第四章 微波網(wǎng)絡(luò)

1、第四章第四章 微波網(wǎng)絡(luò)微波網(wǎng)絡(luò)4.1 4.1 引言引言n 微波網(wǎng)絡(luò)理論是微波工程中的強有力的工具。傳輸線理論傳輸線理論對于均勻傳輸線和簡單不均勻的電路問題提供了一些有用的對于均勻傳輸線和簡單不均勻的電路問題提供了一些有用的方法方法(V(V、I Iz z) )，導(dǎo)波理論分析了各種結(jié)構(gòu)形式的傳輸線內(nèi)的，導(dǎo)波理論分析了各種結(jié)構(gòu)形式的傳輸線內(nèi)的場的模式場的模式(E(E、H Hx x、y y、z)z)，但是對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的微波元件和微波電路，上述兩章所提供的方法就顯得不夠用了。隨著集成度的提高，微波部件的結(jié)構(gòu)愈來愈緊密，微波元件內(nèi)部的電磁場數(shù)值計算的研究吸引了研究人員的興趣。原則上，根據(jù)電磁場理論和相應(yīng)的

2、電磁場數(shù)值計算軟件可以分析復(fù)雜微波元件內(nèi)部的場結(jié)構(gòu)和外部特性。但是，如果我們不關(guān)心微如果我們不關(guān)心微波元件內(nèi)部的場分布，而只對其外部特性感興趣波元件內(nèi)部的場分布，而只對其外部特性感興趣，那么可以那么可以依據(jù)微波網(wǎng)絡(luò)理論得出非常有價值的結(jié)果，用以指導(dǎo)微波電依據(jù)微波網(wǎng)絡(luò)理論得出非常有價值的結(jié)果，用以指導(dǎo)微波電路路的的分析、設(shè)計與綜合分析、設(shè)計與綜合。從場的理論也可以導(dǎo)出具體微波元件的網(wǎng)絡(luò)特性。微波網(wǎng)絡(luò)與場的理論相互結(jié)合，相互補充，使我們對微波電路的理解更加全面深入。 微波網(wǎng)絡(luò)理論研究微波網(wǎng)絡(luò)各端口的物理量之間的關(guān)系微波網(wǎng)絡(luò)理論研究微波網(wǎng)絡(luò)各端口的物理量之間的關(guān)系。一類物理量是歸一化電壓v和歸一化電

3、流i，非歸一化電壓V和非歸一化電流I；另一類物理量是內(nèi)向波a和外向波b，內(nèi)向波指的是進入網(wǎng)絡(luò)的波，外向波指的是離開網(wǎng)絡(luò)的波。不同類的物理量之間將引出不同的微波網(wǎng)絡(luò)矩陣，或稱不同的網(wǎng)絡(luò)參量，例如內(nèi)向波與外向波的關(guān)系用散射矩陣描述，歸一化電壓與電流之間的關(guān)系用歸一化阻抗矩陣和歸一化導(dǎo)納矩陣描述，非歸一化阻抗與導(dǎo)納矩陣則描述了非歸一化電壓電流之間的關(guān)系。由于物理量之間存在著變換關(guān)系，所以網(wǎng)絡(luò)矩由于物理量之間存在著變換關(guān)系，所以網(wǎng)絡(luò)矩陣之間也存在著變換關(guān)系。陣之間也存在著變換關(guān)系。 一個微波網(wǎng)絡(luò)可以由集總參數(shù)元件或等效的集總參數(shù)元件組成，如電阻、電容、電感、變壓器；可以由分布參數(shù)電路組成，如一段均勻、

4、非均勻傳輸線；可以由等效的集總參數(shù)電路和分布參數(shù)電路的組合構(gòu)成；也可以由立體結(jié)構(gòu)或平面結(jié)構(gòu)的微波電路構(gòu)成。上述各種形式的電路都可用微波網(wǎng)絡(luò)理論進行分析。 微波網(wǎng)絡(luò)可按下述幾個特征予以分類：分類：線性與非線性，線性與非線性，有源與無源，有耗與無耗，互易與非互易。有源與無源，有耗與無耗，互易與非互易。 所謂線性指的是，微波網(wǎng)絡(luò)中所包含的電阻、電容、電所謂線性指的是，微波網(wǎng)絡(luò)中所包含的電阻、電容、電感、電阻率、電容率、導(dǎo)磁率等參數(shù)均不隨外加電場或磁場感、電阻率、電容率、導(dǎo)磁率等參數(shù)均不隨外加電場或磁場強度的變化而改變。強度的變化而改變。實際上，非線性現(xiàn)象是不可避免的，但是線性網(wǎng)絡(luò)的分析計算比非線性網(wǎng)

5、絡(luò)的分析計算要容易得多，因此我們總是用線性網(wǎng)絡(luò)去近似地描述實際的微波網(wǎng)絡(luò)，有時將非線性網(wǎng)絡(luò)分解為若干個狀態(tài)，每一個狀態(tài)都用線性網(wǎng)絡(luò)的方法處理，如微波開關(guān)、微波限幅器就可分解為高、低功率，開、關(guān)兩個狀態(tài)。另一種關(guān)于線性與非線性的理解是：當(dāng)微波網(wǎng)絡(luò)使信號頻率發(fā)生改變時稱該網(wǎng)絡(luò)為非線性網(wǎng)絡(luò)。這一說法與前述關(guān)于線性、非線性的說法是相容的。本章將僅限于線性微波網(wǎng)絡(luò)。 所謂有源與無源有幾種不同的理解：其一是系統(tǒng)外是其一是系統(tǒng)外是否有能量注入否有能量注入，例如直流能量轉(zhuǎn)化為微波能量，或一個微波頻率的能量轉(zhuǎn)化為另一個微波頻率的能量；其二是指微其二是指微波電路中是否包含固態(tài)微波器件波電路中是否包含固態(tài)微波器件。

6、 這方面的認識尚不統(tǒng)一。本書中所用有源和無源兩詞與英文中的Active和Passive兩詞相對應(yīng)，傾向于前述第一種說法。 所謂有耗與無耗，指的是電路中是否包含有損耗的所謂有耗與無耗，指的是電路中是否包含有損耗的器件、元件。所謂互易網(wǎng)絡(luò)指的是不包含非互易媒介（如器件、元件。所謂互易網(wǎng)絡(luò)指的是不包含非互易媒介（如鐵氧化材料、等離子材料）的無源網(wǎng)絡(luò)鐵氧化材料、等離子材料）的無源網(wǎng)絡(luò)。理論上，由微波網(wǎng)絡(luò)的無源、互易、無耗等特性可以引出許多有意義的結(jié)論。4.2.14.2.1微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理n式中，SEH/2，是角頻率， 和 分別是磁場和電場能量密度的時間平均值，E是電場，H是磁場

7、，J=E，是電導(dǎo)率，這里我們假設(shè)在微波網(wǎng)絡(luò)中沒有外加的電流源假設(shè)在微波網(wǎng)絡(luò)中沒有外加的電流源。*122mesVVS dsjwwdvE J dv n考慮圖4.1所示的n端口微波網(wǎng)絡(luò)，在各端口取定參考面在各端口取定參考面T Ti i(i=1,2,n),(i=1,2,n),各端口相應(yīng)的歸一化電壓、電流為各端口相應(yīng)的歸一化電壓、電流為vi、ii，相應(yīng)的內(nèi)向波、外向波為相應(yīng)的內(nèi)向波、外向波為a ai i，b bi i。下面由電磁場的坡印亭定理導(dǎo)出其在微波網(wǎng)絡(luò)中的具體形式。n在電磁場理論中積分形式的復(fù)數(shù)坡印亭定理可以寫作:(4.2.1)mwew4.2 4.2 微波網(wǎng)絡(luò)的幾個定理微波網(wǎng)絡(luò)的幾個定理圖 4.1

8、 微波網(wǎng)絡(luò)示意圖n對圖4.1所示的n端口微波網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用積分形式的復(fù)數(shù)坡印亭定理，積分是在體積積分是在體積V和包圍體積和包圍體積V的閉合曲面的閉合曲面S上進行。該封上進行。該封閉曲面按下述方式選取，其中一部分選在各端口的參考面處，閉曲面按下述方式選取，其中一部分選在各端口的參考面處，其余部分與微波網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)體表面重合。其余部分與微波網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)體表面重合。 于是式（4.2.1）左端的面積分僅在參考面T1、T 2、Tn處有效，而在其余的導(dǎo)體表面上的積分為零，那么*11122iiinisEHdsdsTTSEH 其中，Si是第i參考面的面積，參考面垂直于各端口的傳輸線，所以可用場的橫向分量ET和HT取代E和H

9、。在第i端口，歸一化電壓v和歸一化電流i與場的橫向分量的關(guān)系為iiiii ie vTh iTEH（4.2.2）（4.2.3） 式中，ei和和hi是表征各端口傳輸線工作模式的矢量實函是表征各端口傳輸線工作模式的矢量實函數(shù)數(shù)，在選取ei、hi 時應(yīng)使得eihi的積分滿足歸一化條件，即 正負號的選取與面積元的法向方向有關(guān)，通常在微波網(wǎng)絡(luò)通常在微波網(wǎng)絡(luò)中法向單位矢量中法向單位矢量n指向包圍體積指向包圍體積V的的S曲面的外邊，所以式曲面的外邊，所以式（4. 2. 4）取負號）取負號，于是*111122iiinni iiidsviTTSEH（4.2.5）1iiiehdss （4.2.4） 式（4.2.1）

10、的右端兩項積分分別為體積體積V內(nèi)平均磁能內(nèi)平均磁能Wm與與電能電能We之差和平均損耗功率之差和平均損耗功率Pl，因此式（4.2.1）寫作*11122ni imeiv ijWWP（4.2.6） 式式 (4.2.6(4.2.6）就是微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理的表達式，左端表）就是微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理的表達式，左端表示流入微波網(wǎng)絡(luò)的功率示流入微波網(wǎng)絡(luò)的功率。 上式的左端還可以用非歸一化的電壓Vi和電流Ii表示，因為 ， ，于是得iiCvVZiiCiIZ*11122niimeiV IjWWP（4.2.7）n為了導(dǎo)出微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理，需要引用電磁場的互易定理。n考慮線性、各向同性媒質(zhì)中有兩組相同頻率的源考慮

11、線性、各向同性媒質(zhì)中有兩組相同頻率的源J Je1e1、J Jm1m1和和J Je2e2、J Jm2m2，下角標，下角標e e和和m m分別表示電流源和磁流源，分別表示電流源和磁流源，J Je1e1、J Jm1m1產(chǎn)產(chǎn)生的場為生的場為E E1 1和和H H1 1，J Je2e2、J Jm2m2產(chǎn)生的場為產(chǎn)生的場為E E2 2和和H H2 2，在第1章中曾導(dǎo)出式（1.11.6）,即4. 2. 2 微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理12211,22,1sEHEHds12121,2emVJEJH dv21212,1emVJEJH dv（4.2.8）（4.2.9）（4.2.10） 其中，S是包圍體積V

12、的封閉曲面。為了書寫方便，現(xiàn)將兩組場記作E、H 和E、H。若體積若體積V V內(nèi)無源內(nèi)無源，則，則1 1，2 2= =2 2，1 1=0=0，于是式（1.11.6）變?yōu)?/0SEHEHds 封閉曲面S的一部分與微波網(wǎng)絡(luò)各端口的參考面重合，其余部分與網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)體表面重合。上述積分只在微波網(wǎng)絡(luò)各端口參考面T1、T2、Tn處有值，而在其余的導(dǎo)體表面上的積分為零。于是式(4.2.11)可以寫作/10iniiiiiEHEHdss（4.2.12）（4.2.11）n式中，vi、ii 、vi 和ii是歸一化電壓、電流。這就是無源微這就是無源微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理的具體形式之一。波網(wǎng)絡(luò)的互易定理的具體形式之一。n 用非

13、歸一化電壓電流寫出的微波網(wǎng)絡(luò)的互易定理為/10niii iiv iv inSi是第i端口參考面的面積，Si的法線方向與第i端口傳輸線的軸平行，因此可用各端口場的橫向分量取代E、H和E、H。再次應(yīng)用式（4.2.3）和式（4.2.4），得/10niiiiiVIV I 利用式(4.2.13)或式 (4.2.14)可以導(dǎo)出互易微波網(wǎng)絡(luò)各種矩陣、參量的性質(zhì)。（4.2.14）（4.2.13）n對于一個無耗的一端口網(wǎng)絡(luò)，其輸入電抗或輸入電納對頻率對于一個無耗的一端口網(wǎng)絡(luò)，其輸入電抗或輸入電納對頻率的導(dǎo)數(shù)總是正的，這稱作福斯特電抗定理的導(dǎo)數(shù)總是正的，這稱作福斯特電抗定理。無源無耗媒質(zhì)區(qū)無源無耗媒質(zhì)區(qū)域中的電磁

14、場方程為組為域中的電磁場方程為組為4.2.3 4.2.3 微波網(wǎng)絡(luò)的電抗定理微波網(wǎng)絡(luò)的電抗定理EjHHjE 將上式對角頻率求導(dǎo)，得EHjjHHEjj E （4.2.16）（4.2.15）n利用矢量恒等式 做出下述兩等式：A BBAAB*HHHEEEEEHHHH取式（4.2.15）的復(fù)數(shù)共軛式，得*EjHHjE （4.2.17）（4.2.19）（4.2.18）n將式（4.2.16）和式（4.2.19）代入到式（4.2.18），得 2*2*HEHEjEjEjHEHEHjHjHjE 二式相減，得 22*HEEHjEH 對上式作體積分，并應(yīng)用高斯散度定理將左端的體積分化為面積分，注意到面積分僅在端口的

15、橫截面S1上對橫向場的積分有值，于是得（4.2.20）（4.2.21）n將體積V內(nèi)對場的積分變?yōu)閮δ躓e和Wm，并設(shè)法將S1面上對場的積分變換為電壓和電流，為此應(yīng)用式（4.2.3）（場與歸場與歸一化電壓電流關(guān)系一化電壓電流關(guān)系）和式（4.2.4）（歸一化條件歸一化條件），且式（4.2.4）取負號，得122*TTTTVHEEHdsjEHdvs 或*2emivvijWW*2emIVVIjWW（4.2.22）（4.2.24）（4.2.23）n對于無耗單口網(wǎng)絡(luò)，其輸入電抗對于無耗單口網(wǎng)絡(luò)，其輸入電抗X X或輸入電納或輸入電納B B與電壓電流的與電壓電流的關(guān)系為關(guān)系為VjXIIjBVn取其共軛復(fù)數(shù)后為*

16、VjXIIjBV 將式（4.2.25）對求導(dǎo)，得VXIjIjXIBVjVjB（4.2.25）（4.2.26）（4.2.27）n將式（4.2.26）和式（4.2.27）代入到式（4.2.24）中，得所以有 n同樣可得22emXjIjWW220emWWXI220emWWBV（4.2.28）（4.2.29）（4.2.30）n式（4.2.29）和式（4.2.30）等式右端正比于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的電場和磁場儲能之和，為正值，這就證明了本小節(jié)開始敘述的福斯特電抗定理。單端口無源無耗網(wǎng)絡(luò)的電抗或電納函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為正，單端口無源無耗網(wǎng)絡(luò)的電抗或電納函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為正，這表明電抗或電納函數(shù)的零點和極點必定交替出現(xiàn)。傳輸線這

17、表明電抗或電納函數(shù)的零點和極點必定交替出現(xiàn)。傳輸線理論中一段無耗傳輸線終端開路、短路時其輸入電抗或輸入理論中一段無耗傳輸線終端開路、短路時其輸入電抗或輸入電納的變化規(guī)律必然符合福斯特電抗定理，因為它們僅僅是電納的變化規(guī)律必然符合福斯特電抗定理，因為它們僅僅是無耗單端口網(wǎng)絡(luò)的特例無耗單端口網(wǎng)絡(luò)的特例。請讀者用傳輸線理論中的式（2.3.28）和式（2.3.29）作為例子驗證福斯特電抗定理。nn端口線性網(wǎng)絡(luò)的非歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣給出了非歸一化的電壓和電流之間的關(guān)系，即4.3 4.3 阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣可分歸一化和非歸一化兩種 4.3.14.3.1非歸一化阻抗

18、矩陣和導(dǎo)納矩陣非歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣 各端口電壓電流的方向如圖4.1所示。以上二式中V和I分別是非歸一化的電壓和電流列矩陣，即 VZI IY V 12TnVVVV(4.3.1)(4.3.2)(4.3.3)nT表示轉(zhuǎn)置。Z為非歸一化阻抗矩陣，它是n階方陣 12TnIIII 111212122212nnnnnnZZZZZZZZZZY為非歸一化導(dǎo)納矩陣：111212122212nnnnnnYYYYYYYYYY (4.3.5)(4.3.6)(4.3.4)nZ Ziiii為除第為除第i i端口外，其余各端口的電流都為零（開路）時端口外，其余各端口的電流都為零（開路）時第第i i端口的電壓與電流之比，

19、即除第端口的電壓與電流之比，即除第i i端口外，其余各端口端口外，其余各端口開路時第開路時第i i端口的輸入阻抗。端口的輸入阻抗。Z Zijij是除第是除第j j端口外，其余各端端口外，其余各端口均開路時第口均開路時第i i端口的電壓與第端口的電壓與第j j端口的電流之比，即除第端口的電流之比，即除第j j端口外，其余各端口開路時，第端口外，其余各端口開路時，第j j端口到第端口到第i i端口的轉(zhuǎn)移阻端口的轉(zhuǎn)移阻抗?？?。Y Yiiii為除第為除第i i端口外，其余各端口的電壓都為零（短路）時端口外，其余各端口的電壓都為零（短路）時第第i i端口的電流與電壓之比，即除第端口的電流與電壓之比，即除

20、第i i端口外，其余各端口端口外，其余各端口短路時第短路時第i i端口的輸入導(dǎo)納。端口的輸入導(dǎo)納。Y Yijij是除第是除第j j端口外，其余各端端口外，其余各端口短路時第口短路時第i i端口的電流與第端口的電流與第j j端口的電壓之比，即除第端口的電壓之比，即除第j j端口外，其余各端口短路時，第端口外，其余各端口短路時，第j j端口到第端口到第i i端口的轉(zhuǎn)移導(dǎo)端口的轉(zhuǎn)移導(dǎo)納。納。 將式（4.3.2）代入到式（4.3.1），得 VZYV（4.3.7） 或者說阻抗矩陣與導(dǎo)納矩陣互為逆矩陣。 1ZY （4.3.8）n由此可知Z與Y的積為單位矩陣1，即n歸一化阻抗矩陣z及歸一化導(dǎo)納矩陣y給出了歸

21、一化電壓和歸一化電流之間的關(guān)系，即4.3.2 4.3.2 歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣 式中，v和i是歸一化電壓和電流的列矩陣，z和y是n階方陣，且 vz i iy v 111212122212nnnnnnzzzzzzzzzz（4.3.10）（4.3.9）（4.3.11）n下面導(dǎo)出歸一化阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣與非歸一化的阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣之間的關(guān)系。由單根傳輸線歸一化電壓、電流與非歸一化電壓、電流之間的關(guān)系推廣到n端口網(wǎng)絡(luò)各端口的相應(yīng)的關(guān)系，得 111212122212nnnnnnyyyyyyyyyy 1CvVZ（4.3.12）（4.3.13） CiIZ（4.3.14）式中，

22、和 都是對角陣，分別表示為1CZCZ11112100CCCCnZZZZ（4.3.15）1200CCCCnZZZZ（4.3.16）n對角線上的諸元素中的ZC1 、ZC2、ZCn表示各個端口的傳輸線的特性阻抗。n將式(4.3.1)代入到式 (4.3.13)，得 1CvZIZ（4.3.17）由式(4.3.14)可知 ,可以證明 ，于是式(4.3.17)可以寫作 由此可以得到歸一化阻抗矩陣與非歸一化阻抗矩陣的關(guān)系為 1CIiZ11CCZZ 11CCvZiZZ（4.3.18） 11CCzZZZ（4.3.19）n當(dāng)i=j時iiiiC izZZ 當(dāng)n端口網(wǎng)絡(luò)退化為單端口網(wǎng)絡(luò)時，式(4.3.20)在形式上也退

23、化為傳輸線理論中的結(jié)果。 對于導(dǎo)納矩陣可用類似方法導(dǎo)出類似的結(jié)果。歸一化導(dǎo)納矩陣與非歸一化導(dǎo)納矩陣的關(guān)系為 11CCyYYY其中 是n階對角矩陣，各元素為 ，YCi 表示第i端口傳輸線的特性導(dǎo)納。1CY1CY（4.3.21）（4.3.22）具體到阻抗矩陣的一個元素，有 ijijCiCjzZZZ（4.3.20）（1）互易網(wǎng)絡(luò)的）互易網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣4.3.3 4.3.3 阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣的性質(zhì) 對于無源互易網(wǎng)絡(luò)，其互易定理的具體形式已由式（4.2.9）或式（4.2.10）給出。注意到 /1nTTTiiiV IVIIZI和 /1nTTiiiV I

24、IVIZI將上述二式代入到式（4.2.10）中得 /10nTTiiiiiV IV IIZZI因為I和I是任意的，故上式成立必有 TZZ這就是互易網(wǎng)絡(luò)阻抗矩陣互易網(wǎng)絡(luò)阻抗矩陣的性質(zhì)。對于其中的非對角元素，有ijjiZZ類似地，對于互易網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣互易網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣，有 TYY其中的非對角元素ijjiYY（4.3.25）（4.3.26）（4.3.24）（4.3.23）（2 2）無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗和導(dǎo)納矩陣）無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗和導(dǎo)納矩陣 由微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理，若網(wǎng)絡(luò)是無耗的，即網(wǎng)絡(luò)的平均損耗功率P1等于零，那么式（4.2.7）變?yōu)?1122niimeiV IjWW上式右端為純虛數(shù)，由此得*110nnii

25、iiiiV IV I注意到 *1nTHi iiVIVIIV式中T表示轉(zhuǎn)置，*表示共軛，H表示共軛轉(zhuǎn)置。式(4.2.28)可以寫成下述形式：（4.3.29）（4.3.28）（4.3.27） *0HTIVVI或 0HTIZZI式中，I可為任意值，于是對于無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣，有 HZZZH是Z的埃米爾特（埃米爾特（HermiteHermite）矩陣）矩陣。式(4.2.32)表明無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣為反埃米爾特矩陣。無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣為反埃米爾特矩陣。類似地，無耗網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣滿足 HYY 此式表明無耗網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣為反埃米爾特矩陣無耗網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣為反埃米爾特矩陣。（4.3.33）（4.3.32）（4

26、.3.31）（4.3.30）如果一個網(wǎng)絡(luò)是無耗的同時又是互易的，那么其阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣滿足下面的關(guān)系式： *ZZ *YY 這就是說，無耗互易網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣的各個元素為純虛數(shù)，顯然無耗互易網(wǎng)絡(luò)強以等效為純電抗（純電納）元件組成的電路。但是非互易無耗網(wǎng)絡(luò)的阻抗（導(dǎo)納）矩陣的各個元素卻不是純虛數(shù)?？梢院苋菀鬃C明，無耗網(wǎng)絡(luò)的歸一化阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣分別滿足下述關(guān)系式： Hzz Hyy （4.3.36）（4.3.37）（4.3.35）（4.3.34）4.4 4.4 散射矩陣散射矩陣4.4.1 4.4.1 散射矩陣和散射參量的意義散射矩陣和散射參量的意義 在微波工程中散射參量和散射矩陣具有非常

27、重要的作用，應(yīng)用極為廣泛，因為它所處理的是波與波之間的關(guān)系它所處理的是波與波之間的關(guān)系。對于圖4.1所示的線性網(wǎng)絡(luò)，外向波與內(nèi)向波之間的關(guān)系可用一次線性方程表示為11111221221122221122nnnnnnnnnnbs as as abs as asabs asas a 式中，ai、bi、sij都是復(fù)數(shù)，i,j1,2,，n，ai是第i端口的內(nèi)向波，bi是第i端口的外向波，ai和bi都是相對于某一截面而言的，此截面稱為第i端口的參考面或端面。（4.4.1）式中，a和b是列矩陣，s是n階方陣，s稱為散射矩陣，表示為 111212122212nnnnnnsssssssssss的各個元素稱為散

28、射參量。現(xiàn)舉例說明散射參量sii和sij(ij)的物理意義。以s11為例，由式(4.4.1)可知2311110naaabsa（4.4.4）（4.4.3） b=sa（4.4.2）式(4.4.1)可寫成矩陣的形式為再以s12為例，由式(4.4.1)可知1311220naaabsa s12是除第2端口外，其余各端口內(nèi)向波為零時第1端口的外向波與第2端口的內(nèi)向波之比，又稱為第2端口到第1端口的傳輸系數(shù)。 s11是1端口在下述條件下的反射系數(shù)，即除第1端口外其余各端口的內(nèi)向波為零，換句話說，除第1端口外其余各端口接匹配負載并且不接入信號源，因此, s11代表了網(wǎng)絡(luò)本身的第1端口的反射系數(shù)。（4.4.5）

29、4.4.2 4.4.2 散射矩陣的性質(zhì)散射矩陣的性質(zhì) （1 1）互易網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣）互易網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣 在圖4.1所示的微波網(wǎng)絡(luò)的第第i i端口，歸一化電壓端口，歸一化電壓vi、歸一化、歸一化電流電流ii與內(nèi)向波與內(nèi)向波ai、外向波、外向波b bi的關(guān)系為的關(guān)系為iiiiiivabiab將式(4.4.6) 代入到式(4.2.10)，得 /10iiiiniiiiiabababab展開上式，一些不同符號的項相消，得 /10niiiiiabba這里 /1nTTi iiababasa（4.4.8）（4.4.7）（4.4.6） /1nTTTi iibabaasa 于是式(4.4.8)變?yōu)?/0TTass

30、a aT 和a/是任意的，若上式成立，必然有 Tss這就是說，互易網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣等于其自身的轉(zhuǎn)置矩陣。互易網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣的非對角線元素ijjiss（2）無耗網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣）無耗網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣 由微波網(wǎng)絡(luò)的坡印亭定理的表示式(4.2.6)，令損耗功率P10，可知等式右端為純虛數(shù)，那么對于無耗網(wǎng)絡(luò)有（4.4.10）（4.4.11）（4.4.9）*1Re0ni iivi（4.4.12）用內(nèi)向波和外向波代替上式中的歸一化電壓和電流，得 *0TTaabb等式兩端取共軛，可得 0HHaabb式中aH和bH分別表示a和b的轉(zhuǎn)置共軛。將式(4.4.2)代入到上式中，得 10HHassasH 稱為s埃爾米特(H

31、ermite)矩陣。a是任意的，故有 1Hss （4.4.15）（4.4.14）（4.4.13）此等式可寫成1Re()()0niiiiiabab展開此式，因biai*_aibi*為純虛數(shù)，上式的實部為1()0niiiiia abb此式表明無耗微波網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣的埃爾米特矩陣右乘相應(yīng)無耗微波網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣的埃爾米特矩陣右乘相應(yīng)的散射矩陣等于單位矩陣的散射矩陣等于單位矩陣，式(4.4.15)稱作酉條件酉條件，因此可以說無耗微波網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣滿足酉條件無耗微波網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣滿足酉條件。滿足酉條件的矩陣稱為酉矩陣，因此無耗網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣是酉矩陣。這是無耗網(wǎng)絡(luò)散射矩陣的一個非常重要的性質(zhì)。式(4.4.1

32、5)的展開式為 110kjnkikijs sij當(dāng)當(dāng)若網(wǎng)絡(luò)是互易的，式(4.4.16) 退化為 *1ss （4.4.16）（4.4.17）4.4.3 4.4.3 參考面移動后的散射矩陣參考面移動后的散射矩陣 設(shè)有一n端口網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣s已知，其參考面在T1、T2、Tn處，現(xiàn)將參考面從T1、T2、Tn處分別移到T1、T2、Tn處，參考面移動后的散射矩陣記作s。下面求s和s的關(guān)系。 圖4.2是一個二端口網(wǎng)絡(luò)的參考面移動圖。參考面Ti比Ti更遠離網(wǎng)絡(luò),參考面Ti與Ti之間的傳輸線所對應(yīng)的相位角為i。由圖可知/ijiiaa eijiibb e寫成矩陣的形式為 （4.4.19）（4.4.18）圖

33、4.2 二端口網(wǎng)絡(luò)的參考面移動 /apa bp b （4.4.20）（4.4.21）式中p是對角方陣，即 1200njjjeepe由式(4.4.21)可得 /bp s ap s p a 因此參考面移動后的散射矩陣 為 /s /spsp s/中各元素與s中各元素的關(guān)系為2/ijiiiiss e（4.4.24）（4.4.23）（4.4.22）/ijjijijss e（4.4.25）注意，在本書中定義Ti/遠離網(wǎng)絡(luò)時的i為正。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)為一端口網(wǎng)絡(luò)時，sij就是反射系數(shù) ，sij /就是/，且有/2je 這與傳輸線理論中所得的結(jié)果一致。 （4.4.26）4.4.4 4.4.4 散射矩陣與阻抗導(dǎo)納矩陣的關(guān)

34、系散射矩陣與阻抗導(dǎo)納矩陣的關(guān)系 為了導(dǎo)出散射矩陣與阻抗、導(dǎo)納矩陣的關(guān)系，把各端口的歸一化電壓電流與內(nèi)向波外向波的關(guān)系寫成列矩陣的形式，即 vabiab利用散射矩陣s，將上述二式改寫為 11vsaisav與i之間是通過歸一化阻抗矩陣z聯(lián)系起來的，因此,由式(4.4.28)可得 11sazsaa是任意的，故 11szs（4.4.29）（4.4.28）（4.4.27）那么 111zss式中，(l-s)1是 (l-s)的逆矩陣，或簡稱(l-s)的逆。由式(4.4.29)還可解得 111szz式(4.4.30)和式(4.4.31)就是歸一化阻抗矩陣與散射矩陣的關(guān)系。讀者可以回憶傳輸線理論中歸一化阻抗與反

35、射系數(shù)之間的關(guān)系，不難看出它們與式(4.4.30)和(4.4.31)的相似之處。 注意到下述恒等式： 1111ssss 1111zzzz（4.4.32）（4.4.314.4.31）（4.4.33）（4.4.304.4.30）可以證明歸一化阻抗矩陣與散射矩陣之間的關(guān)系還可以寫成 111szz 111zss此二式與(4.4.30)和 (4.4.31)的區(qū)別僅僅是等式右邊兩因子的順序不同。 仿照上述推導(dǎo)過程，讀者可以導(dǎo)出歸一化導(dǎo)納矩陣與散射矩陣的關(guān)系為 111yss 111syy 散射矩陣是必然存在的，而阻抗矩陣與導(dǎo)納矩陣卻不一定散射矩陣是必然存在的，而阻抗矩陣與導(dǎo)納矩陣卻不一定存在。存在。當(dāng)(ls

36、)的逆不存在時,則歸一化阻抗矩陣不存在；當(dāng)(ls)的逆不存在時,則歸一化導(dǎo)納矩陣不存在。 （4.4.33）（4.4.33）（4.4.33）（4.4.33） 4.5 4.5 二端口網(wǎng)絡(luò)二端口網(wǎng)絡(luò) 4.5.1 4.5.1 二端口網(wǎng)絡(luò)的各種矩陣二端口網(wǎng)絡(luò)的各種矩陣 相對而言，二端口網(wǎng)絡(luò)比較簡單，也比較常用，本節(jié)將對二端口網(wǎng)絡(luò)再進一步詳細討論，除阻抗導(dǎo)納矩陣和散射矩陣之外，還將補充二端口網(wǎng)絡(luò)特有的傳輸矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣。二端口網(wǎng)絡(luò)特有的傳輸矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣。 歸一化二端口網(wǎng)絡(luò)的各種矩陣為111121221222vzzivzzi 111121221222iyyviyyv 111121221222bssabss

37、a（4.5.3）（4.5.2）（4.5.1）111122121222attbbtta2112vvabiicd 上述五式中v1 、v2 、i1、 i2分別是端口1和端口2的歸一化電壓電流，i2/-i2 ,a1 、a2 和b1 、b2分別是端口1和端口2的內(nèi)向波和外向波。式( 4.5.1)中2階方陣記作z,稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的歸一化阻抗矩陣。式( 4.5.2)中的二階方陣記作y,稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的歸一化導(dǎo)納矩陣。式( 4.5.3) 中的2階方陣記作s，稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣。式( 4.5.4) 中的2階方陣記作t,稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的傳輸矩陣。式( 4.5.5) 中的2階方陣記作a，稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩

38、陣。 五種歸一化二端口網(wǎng)絡(luò)矩陣之間存在著確定的變換關(guān)系，下面舉例（4.5.5）（4.5.4）說明散射參量和傳輸參量之間，傳輸參量和轉(zhuǎn)移參量之間是如何變換的。除了轉(zhuǎn)移矩陣a之外，其余四種矩陣的電壓電流方向如圖4.3所示，轉(zhuǎn)移矩陣規(guī)定的電流方向有所不同，如圖4.4所示。圖 4.3 二端口網(wǎng)絡(luò)圖 4.4 二端口網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣的電流方向?qū)⑹? 4.5.3)改寫，即有 2212221211111221212221211sabassss sbbsass從而求出用散射參量表示的傳輸矩陣 22112111stsss式中|s|為散射矩陣的行列式，即 11 2212 21=s s -s ss類似地，將( 4.5.

39、4)改寫，即有 （4.5.6）（4.5.7）（4.5.8）2112 211122211111221211111tt tbatatttbaatt（4.5.9）可求出用傳輸參量表示的散射矩陣為 12111211ttstt式中，|t|為傳輸矩陣的行列式，即 11 2212 21tt tt t改寫式(4.5.4)和式 (4.5.5)，可以求得二端口傳輸矩陣和歸一化轉(zhuǎn)移矩陣各參量之間的關(guān)系為 12a bc da bc dta bc da bc d（4.5.11）（4.5.10）（4.5.12） 1112212211122122111221221112212212ttttttttatttttttt n端口

40、網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣、歸一化阻抗矩陣和歸一化導(dǎo)納矩陣之間的變換關(guān)系已經(jīng)導(dǎo)出，很容易給出n2的特例。至于轉(zhuǎn)移矩陣a與s、z、y的關(guān)系，可以仿照上述方法推導(dǎo)出。此處不再詳細推導(dǎo)，讀者可以自己練習(xí)。表4.1中列出了二端口網(wǎng)絡(luò)的s、z、y和a四種矩陣參量之間的關(guān)系，以備用時查閱。 有時還要用到非歸一化的二端口網(wǎng)絡(luò)矩陣，有時還要用到非歸一化的二端口網(wǎng)絡(luò)矩陣，例如非歸一化的阻抗矩陣Z、非歸一化的導(dǎo)納矩陣Y和非歸一化的轉(zhuǎn)移矩陣A，其端口物理量與網(wǎng)絡(luò)矩陣參量的關(guān)系為111121221222VZZIVZZI（4.5.14）（4.5.13）表 4.1 二端口網(wǎng)路參量換算表說明：|s|、|z|、|是相應(yīng)矩陣的行列式。續(xù)表

41、111121221222IYYVIYYV221/1VVABIICD式中，V1 、V2 、I1 、 I2分別是二端口網(wǎng)絡(luò)的非歸一化電壓電流，I2/ -I2，式( 4.5.14)（4.5.16）中的2階方陣分別記作Z、Y、A，稱作二端口網(wǎng)絡(luò)的非歸一化阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣。這三種非歸一化矩陣與歸一化矩陣的關(guān)系為 11111221222211001100CCCCzZZZZZZZZ（4.5.17）（4.5.16）（4.5.15）11111221222211001100CCCCyYYYYYYYY112211001100CCCCabABCDcdZZZZ式( 4.5.17)和式( 4.5.18)分別是

42、式( 4.3.18) 和式( 4.3.21)的特例。至于式( 4.5.19)可利用下述二式：1111111010CCvViIZY（4.5.20）（4.5.19）（4.5.18）2222221010CCvViIZY和式( 4.5.5)、式( 4.5.16)導(dǎo)出( (歸一化和非歸一化轉(zhuǎn)移矩陣歸一化和非歸一化轉(zhuǎn)移矩陣定義式定義式) )。 應(yīng)用描述網(wǎng)絡(luò)的各種矩陣時，應(yīng)注意下述兩點：弄清非歸一化矩陣和歸一化矩陣的區(qū)別；弄清電流的方向是如何定義的，在轉(zhuǎn)移矩陣中電流的方向與阻抗導(dǎo)納矩陣中的電在轉(zhuǎn)移矩陣中電流的方向與阻抗導(dǎo)納矩陣中的電流方向在端口流方向在端口2 2相反。相反。 阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣和散射矩陣中的

43、各元素有明確的物理意義，傳輸矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣各元素的物理意義不十分明顯。在微波網(wǎng)絡(luò)中散射矩陣應(yīng)用比較廣泛。其余幾種矩陣可用于分析和計算網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)、并聯(lián)和級聯(lián)。（4.5.21）4 .5.2 二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣為 11122122sssss若s12s21，稱該二端口網(wǎng)絡(luò)是可逆的或互易的可逆的或互易的。若s12s21且s11 s22，稱該二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣是對稱的對稱的，對稱必定可逆，可逆未必對稱。二端口網(wǎng)絡(luò)在幾何物理結(jié)構(gòu)上對稱，則網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣必定是對稱的；二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣是對稱的，對應(yīng)于該二端口網(wǎng)絡(luò)的幾何物理結(jié)構(gòu)卻未必是對稱的。下一小節(jié)將舉例說明結(jié)構(gòu)

44、上不對稱的二端口網(wǎng)絡(luò)而與其相應(yīng)的散射矩陣卻是對稱的這種情況。 若二端口網(wǎng)絡(luò)是無耗的，但并不限定是互易的，將酉條件展開，則得2211211ss2212221ss（4.5.22）（4.5.23b）（4.5.23a）列列*11 1221 220s ss s*12 1122 210s ss s式( 4.5.23a)和式( 4.5.23b)是二端口網(wǎng)絡(luò)的能量守恒定律的兩個特殊形式。在S參量的定義式中，如 a2=0，可證明式( 4.5.23a )可改寫為 |b1|2|b2|2=|a1|2 它的物理意義是端口它的物理意義是端口1和端口和端口2的外向波功率之和等于端的外向波功率之和等于端口口1的內(nèi)向波功率。的

45、內(nèi)向波功率。式(4.5.23b)的物理意義亦類似。式式(4.5.23c)和式和式(4.5.23d)兩式是同一個式子，取一式之共軛兩式是同一個式子，取一式之共軛則變?yōu)榱硪皇剑瑒t變?yōu)榱硪皇?，?11111jsse222222jsse121212jsse212121jsse（4.5.23d）（4.5.23c）（4.5.24a）（4.5.24d）（4.5.24c）（4.5.24b）將上述四式代入到式( 4.5.23d)中，得11122122111222210jjssesse在復(fù)數(shù)平面上兩個復(fù)數(shù)量之和等于零，必定是模相等、相角差，因此由式( 4.5.23)可得 11122221ssss11122122式

46、( 4.5.23a)和式( 4.5.23b)兩式相減，得2222112221120ssss再由式( 4.5.25a)解出|s11|，代入上式整理后得 2222221212210ssss（4.5.25b）（4.5.25a）（4.5.26）因此 1221ss那么，從( 4.5.25a)或式( 4.5.26)又可得到 1122ss此外，不難證明無耗二端口散射矩陣的行列式211211 2212 21jss ss se從上述無耗二端口網(wǎng)絡(luò)的討論中可引出下述幾點結(jié)論： （1）s11和s22的絕對值相等，s12和s21的絕對值相等。這意味著，當(dāng)端口1匹配時，即s11=0，則端口2必定匹配，即s22=0，反之

47、亦然，此時傳輸系數(shù)的模等于1；若傳輸系數(shù)的模等于1，則網(wǎng)絡(luò)必定是匹配的。（4.5.27）（4.5.28）（4.5.29）（2）若不限定二端口網(wǎng)絡(luò)是互易的，即若不限定二端口網(wǎng)絡(luò)是互易的，即s s1212可以不等于可以不等于s s2121，這時無耗二端口網(wǎng)絡(luò)的這時無耗二端口網(wǎng)絡(luò)的|s12|=|s21|，那么，那么s s1212 和和s s2121的差別只能的差別只能是相位，因此無耗二端口網(wǎng)絡(luò)只能實現(xiàn)不可逆相移，不可能是相位，因此無耗二端口網(wǎng)絡(luò)只能實現(xiàn)不可逆相移，不可能實現(xiàn)不可逆隔離。實現(xiàn)不可逆隔離。所謂不可逆相移指的是s12和s21的相位不同，所謂不可逆隔離指的是|s12|=0而|s21|0，或|

48、s12|0，而|s21|=0。 （3）無耗二端口網(wǎng)絡(luò)理想隔離時，則退化為一個全反射的一端口網(wǎng)絡(luò)，因為當(dāng)|s12|=|s21|=0時，有|s11|=|s22|=1。 互易二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣只有三個獨立參量?；ヒ谉o耗二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣原則上只有兩個獨立參量，因為一個互易無耗二端口網(wǎng)絡(luò)的|s11|=|s22|且s12=s21，適當(dāng)選擇參考面，即網(wǎng)絡(luò)的端口面，總可以使s11=s22，于是不對稱散射矩陣變?yōu)閷ΨQ散射矩陣。對稱二端口網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣只有兩個獨立參量。4.5.3 二端口等效單元電路 在許多情況下，微波電路中涉及到的二端口網(wǎng)絡(luò)可以用下述四種二端口等效單元電路及其組合來表示。這四種二端口等四種

49、二端口等效單元電路是：串聯(lián)阻抗、并聯(lián)導(dǎo)納、變壓器、一段均勻傳輸效單元電路是：串聯(lián)阻抗、并聯(lián)導(dǎo)納、變壓器、一段均勻傳輸線。線。注意，二端口等效單元電路的兩端都與特性阻抗為ZC1和ZC2的傳輸線相連接，這是與集總參數(shù)電路的不同之處。兩段不同特性阻抗傳輸線的連接是這些二端口網(wǎng)絡(luò)的特例。四種二端口網(wǎng)絡(luò)等效單元電路的矩陣列于表4.2和4.3。散射矩陣和傳輸矩陣是必定存在的，因此表4.3中各項都能列出。若串聯(lián)阻抗z等于零，或并聯(lián)導(dǎo)納等于零時，這兩種二端口網(wǎng)絡(luò)則退化為兩段不同傳輸線相連的情況。表4.2二端口等效單元電路的阻抗矩陣、導(dǎo)納矩陣和轉(zhuǎn)移矩陣續(xù)表表4.3 二端口等效單元電路的散射矩陣和傳輸矩陣【例4.

50、1】求串聯(lián)阻抗的散射矩陣s、傳輸矩陣t. 解 按照非歸一化的電壓電流列出電路方程圖4.5 例4.1的附圖 用四個例題說明二端口等效單元電路的各種矩陣的求法。12112VZIVII將式(4.5.30)用內(nèi)向波和外向波表示為 babazZcC22111211bababaZcZcZZc221111211整理后得到 1212121211rbbraaz brbz ara 其中 211,.cccZZrzZZ由上述二式得 （4.5.31）（4.5.32）（4.5.30）121211221111111r aazar arbrzrrr aazrbrzr將行列式展開得 121122121211zrrzrrzrzr

51、aabaab（4.5.34）（4.5.33）根據(jù)散射參量的定義可知 11122122112111zrzrrzrzrzrssss由散射參量和傳輸參量之間的關(guān)系和傳輸參量定義可得 rzrbrzrbrzrarzraaatabtbbtbat21212121212121210120220210112222【例4.2】求并聯(lián)導(dǎo)納的非歸一化和歸一化阻抗矩陣. 解 參考平面T1和T2之間的電路是集總參數(shù)電路,根據(jù)基爾霍夫定律可寫出非歸一化電壓和電流的關(guān)系121212VVYYIIVV上式可改寫為 IIVIIVYYYY2122111111因此非歸一化阻抗矩陣為 1111YYZYY （4.5.36）（4.5.35）

52、T1T2V1V2I2I1例2的附圖 1122121111CCCCCCzZ YZ ZYZ YZ ZY【例4.3】從均勻傳輸線上取一段電長度為=l的傳輸線,試求其散射矩陣、傳輸矩陣和歸一化轉(zhuǎn)移矩陣。解 首先求散射矩陣。顯然s11=s22 =0，該網(wǎng)絡(luò)為互易網(wǎng)絡(luò)，故s12=s21,由s21的定義可知，s21 =ej,因而散射矩陣為 00jjsee注意注意，本例是在均勻傳輸線上設(shè)定兩個參考面在均勻傳輸線上設(shè)定兩個參考面T1和和T2，在參考，在參考面面T1、T2兩邊的傳輸線的特性阻抗相同兩邊的傳輸線的特性阻抗相同。若參考面若參考面T1和和T2兩邊兩邊的傳輸線的特性阻抗不相同，那是三個簡單網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)問題的

53、傳輸線的特性阻抗不相同，那是三個簡單網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)問題。 （4.5.38）（4.5.37）由式( 4.3.19)和式( 4.3.20)可求得此例的歸一化阻抗矩陣為 其次，求傳輸矩陣t。直接從傳輸參量的定義求解不太方便。因為已得到本例電路所對應(yīng)的散射參量，所以由t 與s的變換關(guān)系(4.5.7)很容易得到 00jjtee 最后求歸一化轉(zhuǎn)移矩陣。已知s，可由 與s的變換關(guān)系求得 ,但是作為練習(xí)，我們從 的定義直接求解。由 矩陣各元素的定義可得aaaa（4.5.39）2120a=cosi 在上述 矩陣各元素的推導(dǎo)過程中，我們用到了這樣兩個關(guān)系式：當(dāng)端口當(dāng)端口2 2開路時，即開路時，即t2/0時，端口時，端

54、口2 2電壓是波腹，電壓是波腹，V V2 2=V=Vm m, ,端口端口1 1和端口和端口2 2之間的電壓關(guān)系為之間的電壓關(guān)系為v1v2cos; ;當(dāng)端口二短路時，當(dāng)端口二短路時，即即v20時，端口時，端口2 2電流電流是波腹，是波腹，i2/=Im，端口端口1 1和端口和端口2 2之間和電之間和電流關(guān)系為流關(guān)系為i1i2/ cos。這是由傳輸線理論的線上電壓電流表達式。這是由傳輸線理論的線上電壓電流表達式得到的。得到的。a220011co s21co sdvviiii22112100tansincos1 cosjbjii22112100tan cossincosiiiicjj終端短路時：v1/

55、i1=jtang終端開路時：i1/v1=jtang212111221CCCCnnZvvZZiiZ 將歸一化電壓電流用內(nèi)向波和外向波表示為 211221CCnZababZ（4.5.40）式中，n為變壓器的變比，正負號與變壓器極性有關(guān)。為簡化,求解時僅考慮一組解，將上述二式變換為歸一化電壓電流的關(guān)系式【例4.4】求理想無耗變壓器網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣。 解：變壓器初級和次級的非歸一化電壓電流滿足關(guān)系式12121VnVIIn 2112111CCnZssZsZZsCCn21211111由此解得 ZZnZZsCCCCn1221221121112212211ZZnZZnsCCCC1112221CCnZa babZ

56、 （4.5.41）設(shè)a10,a20,用a1除上述二式兩端，得 ZZnZZnZnZZnZsCCCCCCCC1221222212212211 從上述關(guān)于理想無耗變壓器網(wǎng)絡(luò)散射矩陣的推導(dǎo)結(jié)果可以看出：一個理想無耗變壓器網(wǎng)絡(luò)的散射參量都是實數(shù)，一個理想無耗變壓器網(wǎng)絡(luò)的散射參量都是實數(shù)，s11=s22， s21= s12。如設(shè)。如設(shè)n2(ZC2/ZC1)1,這意味著這意味著s11是實數(shù)，且是實數(shù)，且s110，在參考面在參考面T10處是波腹點，顯然，這時有處是波腹點，顯然，這時有s220，在參考面，在參考面T20處處是波節(jié)點。如設(shè)是波節(jié)點。如設(shè)n2(ZC2/ZC1)1，則參考面，則參考面T10處是波節(jié)點，

57、在參處是波節(jié)點，在參考面考面T20處是波腹點，因為處是波腹點，因為s110，s220。 由網(wǎng)絡(luò)互易性可知s12=s21。如設(shè)a10,a20,用a2除式(4.5.40) 和式(4.5.41)兩端，得一對含s12和s22的方程，于是可解得s22。其實，根據(jù)定義可直接解出其實，根據(jù)定義可直接解出s22，設(shè)端口，設(shè)端口1處接匹配負載處接匹配負載ZC1，經(jīng)，經(jīng)過變壓器后折合到端口過變壓器后折合到端口2的阻抗為的阻抗為ZC1/n2，于是端口，于是端口2的反射系的反射系數(shù)數(shù)s22為為 當(dāng)Z1=0時，顯然有Z2=0，反之亦然，這就是說，若端口1和端口2的參考面處阻抗同時為零，其中一個是特性參考面，另一個也必然

58、是特性參考面。 使得在上一步驟中找到的T10處恰為波節(jié)點，那么短路面的位置即為T20，其理由可簡單說明如下： 下面我們用一種想像的實驗方法確定特性參考面用一種想像的實驗方法確定特性參考面T10 和和T20。設(shè)n2(ZC2/ZC1)1,端口2接匹配負載，在端口1用測量線找到波腹點的位置，即為參考面T10。然后在端口2接可移動的短路器， 任意一個無耗互易二端口網(wǎng)絡(luò)可以用一個理想變壓器來等任意一個無耗互易二端口網(wǎng)絡(luò)可以用一個理想變壓器來等效，但只在特定參考面效，但只在特定參考面T10和和T20處等效才成立，參考面處等效才成立，參考面T10和和T20稱作特性參考面。稱作特性參考面。 可見，若設(shè)法測得端

59、口1的駐波系數(shù)，并已知兩傳輸線的等效阻抗之比，那么可計算出理想變壓器的變比。讀者可以分析一個簡單的例子：兩段特性阻抗不同的傳輸線相連，忽略其跳變處的電抗，若將該網(wǎng)絡(luò)等效為理想無耗變壓器則其變比n1。由理想變壓器的阻抗關(guān)系 Z1=-n2Z2 211211111CCsn ZZs（4.5.42） 進一步確定變比n。不妨設(shè)n2(ZC2/ZC1)1，此時端口1的反射系數(shù)的模與駐波系數(shù)的關(guān)系為4.5.4 4.5.4 對稱二端口網(wǎng)絡(luò)的本征值和本征矢對稱二端口網(wǎng)絡(luò)的本征值和本征矢 一個二端口網(wǎng)絡(luò)，若其散射參量滿足下述關(guān)系式： s11=s22 s12=s21那么我們說這是一個對稱二端口網(wǎng)絡(luò)對稱二端口網(wǎng)絡(luò)。對于一

60、個無耗互易二端口網(wǎng)絡(luò)，有s12=s21，|s11|=|s22|。雖然在結(jié)構(gòu)上這個無耗二端口網(wǎng)絡(luò)不一定是對稱的，但適當(dāng)?shù)剡x擇參考面的位置總能達到s11=s22，s12=s21。因此在分析具體問題時應(yīng)注意區(qū)分結(jié)構(gòu)對稱的對稱網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)不對稱的對稱網(wǎng)絡(luò)這兩種情況。一般來說，我們主要關(guān)心結(jié)構(gòu)對稱的對稱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對稱的對稱網(wǎng)絡(luò)。以下求解散射矩陣的本征值和本征矢。 設(shè)n階散射矩陣的本征值為sj，那么 (1,2,)jjjsjus u，n（4.5.43）其中s是網(wǎng)絡(luò)的散射矩陣，u(j)是對應(yīng)于本征值是對應(yīng)于本征值sj的本征矢的本征矢，且 12Tjjjjnuuuu若將若將u(j)看作一種特殊的激勵方式，即看作一種特