線性方程組的數(shù)值解法

1、大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作業(yè)線性方程組的數(shù)值解法班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 日期目錄目錄2【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】3【題目1（課本習(xí)題第五章第3題）3【第問(wèn)求解】3【第（2）問(wèn)求解】11【本題小結(jié)】12【題目21 （課本習(xí)題第五章第5題）13【第（1）問(wèn)求解】14【第（2）問(wèn)求解】15【本題小結(jié)】16【題目31 （課本習(xí)題第五章第7題）16【第（1）問(wèn)求解】16【第（2）問(wèn)求解】 18【本題小結(jié)】19【實(shí)驗(yàn)心得、體會(huì)】19注：本實(shí)驗(yàn)作業(yè)matlab腳本文件均以ex5_3形式命名，其中ex代表作業(yè)，5_3表示第五章第三 小題【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?. 學(xué)會(huì)用matlab軟件數(shù)值求解線性代數(shù)方程組，對(duì)迭代法的收斂性和解的穩(wěn)定

2、性作初步分析；2. 通過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)用線性代數(shù)方程組解決簡(jiǎn)化的實(shí)際問(wèn)題。【實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】【題目11課本習(xí)題第五章第3題已知方程組ax二b,其屮ae /?20x2°,定義為-1/4-1/23-1/2-1/43-1/2-1/23-1/4 -1/21/4一 1/4-1/2 -1/43.3-1/2-1/4-1/23-1/2_-1/4-1/23_試通過(guò)迭代法求解此方程組，認(rèn)識(shí)迭代法收斂的含義以及迭代初值和方程組系數(shù) 矩陣性質(zhì)對(duì)收斂速度的影響。實(shí)驗(yàn)要求：選取不同初始向量兀和不同的方程組右端向量b,給定迭代誤差要求，用雅 克比和高斯一一賽徳爾迭代法計(jì)算，觀測(cè)得到的迭代向量序列是否均收斂？若收 斂，記錄迭代

3、次數(shù)，分析計(jì)算結(jié)果并得出你的結(jié)論；(2)取定右端向量b和初始向量x(0),將a的主對(duì)角元素成倍增長(zhǎng)若干次，非主對(duì)角元素不變，每次用雅克比迭代法，要求迭代誤差滿足比較收斂速度，分析現(xiàn)象并得出你的結(jié)論?！镜趩?wèn)求解】【模型分析】對(duì)于矩陣a,將其分解為：a=d-l-u,其中:_3003 00 00d=0000030_00 03%00% 0 00000%0其中d、l、u均為20x20的方陣。 則雅可比迭代公式為嚴(yán)）=»1（厶高斯一賽德?tīng)柕綖椋贺＃▃二礦】（厶?；?1）+&伙）+ £）",k = 0,1,2.選取初始向量*"二0,0,00丁，b二1,1

4、,11丁，迭代誤差為：卜曲）一嚴(yán)l <10= 用雅可比迭代公法和高斯一賽徳爾迭代法對(duì)方程組ax二b進(jìn)行迭代計(jì)算，在mat lab 中編寫如下的程序代碼：matlab程序】%作業(yè)題5_3腳本m文件源程序clear all;clc;n 二 20;al=sparse(l: n, 1: n, 3, n, n);a2=sparse (1:nl, 2: n, -0. 5, n, n); a3二sparse (1: n-2, 3: n, -0. 25, n, n);a二a1+a2+a3+a2' +a3'd=diag(diag(a);l=-tril (a, -1);u=-triu(a,

5、1);b= ones (20, 1);x(:, 1)二zeros(n, 1);for i=2:1000x(:, i)=d (l+u)*x(:, i-l)+db;if no rm (x (:, i) - x(:, i-1), inf )<le-5 break;endenclbg_s= (d-l)u;%輸入a的對(duì)角元素%輸入a的（上）次對(duì)角元素%輸入（上）次次對(duì)角元素%得到a矩陣%提取d矩陣%提取l矩陣%提取u矩陣%設(shè)定b初值（進(jìn)行變化）%設(shè)定初始向量（進(jìn)行變化）%按雅克比迭代公式進(jìn)行計(jì)算%設(shè)定迭代誤差%設(shè)定初始向量fg_s二(d-l)b; y(:, 1)二x(:, 1);for j二2:1

6、000y (:, j)=bg_s*y (:, j-l)+fg_s;if norm(y(:, j)-y(:, jl), inf)<le-5 break;end%按高斯一賽德?tīng)柕竭M(jìn)行訃算%設(shè)定迭代誤差endi-l, j-lx(:, i), y(:, j), abx, yplot (l:i, x(l, :), 'r', 1: j, y(l, ' b');xlabel('迭代次數(shù)');ylabel(' xl');title(，%加入x軸、y軸標(biāo)記和標(biāo)題%輸出兩次迭代的次數(shù)%輸出迭代得到的方程的解及精確解%輸出兩次迭代的所有結(jié)果

7、%作岀xl在兩種迭代過(guò)程屮的變化圖像 xl在兩種迭代過(guò)程屮的變化圖像');legend c雅克比迭代法','高斯一賽德?tīng)柕?#39;,'location'， south')%加入圖例gtoxt (' xl');可以得到，所得的向量序列均是收斂的。具體的原因見(jiàn)后面的理論分析部分。 用雅可比迭代公式計(jì)算，共迭代16次，得到的迭代結(jié)果如下表一：表取兀二0,0,00t, b=l,l,l-.lt雅可比迭代公式計(jì)算部分結(jié)果次數(shù)迭代4、012345141516x10.00000.33330.41670.45370.46890.47580.4

8、8160.48160.4816x20.00000.33330.47220.52780.55270.56380.57340.57340.5734x30.00000.33330.50000.57180.60460.61960.63280.63280.6328x40.00000.33330.50000.58100.61840.63620.65210.65210.6521x50.00000.33330.50000.58330.62360.64300.66090.66090.6609x60.00000.33330.50000.58330.62480.64510.66430.66430.6643x70.0

9、0000.33330.50000.58330.62500.64570.66570.66570.6657x80.00000.33330.50000.58330.62500.64580.66620.66630.6663x90.00000.33330.50000.58330.62500.64580.66650.66650.6665xio0.00000.33330.50000.58330.62500.64580.66650.66660.6666xll0.00000.33330.50000.58330.62500.64580.66650.66660.6666xl20.00000.33330.50000.

10、58330.62500.64580.66650.66650.6665xl30.00000.33330.50000.58330.62500.64580.66620.66630.6663xl40.00000.33330.50000.58330.62500.64570.66570.66570.6657xl50.00000.33330.50000.58330.62480.64510.66430.66430.6643xl60.00000.33330.50000.58330.62360.64300.66090.66090.6609x170.00000.33330.50000.58100.61840.636

11、20.65210.65210.6521xl80.00000.33330.50000.57180.60460.61960.63280.63280.6328xl90.00000.33330.47220.52780.55270.56380.57340.57340.5734x200.00000.33330.41670.45370.46890.47580.48160.48160.4816用高斯一賽德?tīng)柕ㄓ?jì)算，共迭代11次，得到的部分迭代結(jié)果如下表2：表2：?。?）= 0,0,0-0t, b二1,1,11卩高斯一賽德?tīng)柕ㄓ?jì)算部分結(jié)果弋次數(shù) 迭代渝、01234591011x10.00000.3333

12、0.43360.46590.47640.47990.48160.48160.4816x20.00000.38890.51300.55350.56680.57120.57340.57340.5734x30.00000.42590.56460.61020.62530.63030.63280.63280.6328x40.00000.43670.58070.62840.64420.64950.65210.65210.6521x50.00000.44160.58810.63670.65290.65830.66090.66090.6609x60.00000.44330.59080.63980.65620.

13、66160.66430.66430.6643x70.00000.44400.59190.64110.65750.66300.66570.66570.6657x80.00000.44430.59230.64160.65810.66350.66620.66630.6663x90.00000.44440.59250.64180.65830.66380.66650.66650.6665xlo0.00000.44440.59250.64190.65840.66390.66660.66660.6666xll0.00000.44440.59260.64200.65840.66390.66660.66660.

14、6666xl20.00000.44440.59260.64200.65840.66390.66650.66650.6665xl30.00000.44440.59260.64200.65840.66390.66630.66630.6663xl40.00000.44440.59260.64200.65840.66370.66570.66570.6657xl50.00000.44440.59260.64200.65820.66280.66430.66430.6643xl60.00000.44440.59260.64200.65650.65990.66090.66090.6609xl70.00000.

15、44440.59260.63890.64940.65150.65210.65210.6521xl80.00000.44440.59260.62550.63130.63250.63280.63280.6328xl90.00000.44440.55560.57000.57270.57330.57340.57340.5734x200.00000.44440.47530.48050.48140.48160.48160.48160.4816（0）= 0,0,0-0t, b二1,1,11丁，|嚴(yán)）一州| <10-5時(shí)，為了更清晰比較兩種迭代 方法收斂快慢，作出解xl隨迭代次數(shù)變化的圖像：x1在兩種迭

16、代過(guò)程中的變化圖像0.5x1雅克比迭代法 高斯一軽德?tīng)柕?.450.40.350.3x 0-250.20.150.10.05024681012141618迭代次數(shù)圖仁 解x1隨迭代次數(shù)變化圖像【結(jié)果分析】由以上數(shù)據(jù)圖表可知，x®=o,o,oot, b二1丄11t,嚴(yán)）嚴(yán)| v10-5時(shí)，解 向量序列均是收斂的，都收斂到精確解，不過(guò)收斂速度不同。雅克比迭代法共迭 代16次，高斯一賽徳爾迭代法共迭代11次，因此可以得岀高斯一賽徳爾迭代法 收斂速度更快。兩種迭代法的收斂情況類似。迭代前幾步變化較大，后面均在小 范圍內(nèi)變化，與真實(shí)解已十分接近，直到滿足相應(yīng)的迭代誤差條件時(shí)停止迭代過(guò) 程。

17、這從圖1可以很直觀地看出。選取不同初始向量兀和不同的方程組右端向量b,給定不同迭代誤差要求，比較雅克比和高斯一一賽德?tīng)柕?選取相同初始向量*"和不同的方程組右端向量b,給定相同迭代誤差要求, 用雅克比和高斯一一賽德?tīng)柕ㄓ?jì)算，比較結(jié)果：表3： x禺、迭代誤差相同，不同右端向量b時(shí)兩種迭代方法的計(jì)算比較迭代誤差迭代次數(shù)迭代得到的解x初始向量方程右端向量b嚴(yán)+】）_兀l雅克比迭 代法高斯一賽 德?tīng)柕ㄑ趴吮鹊ǜ咚挂毁悘?爾 迭代法0,0,0 or1,1,11丁101611_0.4816_0.5734 0.57340.48160.4816_0.5734 0.57340.4816

18、o,o,o or1,2,32010-520140.7247_1.3444 10.6979.3897'0.7247 1.3444 10.6979.3897o,o,o or1,22,32-202102316_1.5719_3.8024 200.21183.53_1.5719_3.8024 200.21183.53【結(jié)果分析】由表格可知，僅右端向量b不同時(shí)，解向量序列均是收斂的，在誤差允許范圍內(nèi), 對(duì)相同b,兩種方法得到解向量相同；不同b之間，解向量不同。對(duì)相同b,兩 種方法收斂速度不同。雅克比迭代法比高斯一賽德?tīng)柕ǖ螖?shù)多，收斂速度慢，高斯一賽徳爾迭代法收斂速度快。述可以看出，b向量

19、越復(fù)雜，值越大, 兩種迭代方法的迭代次數(shù)均增加。分析：具體的原因見(jiàn)后面的理論分析部分。 選取不同初始向量兀給定相同的方程組右端向量b,迭代誤差要求，用雅克 比和高斯一一賽德?tīng)柕ㄓ?jì)算，比較結(jié)果：表4：晶町不同，向量b、迭代誤差相同時(shí)兩種迭代方法的計(jì)算比較迭代誤差迭代次數(shù)迭代得到的解x初始向暈方程右端向® b| 嚴(yán)“*l雅克比迭 代法高斯一賽 徳爾迭代法雅克比 迭代法高斯一賽徳 爾 迭代法0,0,0-0t1丄11丁10-51611'0.4816'0.5734 0.57340.4816'0.4816'0.5734 0.57340.48161,2,3.20

20、mj -1tio-520140.48160.5734 0.57340.4816_0.4816'0.5734 0.57340.4816【we202 r1丄11丁io-52416'0.4816'0.5734 0.57340.4816'0.4816'0.5734 0.57340.4816【結(jié)果分析】由表格可知，僅初始向量兀®不同時(shí)，解向量序列均是收斂的，在誤差允許范圍 內(nèi)解向量均相同，不過(guò)收斂速度不同。雅克比迭代法比高斯一賽德?tīng)柕ǖ?次數(shù)多，收斂速度慢，高斯一賽德?tīng)柕ㄊ諗克俣瓤?。還可知，初始向量兀越 大，偏離解越多，所需要的迭代次數(shù)越多，兩

21、種迭代方法的迭代次數(shù)均增加。分析：這從直觀上也是很容易理解的：當(dāng)初始距離解x越遠(yuǎn)吋，所需要的修 正次數(shù)就越多，故迭代次數(shù)越多。因?yàn)閷?duì)于同一個(gè)b,方程形式是相同的，故在 收斂的前提下，不同的最終將趨于同一個(gè)值，也就是方程的真實(shí)解。 選取相同初始向量兀、方程組右端向量b,給定不同迭代誤差要求，用雅克 比和高斯一一賽德?tīng)柕ㄓ?jì)算，比較結(jié)果：表5：汕町、向量b相同、迭代誤差不同時(shí)兩種迭代方法的計(jì)算比較迭代誤差迭代次數(shù)迭代得到的解x初始向量方程右端向量b|嚴(yán) tl雅克比迭 代法高斯一賽 德?tīng)柕ㄑ趴吮?迭代法高斯一賽德 爾 迭代法1,2,3.20丁l,2,3.20tio-31390.7247-1.3

22、445 10.6979.3898_0.7248_1.3445 10.6979.38971,2,3-20t1,2,3.2otio-51913"0.7247-13444 10.6979.3897'0.7247'1.3444 10.6979.38971,2,3.20丁l,2,3.20t10-725170.7247'1.3444 10.6979.38970.7247"1.3444 10.6979.3897【結(jié)果分析】由表格可知，僅迭代誤差要求不同時(shí)，解向量序列均是收斂的，即便給定的條件 相同，兩種方法得到的解向量也略有不同，如表格中紅色區(qū)域所示，說(shuō)明迭代精

23、度要求不高時(shí)，解略有偏差。對(duì)于相同條件，兩種迭代法收斂速度也不同。雅克 比迭代法比高斯一賽德?tīng)柕ǖ螖?shù)多，收斂速度慢，高斯一賽德?tīng)柕?收斂速度快。還可以看出，隨著迭代誤差要求提高，兩種迭代方法的迭代次數(shù)均 增加。分析：誤差條件變嚴(yán)格后，原來(lái)的迭代次數(shù)所對(duì)應(yīng)的解已無(wú)法滿足新的誤差條件, 故需要更多的迭代次數(shù)以使解滿足當(dāng)前的誤差條件?！纠碚摲治觥渴諗啃缘姆治鰞煞N迭代方法在求解線性方程組時(shí)，都能寫成下列形式:從而有進(jìn)而得到下列結(jié)果:k g吋序列忑收斂丁疋3qb的所有特征根的模小于:l即b的譜半輕小于1(1) 對(duì)于雅可比迭代法法,b=d_,(£ + /) o在matlab中運(yùn)行ei

24、g(d_inv* (l+u)語(yǔ)句，得到b=d-,(l + (7)的全部特征值為-0.4893, -0.4579, -0.4079, -0.3425,-0.2658, -0.1825, -0.0978, -0.0162, 0.0577, 0.1205, 0.1677, 0.1700, (11819,0.1914, 0.2088, 0.2106, 0.2298, 0.2317, 0.2445, 0.2454。其中絕對(duì)值的最大 的值為：0.4893<1,即b的譜半徑小于1,故對(duì)方程人只力進(jìn)行雅克比迭代是收斂 的。(2) 對(duì)于高斯一賽德?tīng)柕?，同樣可以求得b的全部特征值 絕對(duì)值最大的值為0.

25、1210<1,即b的譜半徑小于1,故對(duì)方程ax二b進(jìn)行高斯一賽 德?tīng)柕鞘諗康?。可?jiàn)，上述分析與之前的運(yùn)行結(jié)果是相一致的。收斂速度分析由于矩陣的譜半徑不超過(guò)它的任一種范數(shù)，所以若l|b| =q<l,則迭代公式收 斂，且有誤差估計(jì)式丄q可見(jiàn)m越小，序列怦號(hào)收斂越快。對(duì)于雅可比迭代法，b=£>t(厶+ /)。利用matlab的norm命令可以求得b的8.范數(shù)為0.5000o對(duì)于高斯一賽德?tīng)柕?，r=(e>-l)7u。同樣可以求得b的 g范數(shù)為0.2802o即高斯一賽德?tīng)柕▽?duì)應(yīng)的|b|=q值更小，故與之對(duì)應(yīng)的序列忖號(hào)收斂更快，從而對(duì)于一定的迭代誤差條件，高斯

26、一賽德?tīng)柕ū妊趴?比迭代法法的迭代次數(shù)要少?？梢?jiàn)，上述分析與之前的運(yùn)行結(jié)果是相一致的?！就卣箤?duì)比】本題采用的是迭代法求解線性方程組。也可以通過(guò)直接法求解線性方程組， 如高斯消元法，lu分解等。可以在matlab中利用x=ab或者利用遞推關(guān)系式進(jìn) 行求解。求出來(lái)的結(jié)果與用迭代法求出來(lái)的解略有出入。這是由求解過(guò)程中的誤 差所致?！镜趩?wèn)求解】取定方程組右端向量b二1,2,320丁,同吋取定初始向量*)二0,0,00丁， 并將迭代誤差設(shè)為為：|xu+,)-xu)l<10-5,將a的主對(duì)角線元素分別增長(zhǎng)為6, 12, 24, 48,非主對(duì)角元素不變，每次用雅可比迭代法進(jìn)行迭代計(jì)算，觀察收斂 速

27、度的變化，得到結(jié)果如下面的表6：表6： a主對(duì)角元素加倍時(shí)收斂速度的變化(b= 12,3.-2071, x®二qqg珂)a的主對(duì)角元素雅克比迭代次數(shù)雅克比迭代得到的解hb|lx»的值320'0.2031-0.44750.657bls.6m5j0.5000610r0.12770.26710.40022.6228l3.0157-l0.25001270.0725-0.14820.22231.4359 -1.5791-0.12502450038 科q.07840.11770.75310,81030.0625484rq. 020110.04040.0404 £0.3

28、&60 .4106-!0.03125【結(jié)果分析】由表6可以明顯看到，隨著矩陣a對(duì)角元素的增大，對(duì)于雅可比迭代法，與 之對(duì)應(yīng)的iibil = q的值越來(lái)越小。在b和亦®相同以及迭代誤差條件相同的前提 下，迭代次數(shù)越來(lái)越少，即收斂速度越來(lái)越快。分析：由前一問(wèn)對(duì)收斂速度的分析可得，由于矩陣的譜半徑不超過(guò)它的任一種范數(shù)，所以若ilbll =q<l,則迭代公式 收斂，且有誤差估計(jì)式可見(jiàn)l|b| = q越小，丿芋列討號(hào)收斂越快。對(duì)于雅可比迭代法，b=d_1(l + u)-利用matlab的norm命令可以求得當(dāng)a的主對(duì)角元素分別為3, 6, 12, 24, 48時(shí),相應(yīng)的b的乩范數(shù)

29、分別為為0.5000,0.2500,0.1250,0.0625,0.03125o即隨著a的主對(duì)角元索越來(lái)越人,相應(yīng)的|b| = q的值越來(lái)越小，從而序列仗(號(hào)收斂越快，故迭代次數(shù)越來(lái)越少(在相同的b和酬輿以及相同的誤差條件的前提下)。【本題小結(jié)】(1)對(duì)于本題中的方程組ax=b,選取不同的初始向量x何和不同的方程組右 端向量b,所得到的迭代向量序列均是收斂的。這是由兩種迭代法所對(duì)應(yīng)的b的譜半徑均小于1所決定的。(2)對(duì)于固定的*和b,以及相同的迭代誤差條件，兩種迭代方法的迭代次 數(shù)不同。高斯一賽德?tīng)柕▽?duì)應(yīng)的迭代次數(shù)要比雅可比迭代法對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù) 少。這是因?yàn)楦咚挂毁惖聽(tīng)柕▽?duì)應(yīng)的l|b|

30、= q值更小，故與乙對(duì)應(yīng)的序列依讓收斂更快。(3)對(duì)于同一個(gè)b,不同的亦-對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)不同，且他距離解x越遠(yuǎn)， 所需的迭代次數(shù)越多。但最后得到的解是-樣的。而對(duì)于不同的b,最后得到的 解一般是不同的。(3) 對(duì)于同一個(gè)相同b,給定不同的迭代誤差要求，最后得到的解可能 略有偏差。誤差精度越高，所需的迭代次數(shù)越多。誤差條件變嚴(yán)格后需要更多的 迭代次數(shù)以使解滿足當(dāng)前的誤差條件。(5) 通過(guò)數(shù)據(jù)表和圖像述可以觀察到，兩種迭代法的收斂情況類似。迭代前 兒步變化較大，后面均在小范圍內(nèi)變化，與真實(shí)解已十分接近，直到滿足相應(yīng)的 迭代誤差條件時(shí)停止迭代過(guò)程。(6) 隨著矩陣a對(duì)角元素的增大，在b和卅硯相同以及

31、迭代誤差條件相同的前 提下，迭代次數(shù)越來(lái)越少，即收斂速度越來(lái)越快。這是由與之對(duì)應(yīng)的iibil - q的 值越來(lái)越小所決定的?！绢}目2】(課本習(xí)題第五章第5題設(shè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門構(gòu)成，已知某年它們之間的投入產(chǎn) 岀關(guān)系、外部需求、初始投入等如表7所示。表7產(chǎn)出 投入、農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060070150初始投入3511075總投入100200150(1)如果今年對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50、150、100億元, 問(wèn)這部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？(2)如果三個(gè)部門的外部需求分別增加一個(gè)單位，問(wèn)

32、它們的總產(chǎn)出分別增加多 少？【第問(wèn)求解】由表7得到三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表如表8所示: 表8產(chǎn)岀 投入、農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)0. 150. 100.20制造業(yè)0. 300. 050. 30服務(wù)業(yè)0.200. 300設(shè)有比個(gè)部門，記一定吋期內(nèi)第'個(gè)部門的總產(chǎn)出為壬，其中對(duì)第丿個(gè)部門的 投入為戀，外部需求為,則xi =工兀了 +dj = 1,2,，兒j=i根據(jù)投入系數(shù)甸的定義，有xjj =ciijxj,i,j = ,2,.,n,即呦是第丿個(gè)部門的單位產(chǎn)出所需的第'個(gè)部門的投入。由此可得x(=工®" +dj =7=1記投入系數(shù)矩陣a =(%)”x”，產(chǎn)出向量"

33、;=3，兀2，心)二需求向量d = (d|,2,則上式可寫作x = ax-df或(i a)x = d.已知今年對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50億元，150億元，100 億元，求這三個(gè)部門的總產(chǎn)出：matlab程序】%作業(yè)題5_5腳本m文件源程序clear all;clc;a=0. 15 0. 1 0. 2;0. 3 0. 05 0. 3;0. 2 0. 3 0;% 設(shè)定系數(shù)矩陣ad=50 150 100' ;%給定外部需求b二eye(3)-a;x二bd%求解方程dx=inv (b)得到結(jié)果如下:x =139.2801, 267.6056, 208.1377713459 0.2

34、504 0.3443-dx= 0.5634 1.2676 0.49300.4382 0.4304 1.2167即三個(gè)部門的總產(chǎn)出應(yīng)分別為:139.280k 267.6056、208. 1377 (億元)。【第問(wèn)求解】當(dāng)三個(gè)部門的外部需求分別增加1個(gè)單位時(shí)，求它們總產(chǎn)出相應(yīng)增加的量：由(7-a)x = d可得x = (i-ayl d.表明總產(chǎn)出兀對(duì)外部需求是線性的，所以當(dāng)增加1個(gè)單位(記作加)時(shí)，兀 的增量為心=('_ a”于是從dx=inv(b)矩陣中便可得三個(gè)部門的外部需求分別增加一個(gè)單位時(shí)，各部 門總產(chǎn)出分別增加量。13459 0.2504 0.3443-dx= 0.5634 1.

35、2676 0.49300.4382 0.4304 1.2167結(jié)果如下：若農(nóng)業(yè)的外部需求增加1個(gè)單位，d =(l，0,0)j 心為(/-a尸的第1列ax二1.3459,0.5634,0.4382' ；即當(dāng)農(nóng)業(yè)的需求增加1個(gè)單位時(shí)，農(nóng)業(yè)、制造業(yè)和 服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加1. 3459, 0. 5634, 0. 4382單位。若制造業(yè)的外部需求增加1個(gè)單位，aj = (0,l,() 心為(/一人尸的第2列 心=0.2504,1.2676,0.4304?。患串?dāng)制造業(yè)的需求增加1個(gè)單位時(shí)，農(nóng)業(yè)、制造 業(yè)和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加0. 2504, 1. 2676, 0. 4304單位。若服務(wù)業(yè)

36、的外部需求增加1個(gè)單位，aj = (0,0,l)7 ,心為(/"尸的第3列 山二0.3443,0.4930,1.2167即當(dāng)服務(wù)業(yè)的需求增加1個(gè)單位時(shí)，農(nóng)業(yè)、制造 業(yè)和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加0. 3443, 0. 4930, 1. 2167單位?！颈绢}小結(jié)】本題是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模，模型較簡(jiǎn)單，問(wèn)題最后轉(zhuǎn)化為線性方程組求解問(wèn) 題。因?yàn)榉匠滩⒉粡?fù)雜，我采用直接法求解。很快得到了答案?！绢}目3】(課本習(xí)題第五章第7題)輸電網(wǎng)絡(luò)：一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡(jiǎn)化為圖5. 5所示電路，其中r1, r2,，rn 表示負(fù)載電阻，rl, r2,，rn表示線路內(nèi)阻，tl, t2, tn表示負(fù)載上的 電流。

37、設(shè)電源電壓為v。(1) 列出求各負(fù)載電流ii, 12,，in的方程；(2) 設(shè) r1 二r2二二rn二r, rl=r2=-=rn=r,在一 1, r二6, v二 18, v二 18, n二 10 的情 況下求ii, 12, in及總電流10。【第(1)問(wèn)求解】問(wèn)題分析及模型建立：通過(guò)對(duì)以上電路的分析可得，流過(guò)電阻1'i的電流h=【i+ii+】+tn。對(duì)于每一個(gè) 由rpri+i,ri+1組成的閉合回路，根據(jù)基爾霍夫回路電壓法，有 叫出+站申+只+嚴(yán)。對(duì)于由電源組成的回路，有-v+i1r1+ir(r1=0o 因此，可列方程如下：i1r1+(i14-i2 + .in)r1-v = 0ir +i2r2 +(昭 +i3 + in)2 =0< -i2r2 + i3r3 4-(i3 +14 4- in)r3 =0+ 1尺+也=0整理后可得,r1(1 +兒+【2 + in=v ri-rii】+(1)i9 +i3 +tn=o r2r2【2+(1兒+【4 +【n =0 r3r3rr亠+(1+兒=0 匚匚變成矩陣的形式，即ax = b,其中,4r2a=巴nmmi.v12r1is0b =900iln最后列出求各負(fù)載屯流tl, t2, tn的方程如下:rl1 1 i l+r? 1 【2r2r2i3r3 rn-11 十 ©irnrn ln0000【第問(wèn)