計(jì)算方法報(bào)告 數(shù)值分析結(jié)課論文

1、河北聯(lián)合大學(xué)2012級(jí)研究生 學(xué)院：建筑工程學(xué)院 專業(yè)： 建筑與土木工程 學(xué)號(hào)： 姓名： 成績(jī)： 數(shù)值積分及應(yīng)用研究第一章 對(duì)象描述一、 數(shù)值積分及應(yīng)用描述數(shù)值積分的多種問(wèn)題及其在現(xiàn)代工程中的廣泛應(yīng)用的探討是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題，數(shù)值積分是數(shù)學(xué)上的重要課題之一，是數(shù)值分析中的重要內(nèi)容之一，也是數(shù)學(xué)的研究重點(diǎn)。并在實(shí)際問(wèn)題及應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。常用于科學(xué)與工程的計(jì)算中，如涉及到積分方程，工程計(jì)算，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，金融數(shù)學(xué)等應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域都有著相當(dāng)重要的應(yīng)用，所以研究數(shù)值積分問(wèn)題有很重要的意義。研究方法有插值法和抽樣插值法等。當(dāng)然大家都知道計(jì)算積分可以借助原函數(shù)和查找積分表，但是，用這些方法只能解

2、決很狹隘的一類積分，而且在計(jì)算的過(guò)程中，肯定會(huì)產(chǎn)生誤差，我們要想法子使得誤差盡可能的小。因此，數(shù)值積分的公式應(yīng)滿足：計(jì)算簡(jiǎn)單，誤差小，代數(shù)精度高等。近些年來(lái)，有關(guān)數(shù)值積分的研究已經(jīng)成為一個(gè)很活躍的研究領(lǐng)域，所以研究數(shù)值積分有很重要的意義。設(shè)是閉區(qū)間上某一給定的可積函數(shù)，現(xiàn)在要計(jì)算定積分，我們可以借助原函數(shù)，或借助函數(shù)逼近的方法來(lái)計(jì)算，對(duì)于不熟悉的我們也可以借助參考積分表。但都有一定的局限性，由于許多函數(shù)的無(wú)定積分無(wú)法用簡(jiǎn)單的函數(shù)表達(dá)出來(lái)，如一些離散點(diǎn)上的函數(shù)。在微積分理論中，我們知道了牛頓萊布尼茨（Newton_Leibniz）公式： 式（1.1）其中在閉區(qū)間上連續(xù)，是被積函數(shù)的某一個(gè)原函數(shù)，

3、但是對(duì)于很多實(shí)際問(wèn)題都無(wú)能為力。主要原因：1. 被積函數(shù)的原函數(shù)理論上存在，但無(wú)法用簡(jiǎn)單函數(shù)表示出來(lái)，即無(wú)法用與上式計(jì)算，例如：等初等函數(shù)；2. 被積函數(shù)無(wú)法詳盡描述，即沒(méi)有可用的計(jì)算表達(dá)式，也就是如是在一些離散點(diǎn)上的函數(shù)，就無(wú)法顯示微分方程的解。3. 被積函數(shù)的原函數(shù),表示相當(dāng)復(fù)雜，求值困難。 因此，需要研究計(jì)算定積分的近似方法，即數(shù)值積分法。當(dāng)然，可積函數(shù)的種類是極其多的，那么我們應(yīng)該考慮滿足：計(jì)算簡(jiǎn)單，誤差小，代數(shù)精度高，故此，我們常尋找新的方法來(lái)修正已知的求積公式。 當(dāng)?shù)那闆r使得無(wú)法精確計(jì)算時(shí)，若能已知在部分點(diǎn)上的函數(shù)值，利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的差值知識(shí)，可以構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)逼近被積函數(shù)，而多項(xiàng)

4、式為被積函數(shù)，在區(qū)間上的定積分是容易計(jì)算的，這樣得到計(jì)算定積分的一種數(shù)值積分方法，即 式（1.2）于是，就根據(jù)這一想法構(gòu)造了計(jì)算積分的各種近似計(jì)算公式。二、 數(shù)值積分及應(yīng)用的相關(guān)概念1. 求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)，權(quán)等概念 若求積公式 式（1.3）式中稱為求積節(jié)點(diǎn)，稱為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán)。 2. 求積公式的代數(shù)精度的概念若求積公式（1.3）中，若對(duì)任意次數(shù)不高于次的多項(xiàng)式均精確成立，而對(duì)某個(gè)次的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度（Algebraic Accuracy）。3. 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性在求積公式（1.3）中，若 ，其中，則稱求積公式（1.3）是收斂的。 對(duì)任給，若，

5、就有 式（1.4）成立，則稱求積極分公式（1.3）是穩(wěn)定的。4. 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式將積分區(qū)間等分，步長(zhǎng) ，取等距節(jié)點(diǎn)則柯特斯（Cotes）系數(shù) 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式為 式（1.5）又被稱為N-C公式。下面給出幾種特殊的N-C求積公式。（1）梯形求積公式：當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的求積公式 式（1.6）稱為梯形求積公式。（2）辛普森（Simpson）公式當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的求積公式為 式（1.7）（3）柯特斯（Cotes）公式當(dāng)時(shí)，令，求積公式 式（1.8）稱為牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 5. 復(fù)化梯形積分若將積分區(qū)間等分，步長(zhǎng)，節(jié)點(diǎn)在每個(gè)小

6、區(qū)間上用梯形公式 式（1.9）并求和得到的公式 式（1.10）稱為復(fù)化梯形公式。6. 復(fù)化辛普森（Simpson）積分若將積分區(qū)間分成等分，步長(zhǎng)，節(jié)點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上使用Simpson公式則有其中，對(duì)其求和可得得到的公式 式（1.11） 則稱為復(fù)化Simpson公式。7. 龍貝格(Romberg)求積公式Romberg積分是一種最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列，經(jīng)Richardson 外推算法得到的求積公式。下面對(duì)改公式進(jìn)行詳細(xì)的介紹：對(duì)積分，使用復(fù)化梯形公式并記 再根據(jù)Euler-Maclaurin公式，可得取其中的，由Richardson 外推公式得設(shè)，則，且有如此重復(fù)Richa

7、rdson公式可得若記，則上式可記為 式（1.12）此式即為龍貝格(Romberg)求積公式。8. 高斯(Gauss)求積公式Gauss型求積公式是指具有次代數(shù)精度的形如插值型求積公式，其節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)。下面介紹幾種常用的Gauss型求積公式：（1）高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）求積公式 式（1.13）其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式 的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求積公式 式（1.14）其Gauss點(diǎn)及求積系數(shù)為 ， （3）高斯-拉蓋爾（Gauss - Laguerre ）求積公式 式（1.15）其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)a

8、guerre多項(xiàng)式 的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 （4）高斯-埃爾米特（Gauss Hermite）求積公式 式（1.16） 其Gauss點(diǎn)為Hermite多項(xiàng) 的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 三、 數(shù)值積分及應(yīng)用的相關(guān)理論定理1： 形如（1.3）式的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的。定理2： 若求積公式（1.3）中系數(shù)，則此求積公式是穩(wěn)定的。定理3： 當(dāng)階為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式（1.5）至少有次代數(shù)精度。定理4： 設(shè)，則有 ， 式（1.17）其中系數(shù)與無(wú)關(guān)。定理5： 插值型求積公式（1.3）的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式 與任何次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式帶權(quán)正交，即 式（

9、1.18）定理6： 高斯求積公式（1.3）的求積系數(shù)全是正的。定理7： 設(shè)，則高斯求積公式（1.3）是收斂的，即 四、 數(shù)值積分及應(yīng)用國(guó)外研究進(jìn)展 近幾年來(lái), 數(shù)值積分的文獻(xiàn)有明顯增多的趨勢(shì).例如,從1975至1979年間,僅美國(guó)的數(shù)學(xué)評(píng)論(Mathematical Revicws)上評(píng)述過(guò)的文章,每年都在百篇以上,其中還不包括有關(guān)Monte C arlo 方法和數(shù)值積分變換等方面的文獻(xiàn)。只須對(duì)文獻(xiàn)狀況作一番粗略分析, 則不難發(fā)現(xiàn)四個(gè)特點(diǎn),即:研究方法的多樣性、研究對(duì)象的特殊性、研究問(wèn)題的具體性。今逐點(diǎn)概述如下1.研究方法的多樣性S.L.Sobolev等人認(rèn)為近代數(shù)值積分研究與泛函分析、代數(shù)學(xué)

10、、概率統(tǒng)計(jì)理論、拓樸學(xué)等許多數(shù)學(xué)分支均有著密切的內(nèi)在聯(lián)系.這一看法無(wú)疑是符合實(shí)際情況的。著名的數(shù)論方法(主要用于處理多元周期函數(shù)的數(shù)值積分)是以解析數(shù)論與代數(shù)數(shù)論中的一些研究成果為依據(jù)發(fā)展起來(lái)的。多年來(lái), Sobolev 學(xué)派一直采用泛函分析工具研究高維數(shù)值積分問(wèn)題,并獲得了豐富的成果. 他們利用泛函分析方法建立了各種函數(shù)空間求積過(guò)程收斂性的理論.此外,他們也重視在各種函數(shù)空間(針對(duì)特定的函數(shù)類)討論優(yōu)化求積公式的構(gòu)造問(wèn)題. 對(duì)此感興趣的讀者, 建議去查閱近幾年蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)文摘雜志。構(gòu)造高維求積公式的代數(shù)方法是大家熟悉的. 它是以追求提高“代數(shù)精確度” 為目標(biāo)的一種方法, 所使用的工具主要是矩陣

11、代數(shù)、線性變換和多元直交多項(xiàng)式理論.20多年以來(lái), 針對(duì)各種特殊區(qū)域已經(jīng)構(gòu)造了大量的具有各種代數(shù)精確度的求積公式.在這一領(lǐng)域作出貢獻(xiàn)的學(xué)者主要有A.H.Stround, P.C.Hammer, P.M.Hirsch, J.N.Lynes等人。上述情況足以說(shuō)明,在近代數(shù)值積分法的研究中,人們所使用的數(shù)學(xué)方法是多種多樣的。2. 研究對(duì)象的特殊性由于應(yīng)用上的需要,決定了近代數(shù)值積分方法研究中的另一特點(diǎn)是,有關(guān)特殊類型問(wèn)題的研究十分明顯地增多了.特別是,關(guān)于奇異積分、振蕩積分、被積函數(shù)的值不能準(zhǔn)確地確定的積分應(yīng)該如何近似估值等間題的研究,文獻(xiàn)越來(lái)越多。此外,討論Laplace反變換數(shù)值計(jì)算的文獻(xiàn)也不少

12、。3.研究對(duì)象的具體性近幾年來(lái), 根據(jù)物理學(xué)與其它技術(shù)科學(xué)部門的實(shí)際需要,許多作者設(shè)計(jì)了一些具體的求積公式。例如,H.G.Kaper曾研究了下列積分 和 在附近的漸近性質(zhì)并得到了和的漸近展開(kāi)式, 這里取正實(shí)數(shù),是非負(fù)整數(shù),是復(fù)變量且.這兩個(gè)積分在中子流動(dòng)方程和中子幅射遷移方程中扮演著重要的角色.又如許多有關(guān)振蕩函數(shù)積分近似估值法的研究多半是針對(duì)物理學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的具體積分進(jìn)行的.在M.Blakemore, G.A.Evans和J.Hyslop的文章中，曾對(duì)已有的許多方法進(jìn)行了比較，修正和推薦。A.R.Didonato對(duì)大的和實(shí)數(shù)給出了下列逼近式 ，其中 .特別，時(shí)上式為精確等式。曾闡明各種數(shù)值積

13、分方法都有它自己的特點(diǎn),各有其一定的適用范圍,因此要想在數(shù)值積分法中找到一個(gè)適用于各種場(chǎng)合的“萬(wàn)能方法”是不可能的. 這一特征現(xiàn)今已越來(lái)越明顯地表現(xiàn)出來(lái)了。五、 數(shù)值積分及應(yīng)用方法有多少？1.牛頓萊布尼茨積分法2.牛頓柯特斯積分法3.辛普森積分公式4.復(fù)合梯形計(jì)算法5.復(fù)合辛普森求積方法6.龍貝格求積計(jì)算法7.高斯求積計(jì)算法第二章 算法研究一、數(shù)值積分種類1.數(shù)值積分的方法1.1 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式將積分區(qū)間等分，步長(zhǎng) ，取等距節(jié)點(diǎn)則柯特斯（Cotes）系數(shù) 牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式為 式（2.1）又被稱為N-C公式。下面給出幾種特殊的N-C求

14、積公式。（1）梯形求積公式：當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的求積公式 式（2.2）稱為梯形求積公式。（2）辛普森（Simpson）公式當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的求積公式為 式（2.3）（3）柯特斯（Cotes）公式當(dāng)時(shí)，令，求積公式 式(2.4)稱為牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式。 1.2 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式包括復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森求積公式。（1）復(fù)合梯形公式若將積分區(qū)間等分，步長(zhǎng)，節(jié)點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間上用梯形公式并求和得到的公式 式（2.5）稱為復(fù)合梯形公式。（2） 復(fù)合辛普森（Simpson）求積公式若將積分區(qū)間分成等分，步長(zhǎng)，節(jié)點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上使用Simpson公式則有其中，對(duì)其求和可得得到的公式

15、式（2.6）則稱為復(fù)合Simpson求積公式。1.3 龍貝格(Romberg)求積公式Romberg積分是一種最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列，經(jīng)Richardson 外推算法得到的求積公式。下面對(duì)改公式進(jìn)行詳細(xì)的介紹：對(duì)積分，使用復(fù)化梯形公式并記 再根據(jù)Euler-Maclaurin公式，可得取其中的，由Richardson 外推公式得設(shè)，則，且有如此重復(fù)Richardson公式可得若記，則上式可記為 式（2.7）此式即為龍貝格(Romberg)求積公式。1.4 自適應(yīng)積分方法設(shè)給定精度要求e >0，計(jì)算積分的近似值。先取步長(zhǎng)h=b-a，應(yīng)用辛普森公式有，=（a,b）,其中若

16、把區(qū)間a,b對(duì)分，步長(zhǎng)h2=h/2=(b-a)/2，在每個(gè)小區(qū)間上用辛普森公式，則得其中實(shí)際上上式即為與(5.1)式比較，若f(4)(x)在區(qū)間 (a,b)上變化不大，可假定f(4)() » f(4)(x) ，從而可得與原式比較，則得這里S1=S(a,b)，S2=S2(a,b). 如果有則可期望得到此時(shí)可取S2(a,b)作為I(f)的近似，則可達(dá)到給定的誤差精度e ，若不等式(5.3)不成立，則應(yīng)分別對(duì)子區(qū)間a,(a+b)/2 及(a+b)/2, b再用辛普森公式，此時(shí)步長(zhǎng)h3=(1/2)h2，得到S3(a, (a+b)/2)及S3(a+b)/2, b). 只要分別考察下面兩個(gè)不等式

17、是否成立. 對(duì)滿足要求的區(qū)間不再細(xì)分，對(duì)不滿足要求的還要繼續(xù)上述過(guò)程，直到滿足要求為止，最后還要應(yīng)用龍貝格法則求出相應(yīng)區(qū)間的積分近似值. 為了更直觀地說(shuō)明自適應(yīng)積分法的計(jì)算過(guò)程及方法為何能節(jié)省計(jì)算量。1.5 高斯(Gauss)求積公式Gauss型求積公式是指具有次代數(shù)精度的形如插值型求積公式，其節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)。下面介紹幾種常用的Gauss型求積公式：（1）高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）求積公式其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式 式（2.8）的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求積公式 其Gauss點(diǎn)及求積系數(shù)為 ， 式（2.9

18、） （3）高斯-拉蓋爾（Gauss - Laguerre ）求積公式其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)aguerre多項(xiàng)式 式（2.10）的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 （4）高斯-埃爾米特（Gauss Hermite）求積公式其Gauss點(diǎn)為Hermite多項(xiàng)式 式（2.11）的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 2. 經(jīng)典的數(shù)值積分方法積分基本定理 牛頓萊布尼茨公式 積分中值定理 二、數(shù)值積分方法比較牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式中，是精確值，而是由實(shí)驗(yàn)或觀察得到的，本身有誤差。當(dāng) 時(shí)，牛頓-科特斯公式是數(shù)值穩(wěn)定的，當(dāng)n>8時(shí)牛頓-科特斯公式是數(shù)值不穩(wěn)定的。所以牛頓-科特斯公式代數(shù)精度高但是數(shù)值不一定穩(wěn)定。復(fù)合

19、求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時(shí)統(tǒng)一將區(qū)間等分用復(fù)合求積公式計(jì)算積分工作量大。復(fù)合求積公式不能用代數(shù)精度來(lái)決定其優(yōu)劣。而是用收斂性來(lái)刻畫(huà)其收斂性的。中復(fù)合梯形公式的收斂階是2，且當(dāng)時(shí)收斂階大于2；復(fù)合辛普森公式的收斂階是4，且當(dāng)時(shí)，收斂階大于4。龍貝格方法數(shù)值穩(wěn)定，且對(duì)任意連續(xù)函數(shù)，都能保證數(shù)值積分收斂到準(zhǔn)確值，且Romberg算法程序簡(jiǎn)單 ，當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密提高積分近似程度時(shí)，前面的計(jì)算結(jié)果可以為后面的計(jì)算使用，因此，對(duì)減少計(jì)算量很有好處。并有比較簡(jiǎn)單的誤差估計(jì)方法。當(dāng)f(x)求值不太復(fù)雜時(shí)，該方法是使用的

20、方法。自適應(yīng)積分方法通常適用于求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩。高斯求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的，且對(duì)于有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，高斯求積公式的值隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加而收斂到準(zhǔn)確積分值。而且計(jì)算量小，代數(shù)精度高。雖然對(duì)任意的a,b以及a,b上的權(quán)函數(shù)都能構(gòu)造正交多項(xiàng)式，并且也能構(gòu)造高斯求積公式，但不能象那些特殊多項(xiàng)式一樣，歸結(jié)成一個(gè)明確的表達(dá)式，也沒(méi)有明確的規(guī)律。它的節(jié)點(diǎn)是不規(guī)則的，所以當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，前面的計(jì)算的函數(shù)值不能被后面利用。計(jì)算過(guò)程比較麻煩，但精度高，特別是對(duì)計(jì)算無(wú)窮區(qū)間上的積分和廣義積分，則是其他方法所不能比的。第三章 算法應(yīng)用一、 數(shù)值積分及應(yīng)用方法怎么用

21、？（程序設(shè)計(jì)）？1. 一般程序設(shè)計(jì)2. 舉例驗(yàn)證目的：回答*方法怎么用的問(wèn)題？ 二、*方法用哪好？ 1. *方法在你所學(xué)專業(yè)的應(yīng)用 2. *方法在你了解的其他領(lǐng)域的應(yīng)用第四章 算法展望我們所學(xué)的計(jì)算方法有：1.牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）公式 （1）梯形求積公式：（2）辛普森（Simpson）公式 （3）柯特斯（Cotes）公式牛頓-柯特斯（Newton-Cotes）求積公式中，是精確值，而是由實(shí)驗(yàn)或觀察得到的，本身有誤差。當(dāng) 時(shí)，牛頓-科特斯公式是數(shù)值穩(wěn)定的，當(dāng)n>8時(shí)牛頓-科特斯公式是數(shù)值不穩(wěn)定的。所以牛頓-科特斯公式代數(shù)精度高但是數(shù)值不一定穩(wěn)定。2. 復(fù)合求積公式復(fù)合求

22、積公式包括復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森求積公式。（1）復(fù)合梯形公式 稱為復(fù)合梯形公式。（2） 復(fù)合辛普森（Simpson）求積公式 復(fù)合求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時(shí)統(tǒng)一將區(qū)間等分用復(fù)合求積公式計(jì)算積分工作量大。復(fù)合求積公式不能用代數(shù)精度來(lái)決定其優(yōu)劣。而是用收斂性來(lái)刻畫(huà)其收斂性的。中復(fù)合梯形公式的收斂階是2，且當(dāng)時(shí)收斂階大于2；復(fù)合辛普森公式的收斂階是4，且當(dāng)時(shí)，收斂階大于4。3. 龍貝格(Romberg)求積公式 龍貝格方法數(shù)值穩(wěn)定，且對(duì)任意連續(xù)函數(shù)，都能保證數(shù)值積分收斂到準(zhǔn)確值，且Romberg算法程

23、序簡(jiǎn)單 ，當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密提高積分近似程度時(shí)，前面的計(jì)算結(jié)果可以為后面的計(jì)算使用，因此，對(duì)減少計(jì)算量很有好處。并有比較簡(jiǎn)單的誤差估計(jì)方法。當(dāng)f(x)求值不太復(fù)雜時(shí)，該方法是使用的方法。4.自適應(yīng)積分方法復(fù)合求積方法通常適用于被積函數(shù)變化不太大的積分，如果在求積區(qū)間中被積函數(shù)變化很大，有的部分函數(shù)值變化劇烈，另一部分變化平緩，這時(shí)統(tǒng)一將區(qū)間等分用復(fù)合求積公式計(jì)算積分工作量大。復(fù)合求積公式不能用代數(shù)精度來(lái)決定其優(yōu)劣。而是用收斂性來(lái)刻畫(huà)其收斂性的。中復(fù)合梯形公式的收斂階是2，且當(dāng)時(shí)收斂階大于2；復(fù)合辛普森公式的收斂階是4，且當(dāng)時(shí)，收斂階大于4。5. 高斯(Gauss)求積公式（1）高斯-勒讓德（Gauss

24、-Legendre）求積公式其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式 （2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求積公式 其Gauss點(diǎn)及求積系數(shù)為 ， （3）高斯-拉蓋爾（Gauss - Laguerre ）求積公式其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)aguerre多項(xiàng)式 的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 （4）高斯-埃爾米特（Gauss Hermite）求積公式其Gauss點(diǎn)為Hermite多項(xiàng)式 式（2.11）的零點(diǎn)，求積系數(shù)為 高斯求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的，且對(duì)于有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，高斯求積公式的值隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加而收斂到準(zhǔn)確積分值。而且計(jì)算量小，代數(shù)精度高。雖然對(duì)任意的a,b以及a,b上的權(quán)函數(shù)都

25、能構(gòu)造正交多項(xiàng)式，并且也能構(gòu)造高斯求積公式，但不能象那些特殊多項(xiàng)式一樣，歸結(jié)成一個(gè)明確的表達(dá)式，也沒(méi)有明確的規(guī)律。它的節(jié)點(diǎn)是不規(guī)則的，所以當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，前面的計(jì)算的函數(shù)值不能被后面利用。計(jì)算過(guò)程比較麻煩，但精度高，特別是對(duì)計(jì)算無(wú)窮區(qū)間上的積分和廣義積分，則是其他方法所不能比的。第五章 學(xué)習(xí)思考 一、數(shù)值積分相關(guān)的問(wèn)題1.給出計(jì)算積分的梯形公式及中矩形公式。說(shuō)明他們的幾何意義。2.什么是求積公式的代數(shù)精度？3.描述自適應(yīng)求積公式的一般步驟。怎樣得到所需的誤差積分？4.怎樣利用標(biāo)準(zhǔn)的一維求積公式公式計(jì)算矩形域上的二重積分？5.對(duì)給定的函數(shù)，給出兩種近似求導(dǎo)的方法。若給定的函數(shù)值有擾動(dòng)，怎樣處理這個(gè)問(wèn)題？二、 我的課題作業(yè)1.求解定積分解In1:= Out1=2. 計(jì)算數(shù)值積分;解In1:=NIntegrateSqrt1+Sinx3,x,0,1Out1=1.082683. 設(shè)，求解In1:=fx_:=Ifx<0,1/(1+Ex),1/(1+x)NIntegratefx-1,x,0,2Out1=1.313264.用矩形法計(jì)算定積分.解In2:=Cleary,x,s1,n,b,a;n=20;a=1;b=5;yx_:=;s1=(b-a)/n*Sumya+i(b-a)/n,i,0,n-1/N;s2=(b-a)/n*Sumya+i(b-a)/n,i,1,n