畫法幾何5立體表面的交線

1、第五章第五章 立體表面的交線立體表面的交線51 平面與立體相交平面與立體相交52 兩立體相交兩立體相交53* 曲線與曲面曲線與曲面 平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)，線上的點(diǎn)是截平面與立體表面上的共有點(diǎn)，它既在截平面上它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲截交線一

2、定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截平面截交線截交線截交線的概念截交線的概念5.1.1 平面與平面立體相交平面與平面立體相交 由于平面立體是由平面圍成的由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進(jìn)而簡化為求直線問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進(jìn)而簡化為求直線與平面交點(diǎn)的問題。與平面交點(diǎn)的問題。例例1三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影

3、。三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。sabcasbcs a (c )b BA1 2 3 1yy23 1 2 3例例2 2 求帶切口三棱錐的投影求帶切口三棱錐的投影sssbccbaabca1yyy題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的正截交線的正面投影已知，水平投面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；影和側(cè)面投影未知；2 2 求出截交線上的折求出截交線上的折點(diǎn)點(diǎn)、 、 ；3 3 順次地連接各點(diǎn)，順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判作出截交線，并且判別可見性；別可見性；4 4 整理輪廓線。整理輪廓線。例例3 求立體截切后的投影求立體截切后的投影235411166543

4、264（5）2（3）5.1.2 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交 曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。直線所圍成的平面圖形或多邊形。 截交線 點(diǎn)擊動畫截交線 點(diǎn)擊動畫1. 平面與圓柱相交平面與圓柱相交 截平面平行于軸線，截平面平行于軸線，交線為平行于軸線的交線為平行于軸線的 兩條平行直線兩條平行直線截平面傾斜于軸線，截平面傾斜于軸線，交線為交線為 橢圓橢圓截平面垂直于軸線，截平面垂直于軸線，交線為交線為 圓圓平面與圓柱的截交線兩條平行直線兩條平行直線垂直于軸線的圓垂直于軸線的圓橢橢 圓圓 例例4 4

5、求斜切圓柱的截交線求斜切圓柱的截交線1114322265433(4)5656解題步驟解題步驟1 分析分析 截交線的水平投影為橢截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；圓，側(cè)面投影為圓；2 求出截交線上的特殊點(diǎn)求出截交線上的特殊點(diǎn)、 、 ；3 求出若干個一般點(diǎn)求出若干個一般點(diǎn)、 、；4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；出截交線，并且判別可見性；5 整理輪廓線。整理輪廓線。877878作圖步驟：作圖步驟： （1 1）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質(zhì)、判別）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質(zhì)、判別截交線的形狀和性質(zhì)。截交線的形狀和性質(zhì)。 （2 2）求出截交線

6、上的特殊點(diǎn)。）求出截交線上的特殊點(diǎn)。 （3 3）根據(jù)需要求出若干個一般點(diǎn)。）根據(jù)需要求出若干個一般點(diǎn)。 （4 4）光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判）光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性。別可見性。 （5 5）最后，補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向）最后，補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。 特殊點(diǎn)：特殊點(diǎn)：是指繪制曲線時有影響的各種點(diǎn)。是指繪制曲線時有影響的各種點(diǎn)。極限位置點(diǎn)極限位置點(diǎn) 曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點(diǎn)。曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點(diǎn)。轉(zhuǎn)向輪

7、廓點(diǎn)轉(zhuǎn)向輪廓點(diǎn) 曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，它們是區(qū)曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，它們是區(qū)分曲線可見與不可見部分的分界點(diǎn)。分曲線可見與不可見部分的分界點(diǎn)。特征點(diǎn)特征點(diǎn) 曲線本身具有特征的點(diǎn)，如橢圓長短軸上四個端點(diǎn)。曲線本身具有特征的點(diǎn)，如橢圓長短軸上四個端點(diǎn)。結(jié)合點(diǎn)結(jié)合點(diǎn) 截交線由幾部分不同線段組成時結(jié)合處的點(diǎn)。截交線由幾部分不同線段組成時結(jié)合處的點(diǎn)。例例5 5 求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影。求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影。解題步驟解題步驟1 分析分析 截交線的水平投影為橢截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；圓，側(cè)面投影為圓；2 求出截交線上的特殊點(diǎn)求出截交線上的特殊點(diǎn)、 、

8、 ；3 求出若干個一般點(diǎn)求出若干個一般點(diǎn)、 、；4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；出截交線，并且判別可見性；5 整理輪廓線。整理輪廓線。動畫動畫例例6 6 求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。解題步驟解題步驟1 分析分析 截交線的水平投影截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；為矩形；2 求出截交線上的特殊點(diǎn)求出截交線上的特殊點(diǎn)、；3順次地連接各點(diǎn)，作出截順次地連接各點(diǎn)，作出截交線并判別可見性；交線并判別可見性；4 整理輪廓線。整理輪廓線。點(diǎn)擊動畫例例7 7 求截切圓柱截交線的投影求截切圓柱截交

9、線的投影。3311224455325142. 平面與圓錐相交平面與圓錐相交圓圓橢圓橢圓兩條相交直線兩條相交直線雙曲線雙曲線拋物線拋物線解題步驟解題步驟例例8 8 已知圓錐與正垂面已知圓錐與正垂面P P相交，求截交線的投影。相交，求截交線的投影。1 1 分析分析 截交線的水平投影和截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；側(cè)面投影均為橢圓；2 2 求出截交線上的特殊點(diǎn)求出截交線上的特殊點(diǎn)、 、 ；3 3 求出一般點(diǎn)求出一般點(diǎn)；4 4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見性；出截交線，并且判別可見性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。 點(diǎn)擊動畫點(diǎn)擊動畫點(diǎn)擊動畫點(diǎn)擊動畫例例

10、9 9 求正平面與圓錐的截交線。求正平面與圓錐的截交線。解題步驟解題步驟1 1 分析分析 截交線的水平投影截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實(shí)形；為雙曲線并反映實(shí)形；2 2 求出截交線上的特殊點(diǎn)求出截交線上的特殊點(diǎn)、；3 3 求出一般點(diǎn)求出一般點(diǎn) ；4 4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見作出截交線，并且判別可見性；性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。111”2”(3”)4”(5”)45232453點(diǎn)擊動畫點(diǎn)擊動畫點(diǎn)擊動畫例例10 10 求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。111”2

11、(3)2”3”234(5)4”5”54666”例例11 11 已知正垂面所截切球的正面投影已知正垂面所截切球的正面投影, ,求其余兩面投影。求其余兩面投影。例例12 12 求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。例例13 13 分析并想象出圓球穿孔后的投影分析并想象出圓球穿孔后的投影5-2 5-2 兩立體相交兩立體相交5.2.1 概概 述述5.2.2 求作兩曲面立體的相貫線求作兩曲面立體的相貫線5.2.3 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況5.2.4 組合相貫線組合相貫線5.2.1 5.2.1 概概 述述 立體與立體相交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。立體與立體相

12、交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。 相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩曲相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩曲面立體表面的共有點(diǎn)。面立體表面的共有點(diǎn)。 不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線, , 特殊情況下為平特殊情況下為平面曲線或直線。面曲線或直線。相貫線性質(zhì)圖例5.2.2 求兩曲面立體的相貫線求兩曲面立體的相貫線1. 表面取點(diǎn)法表面取點(diǎn)法表面取點(diǎn)法求作相貫線的一般步驟表面取點(diǎn)法求作相貫線的一般步驟（1）分析）分析 首先分析

13、兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進(jìn)一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況相對位置，進(jìn)一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。分析相兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。分析相貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的。貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的。（2）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)。相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪廓。相貫線上的特殊點(diǎn)包括極限位置點(diǎn)、輪廓轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和

14、結(jié)合點(diǎn)四種。轉(zhuǎn)向點(diǎn)、曲線特征點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)四種。（）（） 根據(jù)需要求出若干個一般點(diǎn)。根據(jù)需要求出若干個一般點(diǎn)。（）（）判別可見性，順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。判別可見性，順次光滑連接各點(diǎn)，作出相貫線。 （）（）補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。例例1 已知兩圓柱的三面投影已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。求作其相貫線的投影。yyyydedeacbabcdebac圓柱表面交線的三種情況 兩外表面相交兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交

15、兩正交圓柱兩正交圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢變化趨勢相貫線的變化趨勢動畫相貫線的變化趨勢動畫相貫線的變化趨勢例例2 2 求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。 a“(b“)abc“abcddde“(f “)efefghyyg“(h“)ghc2. 輔助平面法輔助平面法 常用的輔助平面為投影面的平行面或垂直面常用的輔助平面為投影面的平行面或垂直面, ,要使輔助平面要使輔助平面與兩立體表面交線的投影為直線或圓。與兩立體表面交線的投影為直線或圓。yyPW2PV24yy4 PV1PW13PV3PW351112 22453 35 例例3 3 求圓柱與圓錐正交時相貫線的投影。求圓柱

16、與圓錐正交時相貫線的投影。例例4 4 求水平圓柱與半球的相貫線的投影。求水平圓柱與半球的相貫線的投影。aa”abbb”QVQWcdPVPWefe(f)RVRWghg(h)例例5 5 求鉛垂圓臺與半球的相貫線的投影。求鉛垂圓臺與半球的相貫線的投影。PV2yy55343543112122yy4 PH1PV3PV43. 3. 輔助球面法輔助球面法 常用的輔助球面法為同心球面法常用的輔助球面法為同心球面法, ,要使輔助球面與兩立體要使輔助球面與兩立體表面交線的投影為直線或圓。表面交線的投影為直線或圓。例例6 6 求圓柱與圓錐斜交的相貫線求圓柱與圓錐斜交的相貫線解題步驟1 分析 圓柱與圓錐軸線斜交，相貫

17、線的三個投影均未知，可利用輔助球面法求共有點(diǎn)；步驟1121321233作圖步驟2 求特殊點(diǎn)、，其中點(diǎn)也是最大輔助球面上的點(diǎn)3 求小輔助球面上的點(diǎn)步驟24 求一般點(diǎn)、；6 整理輪廓線。5 順次連接各點(diǎn)，并判別可見性；1213212334554455.2.3 5.2.3 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況 兩曲面立體相交，一般情況下相貫線為空間曲線，兩曲面立體相交，一般情況下相貫線為空間曲線，但特殊情況下可能是平面曲線或直線。但特殊情況下可能是平面曲線或直線。兩個回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，其表面的相貫線為垂直軸線的圓兩個回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，其表面的相貫線為垂直軸線的圓外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，

18、其相貫線為兩條平面曲線外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，其相貫線為兩條平面曲線橢圓橢圓兩圓錐共錐頂相貫線為相交兩直線兩圓柱軸線平行相貫線為平行兩直線5.2.4 5.2.4 組合相貫線組合相貫線 三個或三個以上的立體相交在一起，稱為組合相貫。這時三個或三個以上的立體相交在一起，稱為組合相貫。這時相貫線由若干條相貫線組合而成，結(jié)合處的點(diǎn)稱為結(jié)合點(diǎn)。相貫線由若干條相貫線組合而成，結(jié)合處的點(diǎn)稱為結(jié)合點(diǎn)。 處理組合相貫線，關(guān)鍵在于分析，找出有幾個兩兩曲面立處理組合相貫線，關(guān)鍵在于分析，找出有幾個兩兩曲面立體相交在一起，從而確定其有幾段相貫線結(jié)合在一起。體相交在一起，從而確定其有幾段相貫線結(jié)合在一起。例例

19、7 7 求作物體相貫線的投影求作物體相貫線的投影5-3* 曲線與曲面曲線與曲面 5.3.1 曲曲 線線 5.3.2 曲曲 面面5.3.1.1 螺旋線1 圓柱螺旋線的形成 當(dāng)一個動點(diǎn)沿著一直線等速移動，而該直線同時繞與它平行的一軸線等速旋轉(zhuǎn)時，動點(diǎn)的軌跡就是一根圓柱螺旋線。2 圓柱螺旋線的畫法螺旋線的畫法5.3.1.2 正螺旋柱狀面1 正螺旋柱狀面的形成 正螺旋柱狀面的兩條曲導(dǎo)線皆為圓柱螺旋線，連續(xù)運(yùn)動的直母線始終垂直于圓柱軸線。2 正螺旋柱狀面的畫法（1） 畫出兩條曲導(dǎo)線（圓柱螺旋線）；（2） 作出直母線的兩面投影；（3） 作出該曲面上各素線的投影。3 正螺旋柱狀面的應(yīng)用的例子2 正螺旋柱狀面的畫法3 正螺旋柱狀面應(yīng)用的例子螺旋扶手螺旋樓梯 5.3.2.1. 單葉雙曲回轉(zhuǎn)面1 單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的形成 單葉雙曲回轉(zhuǎn)面是由直母線繞與它交叉