2020屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第11章 第5節(jié) 概率與統(tǒng)計 大題增分策略 第2課時 高考命題“三交匯”(高考怎么

1、2 2 25 25 20211 1 1115 25 20 25 5 20222020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義第二課時 高考命題“三交匯”(高考怎么考)考法一 概率模塊內(nèi)知識交匯命題典例 高考改革新方案，不分文理科，高考成績實行“ 33”的構(gòu)成模式，第一個 “3” 是語文、數(shù)學(xué)、外語，每門滿分 150 分，第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、 化學(xué)、生物 6 個科目中自主選擇其中 3 個科目參加等級性考試，每門滿分 100 分，高考錄取 成績卷面總分滿分 750 分.為了調(diào)查學(xué)生對物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué) 生在物理、化學(xué)、生物三個科目中至少選考一科的學(xué)生

2、”記作學(xué)生群體 S，從學(xué)生群體 S 中 隨機(jī)抽取了 50 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如下表：選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)人數(shù)15225320(1) 從所調(diào)查的 50 名學(xué)生中任選 2 名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概 率；(2) 從所調(diào)查的 50 名學(xué)生中任選 2 名，記 X 表示這 2 名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目 數(shù)量之差的絕對值，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3) 將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體 S 中隨機(jī)抽取 4 名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、 生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作 Y，求事件“Y2”的概率.解(1)記“所選取的 2

3、名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量相等”為事件 A，C C C 20則 P(A) ，C 4950所以他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率為1P(A)29.49(2)由題意可知 X 的可能取值分別為 0,1,2.20由(1)知，P(X0) ，49C C C C 25 C C 4 又 P(X1) ，P(X2) ，C 49 C 4950 50從而 X 的分布列為XP0204912549244920 25 4 33E(X)0× 1× 2× .49 49 49 49(3)所調(diào)查的 50 名學(xué)生中物理、化學(xué)、生物選考兩科目的學(xué)生有 25 名，相應(yīng)的頻率為 p 25 1

4、 ，50 2- 1 -æöè ø21 C1 Cæ1ö æ 1ö æ1ö æ 1 ö æ1ö 11222 3 34 4è ø è ø è ø è ø è ø4 22 2 2 2 161 140 6022020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義1由題意知，YB 4， ，所以事件“Y2”的概率為 P(Y2)C .4 4解題技法高考常將求概率與等可能事件、互斥事件、

5、相互獨立事件、超幾何分布、二項分布等交 匯在一起進(jìn)行考查，因此在解答此類題時，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問 題所屬的事件類型是關(guān)鍵.特別是要注意挖掘題目中的隱含條件.過關(guān)訓(xùn)練(2018· 聊城模擬)2016 年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計顯示，微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破 9.27 億.微信 用戶平均年齡只有 26 歲，97.7%的用戶在 50 歲以下，86.2%的用戶在 1836 歲之間.為調(diào)查 大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)在從北京大學(xué)生中隨機(jī)抽取 100 位同 學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：微信群數(shù)量 0 至 5 個6 至 10 個11 至 15 個16 至 20

6、 個20 個以上合計頻數(shù)03030a5100頻率00.30.3cb1(1) 求 a，b，c 的值；(2) 若從 100 位同學(xué)中隨機(jī)抽取 2 人，求這 2 人中恰有 1 人微信群個數(shù)超過 15 個的概率； (3)以這 100 個人的樣本數(shù)據(jù)估計北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取 3 人，記 X 表示抽到的是微信群個數(shù)超過 15 個的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E(X).解：(1)由已知得 03030a5100，解得 a35，b5 350.05，c 0.35. 100 100C C 16(2)記“這 2 人中恰有 1 人微信群個數(shù)超過 15 個”為事件 A，則 P(

7、A) ，C 3310016所以這 2 人中恰有 1 人微信群個數(shù)超過 15 個的概率為 .332(3)依題意可知，微信群個數(shù)超過 15 個的概率為 P .5X 的所有可能取值為 0,1,2,3.- 2 -æ 2ö 273è ø5 1251 ，P(X1)C1 ，P(X2)C · .æèE() öø2020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義則 P(X0) 1 ， 1æ2ö1æ 2ö2 543è5ø è 5ø 125 2æ

8、2ö2 æ 2ö1 363è5ø è 5ø 125P(X3)æ2ö3 8 è5ø 125所以 X 的分布列為XP02712515412523612538125數(shù)學(xué)期望 E(X)0×27 54 36 8 6 1× 2× 3× .125 125 125 125 5考法二 概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例的交匯命題典例 某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校 學(xué) 生 進(jìn) 行 了 一 次 安 全 意 識 測 試 ， 根 據(jù) 測 試 成 績 評 定 “ 合 格”

9、“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格” 記 5 分，“不合格”記 0 分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計 結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如圖.等級不合格合格得分頻數(shù)20,40)640,60)a60,80)2480,100b(1) 求 a，b，c 的值；(2) 用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取 10 人進(jìn)行 座談.現(xiàn)再從這 10 人中任選 4 人，記所選 4 人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望 E()；(3)某評估機(jī)構(gòu)以指標(biāo) M M，其中D()表示的方差 來評估該校安全教育活動的成 D()效.若 M0.7，則認(rèn)定教育活動是有效的；否則認(rèn)定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整

10、安全教育方案.在(2) 的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？解(1)由題知，樣本容量為660，b60×(0.01×20)12，a60 612 0.005×20182418，c 0.015.60×20(2)在評定等級為 “合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取 10 人進(jìn)行座談，其中 “不合- 3 -431221 344 64 64 6444446422222æ2ö 2 æ2ö 1 1632 2è øè ø3 3 3 273 32020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義24格

11、”的學(xué)生人數(shù)為 ×104，“合格”的學(xué)生人數(shù)為 1046.60由題意可得的所有可能取值為 0,5,10,15,20.C 1 C C 24 C C 90 C C P(0) ，P(5) ，P(10) ，P(15) C 210 C 210 C 210 C 10 10 10 1080 C 15，P(20) .210 C 21010所以的分布列為P01210524210109021015802102015210E()05×24 90 80 1510× 15× 20× 12. 210 210 210 210(3)D( ) (0 12) ×1 24

12、 90 80 (5 12) × (10 12) × (15 12) × (20 210 210 210 21012) ×15 E() 1216.所以 M 0.750.7，則認(rèn)定教育活動是有效的 210 D() 16在(2)的條件下，可知該校不用調(diào)整安全教育方案.解題技法(1) 概率常與隨機(jī)抽樣、雙圖(頻率分布直方圖、莖葉圖)、統(tǒng)計、獨立性檢驗、離散型隨機(jī) 變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等綜合，注意頻率分布直方圖的縱軸不表示頻率.(2) 當(dāng)題目中出現(xiàn)“在條件(前提)下”等字眼時，所求概率一般為條件概率；若無上述 字眼，但已發(fā)生的事件影響了所求事件的概率，也認(rèn)為是條

13、件概率.條件概率的公式需記牢， 易混淆事件 A，B.也有不用條件概率的公式，根據(jù)實際意義求概率的，如“甲、乙比賽時，甲2每局獲勝的概率皆為 ，且各局比賽勝負(fù)互不影響，比賽采用五局三勝制.已知第一局乙獲勝，3求甲獲勝的概率.”易得甲獲勝的概率 P ×C × .過關(guān)訓(xùn)練(2019· 湘東五校聯(lián)考)已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量 x，y 之間的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：xy2346678101012- 4 -nn2525552222020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在圖中繪制散點圖； (2) 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y

14、bxa ，并估計當(dāng) x20 時 y 的值；(3) 將表格中的數(shù)據(jù)看作 5 個點的坐標(biāo)，則從這 5 個點中隨機(jī)抽取 3 個點，記落在直線 2x y40 右下方的點的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.åx y n x yi i 參考公式：b i1 ，a y b x .åx n x ii1解：(1)散點圖如圖所示.21(2)依題意得， x ×(246810)6，51y ×(3671012)7.6，5åx 4163664100220，ii1åx y 6244280120272， i ii1b åx y 5 x y i ii1å

15、x 5 x i2725×6×7.61.1， 2205×6i1- 5 -2 13122 333332020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義所以 a 7.61.1×61，所以線性回歸方程為 y 1.1x1，故當(dāng) x20 時，y 23.(3)可以判斷，落在直線 2xy40 右下方的點的坐標(biāo)滿足 2xy40，所以符合條件的點的坐標(biāo)為(6,7)，(8,10)，(10,12)，故的所有可能取值為 1,2,3.P(1)C C2 3C53 C C ，P(2)10 C56 3 C 1 ，P(3) ， 10 5 C 105故的分布列為P131023531103 3 1 9

16、E()1× 2× 3× .10 5 10 5考法三 概率與函數(shù)、方程、不等式的交匯命題典例 為了引導(dǎo)居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅 為單位(一套住宅為一戶).階梯級別 月用電范圍/度第一階梯(0,210第二階梯(210,400第三階梯(400，)某市隨機(jī)抽取 10 戶同一個月的用電情況，得到統(tǒng)計表如下：居民用電戶編號 用電量/度15328639041245132620072158225930010410(1) 若規(guī)定第一階梯的電價為每度 0.5 元，第二階梯超出第一階梯的部分每度 0.6 元，第三 階梯超出第二階梯的部分每度 0.8

17、 元，試計算 A 居民用電戶用電 410 度時應(yīng)交電費(fèi)多少元？(2) 現(xiàn)要在這 10 戶家庭中任意抽取 3 戶，求抽到用電量為第二階梯的戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué) 期望；(3) 以表中抽到的 10 戶作為樣本估計全市的居民用電，現(xiàn)從全市中抽取 10 戶，若抽到 k 戶的用電量為第一階梯的可能性最大，求 k 的值.解(1)210×0.5(400210)×0.6(410400)×0.8227(元).(2)設(shè)抽到用電量為第二階梯的戶數(shù)為.由題意知，用電量為第二階梯的用戶有 3 戶，則 的所有可能取值為 0,1,2,3，- 6 -32177 3331 237 3333æ

18、öèø5k3 2æ ö æ öè ø èøìæ ö æ öæ ö æ ökk 10 k k 1 k 1 10 (k 1) èø èøèø èø55551010îæ ö æ öæ ö æ ökk 10k k1 k1 10(k1)&#

19、232;ø èø èø èø5555*5 5î2233 é3 ö3ëø533 332020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義P(0)P(2)C 7 C C 21 ，P(1) ，C 24 C 4010 10C C 7 C 1 ，P(3) .C 40 C 12010 10故的分布列為P072412140274031120所以 E()0×7 21 7 1 91× 2× 3× . 24 40 40 120 103(3)由題意知，從全市中抽取 1

20、0 戶，用電量為第一階梯的戶數(shù) X 滿足 XB 10， ，可知P(Xk)C10k 10k5 5(k0,1,2,3，10).3 2 3 2C C ，由í3 2 3 2C C ，10 10解得28 33k ，kN .所以當(dāng) k6 時，概率最大，即抽到 6 戶的用電量為第一階梯的可能性最大.變式發(fā)散1.(變設(shè)問)其他條件不變，求居民一個月應(yīng)交電費(fèi)關(guān)于用電量 n(nN)的函數(shù)解析式 f(n). 解：因為當(dāng) 0n210 時，f(n)0.5n；當(dāng) 210n400 時，f(n)210×0.5(n210)×0.60.6n21；當(dāng) n400 時，f(n)210×0.5(4

21、00210)×0.6(n400)×0.80.8n101，所以 f(n)ì0.5n，0n210，ïí0.6n21，210n400，ï0.8n101，n400.2.設(shè)甲投球命中的概率為 p.(1)考查不等式如果甲一共投球 4 次，甲恰好投中 2 次的概率不大于其恰好投中 3 次的概 率，試求 p 的取值范圍.解：由 C4· p2·(1p)C4· p·(1p)，0p1，解得 p1，故 p 的取值范圍為 ，1 .51(2)考查基本不等式如果甲一共投球 6 次，那么甲恰好命中 3 次的概率可能是 嗎？ 解

22、：不可能.P(X3)C · p ·(1p) 6- 7 -202 23 2,2æ 2ö æ2 ö 23 23 2è ø è ø33éæp1pö ù2 3ëè 2 ø û5 1 .16 32020 版高考理科數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)講義(3)與導(dǎo)數(shù)交匯記甲 3 次投球中恰有 2 次投中的概率為 q，則當(dāng) p 取何值時，q 最大？ 解：由題意知 qC · p ·(1p)3p 3p 0p1，則 q9p 6p3p(3p2)，3易知在 0， 上 q3p 3p 為增函數(shù)，在 ，1 上 q3p 3p 為減函數(shù)，故當(dāng) p 時，3q 取得最大值.過關(guān)訓(xùn)練經(jīng)銷商經(jīng)銷某