模型11豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)

1、模型11豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)（原卷版）豎直平而內(nèi)兩類典型模型分析輕繩模型輕桿模型實(shí)例如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的球等如球與桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等圖示最高點(diǎn)無(wú)支撐丿回最髙點(diǎn)有支撐.也受 力 特 征重力、彈力，彈力方向指向圓心重力、彈力，彈力方向指向圓心或背離圓心受 力 示 意叱mgbo冷、"“J、叱mgy，rn6ob力學(xué) 方 程mg±F=nr臨 界 特 征FN=O,Vmin=Jg 丁豎直向上的Fn=“p=O過(guò)最 高點(diǎn)條v>y/grv>0件速度和 彈力關(guān)系討論分析 能過(guò)最高點(diǎn) 時(shí)v' gr、FN+mg=m , 繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力Fn 不能過(guò)最高點(diǎn)

2、時(shí)jyJ麗，在到達(dá)最高 點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓 軌道做斜拋運(yùn)動(dòng) 當(dāng)v=0時(shí)FnfeFn為支持力，沿半徑背離圓心 當(dāng)OvnS時(shí),丹+噸=亡丹背離圓心，隨V的增大而減小 當(dāng)萬(wàn)F時(shí),Fn=o 當(dāng)卩也曠時(shí),你+噸=片斥指向圓心并隨V的增大而增大【典例1】"水流星"是一個(gè)經(jīng)典的雜技表演項(xiàng)目，雜技演員將裝水的杯子（可視為質(zhì)點(diǎn)）用細(xì)繩系著讓杯子在豎 直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。杯子到最髙點(diǎn)時(shí)杯口向下,水也不會(huì)從杯中流岀，如圖所示。若杯子質(zhì)量為”所裝水的 質(zhì)量為M,杯子運(yùn)動(dòng)到圓周的最高點(diǎn)時(shí)，水對(duì)杯底剛好無(wú)壓力,重力加速度為g,則杯子運(yùn)動(dòng)到圓周最髙點(diǎn)時(shí)，雜 技演員對(duì)細(xì)繩的拉力大小為（）oA. O B.

3、mg C.MgD（M+加）g【變式訓(xùn)練la如圖3所示為模擬過(guò)山車(chē)的實(shí)驗(yàn)裝置，小球從左側(cè)的最髙點(diǎn)釋放后能夠通過(guò)豎直圓軌道而 到達(dá)右側(cè).若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球能順利通過(guò)豎直圓軌道，則小球通過(guò)豎宜圓軌道的最髙點(diǎn) 時(shí)的角速度最小為（）圖3【變式訓(xùn)練lb】一細(xì)繩與水桶相連.水桶中裝有水，水桶與細(xì)繩一起在豎直平而內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所 示，水的質(zhì)量加=05kg,水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離/=50cm(g取lOm/s?)圖2(1) 若在最髙點(diǎn)水不流出來(lái)，求桶的最小速率；(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)(2) 若在最高點(diǎn)水桶的速率v=3 m/s,求水對(duì)桶底的壓力大小.【典例2】長(zhǎng)度為0.5 m的輕桿OA繞O點(diǎn)在豎

4、直平而內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，A端連著一個(gè)質(zhì)量?=2 kg的小球.求 在下述的兩種情況下，通過(guò)最髙點(diǎn)時(shí)小球?qū)U的作用力的大小和方向.(g取10m/s2)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為2.0 r/s；(2)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為0.5 r/s.【變式訓(xùn)練la】（多選）如圖所示，一個(gè)固左在豎直平而上的光滑圓形管道，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi) 徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是（）A. 小球通過(guò)管道最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫ο蛳翨. 小球通過(guò)管道最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫ο蛏螩. 小球通過(guò)管道最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫赡芟蛏螪. 小球通過(guò)管道最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿揽赡軣o(wú)壓力【變式訓(xùn)練2b】（多

5、選）如圖5所示，有一個(gè)半徑為/?的光滑圓軌逍，現(xiàn)給小球一個(gè)初速度，使小球在豎直 而內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則關(guān)于小球在過(guò)最高點(diǎn)的速度小下列敘述中正確的是（）圖5A. v的極小值為倆B. V由零逐漸增大，軌道對(duì)球的彈力逐漸增大C. 當(dāng)由侮值逐漸增大時(shí)，軌道對(duì)小球的禪力也逐漸增大D. 當(dāng)v由俯值逐漸減小時(shí)，軌道對(duì)小球的禪力逐漸增大【典例3（多選）如圖所示,半徑為R的光滑細(xì)圓環(huán)軌道被固左在豎直平而上，軌道正上方和正下方分別有質(zhì) 量為2?和加的靜止小球A、B,它們由長(zhǎng)為2R的輕桿固泄連接,圓環(huán)軌道內(nèi)壁開(kāi)有環(huán)形小槽，可使細(xì)桿無(wú)摩擦、 無(wú)障礙地繞其中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。今對(duì)上方小球A施加微小擾動(dòng)。兩球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，下列說(shuō)法正確

6、的是（）。BA. 輕桿轉(zhuǎn)到水平位巻時(shí)，兩球的線速度大小相等B. 輕桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，兩球的加速度大小不相等C. 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A球速度的最大值為怦D. 當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球?qū)壍雷饔昧Φ暮狭Υ笮樘?hào)“g【變式訓(xùn)練3】（多選）如圖甲所示,我國(guó)男子體操運(yùn)動(dòng)員在里約奧運(yùn)會(huì)上個(gè)人全能中完成“單臂大回環(huán)”的髙難 度動(dòng)作:用一只手抓住單杠，伸展身體，以單杠為軸做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到最髙點(diǎn)時(shí)，與單杠間彈力大小為F,運(yùn)動(dòng)員 在最高點(diǎn)的速度大小為兒其F-p2圖象如圖乙所示。取.g=10 m/Q,則下列說(shuō)法中正確的是（）。A. 此運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為55 kgB. 此運(yùn)動(dòng)員的重心到單杠的距離為0.9 mC. 運(yùn)動(dòng)員在最高

7、點(diǎn)速度為4 m/s時(shí)，英受單杠的彈力方向向上D. 在完成“單臂大回環(huán)"的過(guò)程中，他的單臂至少要承受2750 N的力【典例4】如圖所示，傾角*37。的斜而底端B平滑連接著半徑r=0.40 m的豎直光滑圓軌道。質(zhì)量/n=0.50 kg 的小物塊，從距地面/匸2.7 m處沿斜而由靜止開(kāi)始下滑，小物塊與斜而間的動(dòng)摩擦因數(shù)“=0.25。取 10 m/s?)求：(1) 物塊滑到斜而底端B時(shí)的速度大小。(2) 物塊運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最髙點(diǎn)A時(shí)，對(duì)圓軌道的壓力的大小?！咀兪接?xùn)練4】如圖甲所示，兩段長(zhǎng)均為L(zhǎng)的輕質(zhì)線共同系住一個(gè)質(zhì)量為加的小球，另一端分別固定在等髙的A、B兩點(diǎn)人B兩點(diǎn)間距也為厶，今使小球在豎

8、直平而內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)小球到達(dá)最髙點(diǎn)時(shí)速率為I，,兩段線中 張力恰好均為零;若小球到達(dá)最髙點(diǎn)時(shí)速率為2匕則此時(shí)每段線中張力大小為()0A.v3?ngB.加gC3mgD.4加 g模型11豎直平面圓周運(yùn)動(dòng)(解析版)豎直平而內(nèi)兩類典型模型分析輕繩模型輕桿模型實(shí)例如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的球等如球與桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等圖示最高點(diǎn)無(wú)支撐'、也最高點(diǎn)有支撐.也受 力 特 征重力、彈力，彈力方向指向圓心重力、彈力，彈力方向指向圓心或背離圓心力 示 意Ivl叱噸0Wrng陽(yáng)1(? 】0力學(xué) 方 程加g+Fz=加mg±F=nr臨 界 特 征F =O,Vmin=J 9 丁豎直向上

9、的Fn=m,v=O過(guò)最高點(diǎn)條件v>0速度和 彈力關(guān) 系討論分析 能過(guò)最高點(diǎn) 時(shí) »v> y/gr ,Fn十mg=m y， 繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力 Fn 不能過(guò)最高點(diǎn) 時(shí)師，在到達(dá)最髙 點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓 軌道做斜拋運(yùn)動(dòng) 當(dāng)v=0時(shí)尺=啊尺為支持力，沿半徑背離圓心 當(dāng)Oviy'p?時(shí),-Fn+“農(nóng)=”*Fn背離圓心，隨v的增大而減小 當(dāng)zv折時(shí),Fn=O©當(dāng)v>:Sr時(shí),Fn+"農(nóng)="*Fn指向圓心并隨v的增大而增大【典例1】“水流星"是一個(gè)經(jīng)典的雜技表演項(xiàng)目，雜技演員將裝水的杯子（可視為質(zhì)點(diǎn)）用細(xì)繩系著讓杯子在豎 直平

10、而內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。杯子到最高點(diǎn)時(shí)杯口向下,水也不會(huì)從杯中流出如圖所示。若杯子質(zhì)量為"所裝水的 質(zhì)量為M,杯子運(yùn)動(dòng)到圓周的最髙點(diǎn)時(shí)，水對(duì)杯底剛好無(wú)壓力,重力加速度為g,則杯子運(yùn)動(dòng)到圓周最高點(diǎn)時(shí)，雜 技演員對(duì)細(xì)繩的拉力大小為（）。 : />I/J、丄A. O B.加gC.MgD（M+加）g【答案】A【解析】杯子到最髙點(diǎn)時(shí)由于水剛好沒(méi)有流岀，則杯底對(duì)水的作用力為零，設(shè)這時(shí)杯子的速度大小為v,對(duì)水研 究有M滬M%,對(duì)杯子和水整體研究，設(shè)繩的竝力為F,則F+（M+“必=（M+肴.解得F=O.A項(xiàng)正確?！咀兪接?xùn)練la如圖3所示為模擬過(guò)山車(chē)的實(shí)驗(yàn)裝宜，小球從左側(cè)的最高點(diǎn)釋放后能夠通過(guò)豎直圓軌逍

11、而 到達(dá)右側(cè).若豎直圓軌道的半徑為/?，要使小球能順利通過(guò)豎直圓軌道，則小球通過(guò)豎宜圓軌道的最髙點(diǎn) 時(shí)的角速度最小為（）圖3選【答案】C【解析】小球能通過(guò)豎直岡軌道的最髙點(diǎn)的臨界狀態(tài)為重力提供向心力，即噸=MR,解得 項(xiàng)C正確.【變式訓(xùn)練lb】一細(xì)繩與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細(xì)繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所 示，水的質(zhì)量加=05kg,水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離/=50cm(g取lOm/s?)圖2(1) 若在最高點(diǎn)水不流出來(lái)，求桶的最小速率；(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)(2) 若在最髙點(diǎn)水桶的速率v=3 m/s,求水對(duì)桶底的壓力大小.【答案(1)2.24 nVs (2)4 N【解析】(1)以

12、水桶中的水為研究對(duì)象，在最髙點(diǎn)恰好不流出來(lái)，說(shuō)明水的重力恰好提供其做圓周運(yùn)動(dòng)所需 的向心力，此時(shí)桶的速率最小.此時(shí)有：mg=fn學(xué),則所求的最小速率為：vo=ygl2.24 m.'s.(2)此時(shí)桶底對(duì)水有一向下的壓力，設(shè)為Fn,則由牛頓第二定律有：V2你|+"農(nóng)=加丁，代入數(shù)據(jù)可得：Fn=4N.由牛頓第三怎律，水對(duì)桶底的壓力：Fn'=4 N.【典例2】長(zhǎng)度為0.5 m的輕桿04繞O點(diǎn)在豎直平而內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，A端連著一個(gè)質(zhì)量川=2 kg的小球.求 在下述的兩種情況下，通過(guò)最髙點(diǎn)時(shí)小球?qū)U的作用力的大小和方向.(g取lOnVs2)(1) 桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為2.0 r

13、/s；(2) 桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為0.5 r/s.【答案】(1)小球?qū)U的拉力為138N,方向豎宜向上【解析】小球在最高點(diǎn)的受力如圖所示：桿的轉(zhuǎn)速為2.0 r/s時(shí)，a>=2n n=4n rad's由牛頓第二立律得F+mf：=mL故小球所受桿的作用力F=?nZcy2?ng=2x(0.5x42x7r210)N=138 N即桿對(duì)小球提供了 138 N的拉力.由牛頓第三左律知小球?qū)U的拉力大小為138 N,方向豎直向上.（2）桿的轉(zhuǎn)速為 0.5 r/s 時(shí)，w=27r n=7trad/s同理可得小球所受桿的作用力F=jnLco'2mg=2x（0.5xn2 10）N10 N.

14、力尸為負(fù)值表示它的方向與受力分析中所假設(shè)的方向相反，故小球?qū)U的壓力大小為10 N,方向豎直 向下.【變式訓(xùn)練la】（多選）如圖所示，一個(gè)固左在豎直平而上的光滑圓形管道，管道里有一個(gè)直徑略小于管適內(nèi) 徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是（）A. 小球通過(guò)管道最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫ο蛳翨. 小球通過(guò)管道最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫ο蛏螩. 小球通過(guò)管道最髙點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫赡芟蛏螪. 小球通過(guò)笛道最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿揽赡軣o(wú)壓力【答案】ACD【解析】設(shè)管道的半徑為R，小球的質(zhì)量為加，小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)速度大小為刃，根擔(dān)牛頓第二龍律:N- 噸=咗可知小球所受合力向上，則管道對(duì)小

15、球的支持力向上，則小球?qū)艿赖膲毫ο蛳?，故A正確，B 錯(cuò)誤：最高點(diǎn)時(shí)速度大小為吃，根據(jù)牛頓第二怎律：mgN=m£,當(dāng)V2=儷時(shí)，N=0,說(shuō)明管道對(duì)小球 無(wú)壓力；當(dāng)vi>yR時(shí)，N<0,說(shuō)明管道對(duì)小球的作用力向下，則小球?qū)苠械膲毫ο蛏?，故C、D正 確.所以A、C、D正確，B錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練2b】（多選）如圖5所示，有一個(gè)半徑為R的光滑圓軌適，現(xiàn)給小球一個(gè)初速度，使小球在豎直 而內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則關(guān)于小球在過(guò)最髙點(diǎn)的速度內(nèi)下列敘述中正確的是（）圖5A. v的極小值為也B. I，由零逐漸增大，軌道對(duì)球的彈力逐漸增大C. 當(dāng)V由侮值逐漸增大時(shí)，軌道對(duì)小球的彈力也逐漸增大D. 當(dāng)I

16、，由侮值逐漸減小時(shí)，軌逍對(duì)小球的彈力逐漸增大【答案】CD【解析】由于軌逍可以對(duì)球提供支持力，小球過(guò)最高點(diǎn)的速度最小值為0, A錯(cuò)誤：當(dāng)0£，侮時(shí)，小球 受到的彈力為支持力，由牛頓第二宦律得："農(nóng)一斥="命，故論v越大，F(xiàn)、越小:肖 時(shí)，小球受到的彈力為外軌對(duì)它向下的壓力，即盡+噸="耳，v越大'Fn越大，故B錯(cuò)誤，C、D正確.【典例3】（多選）如圖所示,半徑為R的光滑細(xì)圓環(huán)軌道被固立在豎直平而上，軌道正上方和正下方分別有質(zhì) 量為加和加的靜止小球A、B,它們由長(zhǎng)為2R的輕桿固定連接,圓環(huán)軌道內(nèi)壁開(kāi)有環(huán)形小槽，可使細(xì)桿無(wú)摩擦、 無(wú)障礙地繞其中心點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

17、。今對(duì)上方小球A施加微小擾動(dòng)。兩球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，下列說(shuō)法正確的是（）。A. 輕桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，兩球的線速度大小相等B. 輕桿轉(zhuǎn)到豎直位垃時(shí)，兩球的加速度大小不相等c.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中川球速度的最大值為怦D.當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球?qū)壍雷饔昧Φ暮狭Υ笮闋?zhēng)粘【答案】ACD【解析】?jī)汕蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)，在任意位置角速度相等，則線速度和向心加速度大小相等.A項(xiàng)正確.B項(xiàng)錯(cuò)誤川、B 兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.-*1系統(tǒng)巫力孫能最?。ˋ為最低點(diǎn)）時(shí)，線速度最大，則mg 2R3mv大速度項(xiàng)匸確3在最低點(diǎn)時(shí)，分別對(duì)A. B受力分析,冇盡八2噸=力侖屆+加£=加則FwFnb二晉項(xiàng)正確?！咀兪接?xùn)練3】（多選

18、）如圖甲所示，我國(guó)男子體操運(yùn)動(dòng)員在里約奧運(yùn)會(huì)上個(gè)人全能中完成“單臂大回壞"的髙難度動(dòng)作:用一只手抓住單杠，伸展身體，以單杠為軸做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最髙點(diǎn)時(shí),與單杠間彈力大小為F.運(yùn)動(dòng)員在最髙點(diǎn)的速度大小為兒其F-v2圖象如圖乙所示。取g=10 m/Q,則下列說(shuō)法中正確的是（）,甲乙A. 此運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為55 kgB. 此運(yùn)動(dòng)員的重心到單杠的距離為0.9 mC. 運(yùn)動(dòng)員在最高點(diǎn)速度為4 m/s時(shí)，英受單杠的彈力方向向上D. 在完成“單臂大回環(huán)"的過(guò)程中，他的單臂至少要承受2750 N的力【答案】ABD【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)員在最髙點(diǎn)進(jìn)行受力分析速度為零時(shí)尸叱=0,結(jié)合圖象解得質(zhì)量=55kg.所以A項(xiàng)正確;當(dāng)F=0時(shí)，由向心力公式可得隔羊結(jié)"圖象可知R=09m,即運(yùn)動(dòng)員的重心到單杠的距離為項(xiàng)正確;在 最髙點(diǎn)速度為4m/s時(shí),運(yùn)動(dòng)負(fù)受單桿的拉力，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤;經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)受力最大，由牛頓第二泄律得根據(jù)機(jī)械能守恒得皿2/?舟沁由以卜兩式得F=5噸,代入數(shù)辦得F=275ON,即運(yùn)動(dòng)員的單骨至少要承受的力為2750N,所以D項(xiàng)正確?！镜淅?】如圖所示，傾角*37。的斜而底端B平滑連接著半徑r=0.40 m的豎直光滑圓軌道。質(zhì)雖”匸0.50 kg 的小物塊，從距地而尼=2.7 m處沿斜而由靜止開(kāi)始下滑，小物塊與斜而間的動(dòng)摩擦因數(shù)“=0.25。(sin