部編人教版九年級一元二次方程解法講義

1、精品文檔一元二次方程講義教學(xué)內(nèi)容考點一、概念(1) 定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表達式：)0(02acbxax注：當(dāng) b=0時可化為02cax這是一元二次方程的配方式(3) 四個特點： (1) 只含有一個未知數(shù)；(2) 且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3) 是整式方程要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理如果能整理為)0(02acbxax的形式，則這個方程就為一元二次方程（4）將方程化為一般形式：02cbxax時，應(yīng)滿足（ a0）(4) 難點： 如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2” ：該項系數(shù)不為“

2、 0” ；未知數(shù)指數(shù)為“ 2” ；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題 ：例 1、下列方程中是關(guān)于x 的一元二次方程的是（）a 12132xx b 02112xx c 02cbxaxd 1222xxx變式： 當(dāng) k 時，關(guān)于 x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2、方程0132mxxmm是關(guān)于 x 的一元二次方程，則m的值為?？键c二、方程的解概念： 使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用： 利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題 ：例 1、已知322yy的值為 2，則1242yy的值為。例 2、關(guān)于 x 的一元二次方程04222axxa

3、的一個根為 0，則 a 的值為。說明： 任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項系數(shù)的限制. 例 3、已知關(guān)于x 的一元二次方程002acbxax的系數(shù)滿足bca，則此方程必有一根為。說明： 本題的關(guān)鍵點在于對“代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1 ”巧解代數(shù)式的值。精品文檔例 4、已知ba,是方程042mxx的兩個根，cb,是方程0582myy的兩個根，則m 的值為。例 5、已知ba，0122aa，0122bb，求ba變式： 若0122aa，0122bb，則abba的值為。6、方程02acxcbxba的一個根為（）a 1 b 1 c cb d a7、若?yx則yx324,0352?？键c三、

4、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。（2）方法： 直接開方法；因式分解法；配方法；公式法類型一、直接開方法：就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如mxmmx其解為：,02對于max2，22nbxmax等形式均適用直接開方法典型例題 ：例 1、解方程：; 08212x（2）7)132x（; 09132x（4）2221619xx（5）11162492xx例 2、解關(guān)于 x 的方程：02bax3. 下列方程無解的是（）a.12322xx b.022x c.xx132 d.092x類型二、配方法基本步驟 :1.先將常數(shù)c 移到方程右

5、邊 2.將二次項系數(shù)化為1 3.方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方4. 方程左邊成為一個完全平方式：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題 ：例 1、試用配方法說明322xx的值恒大于 0，47102xx的值恒小于 0。例 2、已知 x、y 為實數(shù)，求代數(shù)式74222yxyx的最小值。變式：若912322xxt，則 t 的最大值為，最小值為。精品文檔例 3、已知，x、yyxyx0136422為實數(shù)，求yx的值。變式 1：已知041122xxxx，則xx1 . 變式 2：如果4122411bacba, 那么cba32的值為。例 4、分解因式：312

6、42xx類型三、因式分解法 :把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的 根 ， 就 是 原 方 程 的 兩 個 根 。 這 種 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 叫 做 因 式 分 解 法021xxxx21,xxxx或方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0” ，方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx分解方法 : 提公因式 , 利用平方差與完全平方公式, 十字相乘法針對練習(xí) ：例 1、3532xxx的根為（）a 25x b 3x c 3,252

7、1xx d 52x例 2. （1）221694ba( 平方差 ) (2) yxyxyx3234268( 提公因式 ) （3）22)(4)(nmnm（平方差 ) （4）962aa ( 完全平方式 ) (5）223612yxxy ( 完全平方式 ) （ 6）4)(5)(2baba（十字相乘法）（7）22127qpqp（十字相乘法）（8）32)2(2)2(5mnnmn( 提公因式 ) 例 3、若044342yxyx，則 4x+y 的值為。例 4、方程062xx的解為（）a.2321，xx b.2321，xx c.3321，xx d.2221，xx例 5、解方程：04321322xx精品文檔例 6、已

8、知023222yxyx, 則yxyx的值為。變式：已知023222yxyx, 且0,0 yx, 則yxyx的值為。例 7、解下列方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) 4x+145 -x-52 = 23 x+2 (4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42 (6) 2x2 + (3a-b)x 2a2+3ab- b2 =0 例 8、解關(guān)于 x 的方程 x2+x 2+k(x2+2x)=0 （對 k 要討論）類型四、 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式 的值，當(dāng)判別式大于等于零時，把各項系數(shù)a, b, c的值代入求根公

9、式, 就可得到方程的根。條件：04,02acba且公式：aacbbx242,04,02acba且典型例題 ：例 1、選擇適當(dāng)方法解下列方程：.6132x.863 xx0142xx01432xx5211313xxxx說明：解一元二次方程時，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。例 2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx. 22542yxyx說明：對于二次三項式cbxax2的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令cbxax2=0，求出兩根，再寫成cbxax2=)(21xxxxa. 分解結(jié)果是否把二次項系

10、數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去. 類型五、“降次思想”的應(yīng)用主要內(nèi)容： 求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題 ：例 1、已知0232xx，求代數(shù)式11123xxx的值。精品文檔例 2、如果012xx，那么代數(shù)式7223xx的值。例 3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。說明：在運用降次思想求代數(shù)式的值的時候，要注意兩方面的問題：能對已知式進行靈活的變形；能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次冪化為低次冪，最后求解。例 4、用兩種不同的方法解方程組)2(.065) 1(, 6222yxyxyx說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種

11、：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題. 考點四、根與系數(shù)的關(guān)系前提： 對于02cbxax而言，當(dāng)滿足0a、0時，才能用韋達定理。主要內(nèi)容：acxxabxx2121,應(yīng)用： 整體代入求值。典型例題 ：例 1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程07822xx的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（） a.3 b.3 c.6 d.6說明 ： 要能較好地理解、運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 必須熟練掌握ba、ba、 ab、22ba之間的運算關(guān)系 . 例 2、解方程組：. 2,10)2(;24,10)1 (22yxyxxyyx說明：一

12、些含有yx、22yx、xy的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題. 有時，后者顯得更為簡便. 例 3、已知關(guān)于 x 的方程011222xkxk有兩個不相等的實數(shù)根21,xx，（1）求 k 的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k 的值；若不存在，請說精品文檔明理由。例 4、當(dāng) k取何值時，方程04234422kmmxmxx的根與m均為有理數(shù)？例 5、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為 8 和 2，小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解

13、為-9 和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？例 6、已知ba，0122aa，0122bb，求ba變式：若0122aa，0122bb，則abba的值為。例 7、已知,是方程012xx的兩個根，那么34 . 測試題目 ：一、選擇題1解方程： 3x2+27=0得（）. (a)x= 3 (b)x=-3 (c) 無實數(shù)根 (d) 方程的根有無數(shù)個2方程（ 2-3x ）+（3x-2 ）2=0 的解是（）. (a),x2=-1 (b) ,(c)x1=x2= (d) ,x2=1 3. 方程(x-1)2=4 的根是 ( ). (a)3,-3 (b)3,-1 (c)2,-3 (d)3,-2 精品

14、文檔4. 用配方法解方程 :正確的是 ( ). (a) (b)(c), 原方程無實數(shù)解 (d) 原方程無實數(shù)解5. 一元二次方程用求根公式求解 , 先求 a,b,c 的值, 正確的是 ( ). (a) a=1,b= (b)a=1,b=-,c=2 (c)a=-1,b=- ,c=-2 (d)a=-1,b=,c=2 6用公式法解方程： 3x2-5x+1=0，正確的結(jié)果是（）. （a）（b）（c）（d）都不對二、填空7方程 9x2=25的根是 _. 8. 已知二次方程 x2+(t-2)x-t=0有一個根是 2, 則 t=_, 另一個根是 _. 9. 關(guān)于 x 的方程 6x2-5(m-1)x+m2-2m

15、-3=0 有一個根是 0, 則 m的值為 _. 10. 關(guān)于 x 的方程 (m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的條件為 _. 11. 方程(x+2)(x-a)=0和方程 x2+x-2=0 有兩個相同的解 , 則 a=_. 三、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于x 和 y 的方程12（x+2）（x-2 ）=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2 精品文檔14.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0. 16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0. 18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0. 20.a2x2+2abx+b2- 4=0(a0). 21 （b-c）x2-（c-a ）x+ （a-b）=0 （ac）22用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0. （a） 因式分解法（b）配方法（c ）公式法23解方程：（1）（2）24解關(guān)于 x 的方程： x2-2x+1-k （x2-1 ）=0 25已知 |2m-3|=1 ，試解關(guān)于 x 的方程 3mx （x+1）-5（x+1） （x-1 ）=x226、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40 元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50 元銷售，一個月能售出 500 千克，銷售單價每漲1 元，月銷售量就減少