千錘百煉-高考數(shù)學(xué)100個熱點(diǎn)問題——第88煉 含有條件概率的隨機(jī)變量問題

1、第88煉 含有條件概率的隨機(jī)變量問題一、基礎(chǔ)知識：1、條件概率：事件在事件已經(jīng)發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率稱為在條件下的條件概率，記為 2、條件概率的計算方法：（1）按照條件概率的計算公式： （2）考慮事件發(fā)生后，題目產(chǎn)生了如何的變化，并寫出事件在這種情況下的概率例如：5張獎券中有一張有獎，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲沒有中獎，則乙中獎的概率：按照（1）的方法：設(shè)事件為“甲沒中獎”，事件為“乙中獎”，則所求事件為，按照公式，分別計算，利用古典概型可得：，所以按照（2）的方法：考慮甲已經(jīng)抽完了，且沒有中獎，此時還有4張獎券，1張有獎。那么輪到乙抽時，乙抽中的概率即為 3、含條件概率

2、的乘法公式：設(shè)事件，則同時發(fā)生的概率，此時通常用方案（2）進(jìn)行計算4、處理此類問題要注意以下幾點(diǎn)：（1）要分析好幾個事件間的先后順序，以及先發(fā)生的事件對后面事件的概率產(chǎn)生如何的影響（即后面的事件算的是條件概率）（2）根據(jù)隨機(jī)變量的不同取值，事件發(fā)生的過程會有所不同，要注意區(qū)別（3）若隨機(jī)變量取到某個值時，情況較為復(fù)雜，不利于正面分析，則可以考慮先求出其它取值時的概率，然后用間接法解決。二、典型例題：例1：袋中有大小相同的三個球，編號分別為，從袋中每次取出一個球，若取到的球的編號為，則把該球編號記下再把編號數(shù)改為1后放回袋中繼續(xù)取球；若取到的球的編號為奇數(shù)，則取球停止，取球停止后用表示“所有被取

3、球的編號之和”（1）求的分布列（2）求的數(shù)學(xué)期望及方差思路：（1）依題意可知如果取球取出的是，則取球停止，此時的值為1或3；當(dāng)取球取出的是2號球時，按照規(guī)則要改為1號球放進(jìn)去重取，再取時只能取到1或3，所有編號之和的值為，所以可知可取的值為，當(dāng)時，意味著直接取到了1號球（概率為）；當(dāng)時，分為兩種情況，一種為直接取到3（概率為），另一種為取到了2（概率為），改完數(shù)字后再取到1（概率為）；當(dāng)時，為取到了2（概率為），改完數(shù)字后再取到3（概率為），從而可計算出概率。進(jìn)而得到分布列與期望方差解：（1）可取的值為 的分布列為：（2）例2：深圳市某校中學(xué)生籃球隊假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個籃球，其中3個是新球

4、(即沒有用過的球)，3個是舊球(即至少用過一次的球)每次訓(xùn)練，都從中任意取出2個球，用完后放回（1）設(shè)第一次訓(xùn)練時取到的新球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求第二次訓(xùn)練時恰好取到一個新球的概率（1）思路：第一次訓(xùn)練時所取得球是從6個球（3新，3舊）中不放回取出2個球，所以可判斷出服從超幾何分布，即可利用其公式計算概率與分布列，并求得期望解：可取的值為 的分布列為：（2）思路：本題要注意一個常識，即新球訓(xùn)練過后就變成了舊球，所以要計算第二次恰好取到一個新球的概率，需要了解經(jīng)過第一次訓(xùn)練后，所剩的球有幾個新球，幾個舊球。所以要對第一次取球的情況進(jìn)行分類討論：若第一次取2個新球，則第二次訓(xùn)練時有

5、5舊1新；若第一次取到1個新球，則第二次訓(xùn)練時有4舊2新；若第一次取到2個舊球，則第二次訓(xùn)練依然為3舊3新，分別計算概率再相加即可解：設(shè)事件為“第一次訓(xùn)練取出了個新球”，則設(shè)事件為“從六個球取出兩個球，其中恰好有一個新球”事件為“第二次恰好取出一個新球”例3：若盒中裝有同一型號的燈泡共10個，其中有8個合格品，2個次品（1）某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡3次，每次取一只燈泡，求2次取到次品的概率（2）某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報廢（不再放回原盒中），求成功更換會議室的已壞燈泡所用燈泡只數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期

6、望（1）思路：每次有放回的取燈泡，相當(dāng)于做了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中取到合格品的概率為，取到次品的概率為，在3次試驗(yàn)中2次取到次品，1次取得合格品，所以考慮利用公式求解取到次品的概率解：設(shè)事件為“2次取到次品”（2）思路：因?yàn)橹挥?個次品，所以最多用掉3個燈泡，可取的值為，時，意味著取到的是合格品，概率為，是取到一個次品（概率為）之后在9個燈泡中取到一個合格品（概率為），是連續(xù)取到2個次品（概率為），之后一定拿到合格品，分別計算概率即可解：可取的值為 的分布列為：例4：一個盒子內(nèi)裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數(shù)字，這8個數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有3個，偶數(shù)有5個每張卡片被取出的概率相等（1

7、）如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個新數(shù)，求所得新數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片設(shè)取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數(shù)學(xué)期望 （1）思路：本題可用古典概型解決，事件為“8張卡片中取出2張卡片”，所以事件為“所得新數(shù)為奇數(shù)”，可知需要一奇一偶相加即可，則，從而可計算出解：設(shè)為“所得新數(shù)為奇數(shù)”（2）思路：依題意可知可取的值為，題目中的要求為“取出偶數(shù)即停止”所以若要保證第次能繼續(xù)抽卡片，則在前次需均抽出奇數(shù)。所以時，意味著抽卡片中途停止，則必在

8、最后一次取到了偶數(shù)，以為例，中途停止說明在第三次抽到偶數(shù)，前兩次抽到奇數(shù)。所以（第二次受第一次結(jié)果的影響，只剩7張卡片，含有2張奇數(shù)卡片，所以是前兩次是奇數(shù)的概率為）。當(dāng)時，只要在前三次將奇數(shù)卡片抽完即可。解：可取的值為 的分布列為：例5：某迷宮有三個通道，進(jìn)入迷宮的每個人都要經(jīng)過一個智能門，首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會隨機(jī)（即等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1個小時走出迷宮；若是2號，3號通道，則分別需要2小時，3小時返回智能門，再次到達(dá)智能門時，系統(tǒng)會隨機(jī)打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止，令表示走出迷宮所需的時間，求的分布列和數(shù)學(xué)期望思路：迷宮的規(guī)則為只有進(jìn)入1號通道才能走出

9、迷宮，如果是其他通道（以2號為例），則可能打開1通道然后走出迷宮，或者打開另一個通道，通過第三輪進(jìn)入1通道走出迷宮，所以可取的值為（1號），（2號+1號），（3號+1號），（3號+2號+1號或2號+3號+1號）。根據(jù)的取值便可判斷出走迷宮的情況，從而列出式子計算概率，得到分布列解：可取的值為 的分布列為：例6：某學(xué)校要對學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)全面測試，對每位學(xué)生都要進(jìn)行9選3考核（即共9項(xiàng)測試，隨機(jī)選取3項(xiàng)），若全部合格，則頒發(fā)合格證；若不合格，則重新參加下期的9選3考核，直至合格為止，若學(xué)生小李抽到“引體向上”一項(xiàng)，則第一次參加考試合格的概率為，第二次參加考試合格的概率為，第三次參加考試合格的概率

10、為，若第四次抽到可要求調(diào)換項(xiàng)目，其它選項(xiàng)小李均可一次性通過（1）求小李第一次考試即通過的概率（2）求小李參加考核的次數(shù)分布列（1）思路：由題意可知，小李能夠通過考試的概率取決于是否能夠抽到“引體向上”這個項(xiàng)目，如果沒有抽到，則必能通過；若抽到“引體向上”則通過的概率為。后面通過測試的概率受到前面抽簽的影響，要利用條件概率進(jìn)行解決解：（1）若沒有抽到“引體向上”，則若抽到“引體向上”，則（2）思路：依題目要求可知可取的值為，在參加下一次考核時，意味著前幾次考核失敗，所以當(dāng)取時，要考慮前面考核失敗的情況與該次考核成功兩個方面同時成立。解：可取的值為 的分布列為：例7：袋子a和b中裝有若干個均勻的紅

11、球和白球，從a中摸出一個紅球的概率是，從b中摸出一個紅球的概率是，現(xiàn)從兩個袋子中有放回的摸球（1）從a中摸球，每次摸出一個，共摸5次，求 恰好有3次摸到紅球的概率 設(shè)摸得紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的期望（2）從a中摸出一個球，若是白球則繼續(xù)在袋子a中摸球，若是紅球則在袋子b中摸球；若從袋子b中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子b中摸球，若是紅球則在袋子a中摸球，如此反復(fù)摸球3次，計摸出紅球的次數(shù)為，求的分布列和期望（1）思路：題目中說“有放回的摸球”，所以本題為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，在a中摸出紅球的概率為，代入獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ凸郊纯捎嬎愠龈怕剩?隨機(jī)變量指摸出紅球發(fā)生的次數(shù)，所以符合二項(xiàng)分布，直接可計算期望

12、解： 設(shè)事件為“恰好有3次摸到紅球” 的取值為，依題意可知（2）思路：有放回的摸球三次，所以可取的值為，因?yàn)橄乱淮卧谀膫€袋子里摸球取決于上一次的結(jié)果：若是白球則在本袋繼續(xù)摸，若是紅球則要換袋子摸，所以在計算概率的過程中要監(jiān)控每一次摸球的結(jié)果，并按紅球個數(shù)進(jìn)行安排。例如時，要按“紅白白”，“白紅白”，“白白紅”三種情況進(jìn)行討論，并匯總在一起。解：可取的值為 的分布列為：例8：為了參加中央電視臺，國家語言文字工作委員會聯(lián)合主辦的中國漢字聽寫大會節(jié)目，某老師要求參賽學(xué)生從星期一到星期四每天學(xué)習(xí)3個漢字及正確注釋，每周五對一周內(nèi)所學(xué)漢字隨機(jī)抽取若干個進(jìn)行檢測（一周所學(xué)的漢字每個被抽到的可能性相同）（1

13、）老師隨機(jī)抽了4個漢字進(jìn)行檢測，求至少有3個是后兩天學(xué)習(xí)過的漢字的概率（2）某學(xué)生對后兩天所學(xué)過的漢字每個能默寫對的概率為，對前兩天所學(xué)過的漢字每個能默寫對的概率為，若老師從后三天所學(xué)漢字中各抽取一個進(jìn)行檢測，求該學(xué)生能默寫對的漢字的個數(shù)的分布列和期望解：（1）設(shè)事件為“至少有3個是后兩天學(xué)習(xí)過的漢字”（2）思路：依題意可知可取的值為，本問的關(guān)鍵在于后三天中包括“后兩天”與“第二天”兩類，這兩類中學(xué)生默寫對的概率是不同的，所以在求概率時要討論默對的屬于哪個類別，再考慮其概率即可 解： 的分布列為：例9：qq先生的魚缸中有7條魚，其中6條青魚和1條黑魚，計劃從當(dāng)天開始，每天中午從該魚缸中抓出一條

14、魚（每條魚被抓到的概率相同）并吃掉，若黑魚未被抓出，則它每晚要吃掉一條青魚（規(guī)定青魚不吃魚）（1）求這7條魚中至少有6條被qq先生吃掉的概率（2）以表示這7條魚中被qq先生吃掉的魚的條數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望（1）思路：依題意可知，如果qq先生沒有抓到黑魚，則黑魚會一次次的吃掉青魚，從而使得qq先生吃掉魚的總數(shù)減少。所以qq先生吃魚的總數(shù)決定于第幾次將青魚拿出，“qq先生至少吃掉6條”包含6條和7條，若吃掉6條，則表示第一次拿出的是青魚，在第二次拿黑魚時，因?yàn)楹隰~已經(jīng)吃掉一條青魚，所以只能從剩下5條中拿出，故概率為；若吃掉7條，則表示第一次就拿出黑魚，即概率為。解：設(shè)事件為“第次拿到青魚”

15、事件為“qq先生至少吃掉6條魚”（2）思路：依題意可知只要晚一天拿出黑魚，則這一天就會少兩條青魚（一條qq吃掉，一條黑魚吃掉），所以可取的值為。代表第一天就拿到黑魚；代表第二天拿到黑魚；代表第三天拿到黑魚；代表第四天拿到黑魚，此時qq先生吃了3條青魚，黑魚吃了3條青魚。分別求出概率即可解：可取的值為 的分布列為：例10：有三個盒子，每個盒子中放有紅，黃，藍(lán)顏色的球各一個，所有的球僅有顏色上的區(qū)別（1）從每個盒子中任意取出一個球，記事件為“取得紅色的三個球“，事件為”取得顏色互不相同的三個球“，求（2）先從盒中任取一球放入盒，再從盒中任取一球放入盒，最后從盒中任取一球放入a盒，設(shè)此時盒中紅球的個

16、數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望（1）思路一：可利用古典概型求出，基本事件空間為“三個盒子的取球情況”，則，則，（三種顏色全排列確定出自哪個盒），從而求得解：（1） 思路二：本題也可用概率的乘法進(jìn)行計算。表示每個盒均取出紅球（取出紅球的概率為），因?yàn)槊亢兄g互不影響，所以；要求每盒顏色不同，所以前一個盒取出球的顏色會影響到下一個盒取球的選擇。第一個盒取出一個顏色，則第二個盒只能取另外兩個顏色的球（概率為），而第三個盒只能取出剩下顏色的那個球（概率為），所以解：（1） （2）思路：分析可知整個過程對于而言是取出一個球，再進(jìn)入一個球，所以可取的值為，情況較為簡單的為和的情況，當(dāng)時，意味著從盒中取出了紅球到（概率為），此時盒中為2紅2非紅，c盒中的情況取決于b盒中取出球的顏色，可進(jìn)行分類討論：若取出的是紅球（概率為），