)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組了.4 問題總結(jié)這種題型， 關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作為第四

13、個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 其余三個(gè)作為定點(diǎn)， 分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程（組）這種解法，不必畫出平行四邊形草圖，只要合理分類，有序組合，從對(duì)角線入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適用范圍廣 其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)的是分類討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAOB 的兩條直角邊OA 、 OB 分別在 y 軸和 x 軸上，并且 OA 、OB 的長分別是方程x2 7x+12=0 的兩根 (OA<0B) ，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始在線段AO上以每秒 l 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn)

14、 B 開始在線段 BA 上以每秒 2 個(gè)單位長度的速度向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P、 Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒(1) 求 A 、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)。(2) 求當(dāng) t 為何值時(shí)， APQ 與 AOB 相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q 的坐標(biāo)(3) 當(dāng) t=2 時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn) M，使以 A 、 P、Q、 M 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ?若存在，請(qǐng)直接寫出 M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由如圖，拋物線經(jīng)過A （ 1， 0）， B（ 5，0）， C（0，）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使 PA+PC 的值最小，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；（3）點(diǎn) M 為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物

15、線上是否存在一點(diǎn)N，使以 A， C， M ， N四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由四點(diǎn)構(gòu)成的如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x +4與y 軸交于A 點(diǎn)，與x 軸交于B 點(diǎn)，拋物線 C1： y=x2 +bx+c 過A、B 兩點(diǎn)，與x 軸另一交點(diǎn)為C（1）求拋物線解析式及C 點(diǎn)坐標(biāo)（2）向右平移拋物線C1，使平移后的拋物線C2 恰好經(jīng)過 ABC 的外心，拋物線C1、C2相交于點(diǎn) D ，求四邊形AOCD 的面積（3）已知拋物線C2 的頂點(diǎn)為 M ，設(shè) P 為拋物線C1 對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q 為拋物線C1 上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)M 、 Q、 P、B 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出P 點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y= 3x 3 與 x 軸交于點(diǎn) A