數(shù)列求和的基本方法例題

1、v1.0 可編輯可修改11數(shù)列求和的基本方法歸納教師：王光明數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位 . 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧 . 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、等差數(shù)列求和公式：dnnnaaansnn2)1(2)(112、等比數(shù)列求和公式：) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnasnnn3、) 1(211nnksnkn 4、)

2、12)(1(6112nnnksnkn5、213)1(21nnksnkn 例 1已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 項(xiàng)和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比數(shù)列求和公式得nnxxxxs32（利用常用公式）xxxn1)1 (211)211(21n1n21 例 2設(shè) sn1+2+3+ +n，nn*, 求1)32()(nnsnsnf的最大值 .解：由等差數(shù)列求和公式得)1(21nnsn，)2)(1(21nnsn（利用常用公式）v1.0 可編輯可修改221)32()(nnsnsnf64342nnnnn6434150)8(12nn501 當(dāng)88n，即 n8 時(shí)，

3、501)(maxnf二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn 的前 n 項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 例 3 求和：132)12(7531nnxnxxxs解：由題可知， 1)12(nxn的通項(xiàng)是等差數(shù)列 2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 1nx的通項(xiàng)之積設(shè)nnxnxxxxxs)12(7531432.（設(shè)制錯(cuò)位）得nnnxnxxxxxsx)12(222221)1(1432（錯(cuò)位相減 ）再利用等比數(shù)列的求和公式得：nnnxnxxxsx) 12(1121)1(121)1 ()1 ()12()12(xxxnxnsnnn 例

4、4求數(shù)列,22,26,24,2232nn前 n 項(xiàng)的和 .解：由題可知， nn22 的通項(xiàng)是等差數(shù)列 2n 的通項(xiàng)與等比數(shù)列 n21 的通項(xiàng)之積設(shè)nnns222624223214322226242221nnns（設(shè)制錯(cuò)位）得1432222222222222)211 (nnnns（錯(cuò)位相減）v1.0 可編輯可修改331122212nnn1224nnns19 （2014? 濮陽(yáng)二模） 設(shè)an是等差數(shù)列， bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求 an、bn 的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 sn考點(diǎn) ： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；

5、數(shù)列的求和專(zhuān)題 ： 計(jì)算題；壓軸題分析：（）設(shè) an 的公差為d，bn 的公比為 q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立方程求得d和 q，進(jìn)而可得 an、bn的通項(xiàng)公式（）數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯(cuò)位相減法求得前n 項(xiàng)和 sn解答：解： （）設(shè) an 的公差為d，bn的公比為q，則依題意有q0 且解得 d=2，q=2所以 an=1+（n1）d=2n 1，bn=qn1=2n1（），得，=點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和用錯(cuò)位相減法求和21 （2014? 天津模擬）在等差數(shù)列an中， a1=3，其前 n 項(xiàng)和為 sn，等比數(shù)列 bn 的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1=1，公比為

6、 q，且 b2+s2=12，（）求an與 bn；v1.0 可編輯可修改44（）設(shè)cn=an? bn，求數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 tn考點(diǎn) ： 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和專(zhuān)題 ： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（1）根據(jù) b2+s2=12，bn的公比，建立方程組，即可求出an與 bn；（2）由 an=3n，bn=3n1，知 cn=an? bn=n? 3n，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列cn 的前 n 項(xiàng)和 tn解答： 解： （1）在等差數(shù)列an 中， a1=3，其前 n 項(xiàng)和為 sn，等比數(shù)列 bn 的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1=1，公比為q，且 b2+s2=12，b2=b1q=

7、q， （3 分）解方程組得，q=3 或 q=4（舍去），a2=6（5 分）an=3+3（n1）=3n，bn=3n1 （7 分）（2） an=3n，bn=3n1，cn=an? bn=n? 3n，數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和tn=13+232+333+n3n，3tn=132+233+334+n3n+1， 2tn=3+32+33+3nn3n+1=n3n+1=n3n+1，tn=3n+1點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n 項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用三、倒序相加法求和v1.0 可編輯可修改55這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)

8、數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n 個(gè))(1naa. 例 5求證：nnnnnnncnccc2)1()12(53210證明： 設(shè)nnnnnncncccs)12(53210. 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得0113)12()12(nnnnnnncccncns（反序）又由mnnmncc可得nnnnnnncccncns1103)12()12( . . +得nnnnnnnnnccccns2) 1(2)(22(2110（反序相加）nnns2)1( 例 6求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：設(shè)89sin88sin3sin2sin1sin22222s. 將式右邊反序得1s

9、in2sin3sin88sin89sin22222s . （反序）又因?yàn)?cossin),90cos(sin22xxxx+得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222s89 s 四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可. 例 7求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：231,71,41, 1112naaan，v1.0 可編輯可修改66解：設(shè))231()71()41()11 (12naaasnn將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得)23741 ()1111 (12naaasn

10、n（分組）當(dāng) a1 時(shí)，2)13(nnnsn2)13(nn（分組求和）當(dāng)1a時(shí)，2) 13(1111nnaasnn2)13(11nnaaan 例 8求數(shù)列 n(n+1)(2n+1)的前 n 項(xiàng)和.解：設(shè)kkkkkkak2332)12)(1(nknkkks1) 12)(1()32(231kkknk將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得snkkknknknk1213132（分組）)21 ()21 (3)21(2222333nnn2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分組求和）2)2()1(2nnn27已知等比數(shù)列an 滿(mǎn)足 a2=2，且 2a3+a4=a5，an0（1）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（

11、2）設(shè) bn=（ 1）n3an+2n+1，數(shù)列 bn 的前項(xiàng)和為tn，求 tn考點(diǎn) ： 等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和；數(shù)列的求和v1.0 可編輯可修改77專(zhuān)題 ： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：（）設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為 q，則，解方程可求a1，q 結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解（）由bn=（ 1）n3an+2n+1=3? （ 2）n1+2n+1，利用分組求和，結(jié)合等比與等差數(shù)列的求和公式即可求解解答： （本小題滿(mǎn)分12 分）解： （）設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為 q，則（ 2 分）整理得 q2q2=0，即 q=1 或 q=2，an0，q=2代入可得a1=1（ 6 分）（） bn=

12、（ 1）n3an+2n+1=3? （ 2）n1+2n+1，（ 9 分）tn=31 2+48+（ 2）n1+ （3+5+2n+1）=3=（ 2）n+n2+2n 1（ 12 分）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，分組求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng) （通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解 （裂項(xiàng)） 如：（1）)() 1(nfnfan（2）nnnntan) 1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(2

13、11)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnanv1.0 可編輯可修改88(6) nnnnnnnnsnnnnnnnnna2) 1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21則 例 9 求數(shù)列,11,321,211nn的前 n 項(xiàng)和.解： 設(shè)nnnnan111（裂項(xiàng)）則11321211nnsn（裂項(xiàng)求和）)1()23()12(nn11n 例 10在數(shù)列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)的和.解：211211nnnnnan)111(82122nnnnbn（裂項(xiàng)）數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和

14、)111()4131()3121()211(8nnsn（裂項(xiàng)求和）)111(8n18nn 例 11 求證：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12解：設(shè)89cos88cos12cos1cos11cos0cos1snnnntan)1tan()1cos(cos1sinv1.0 可編輯可修改99（裂項(xiàng)）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1s（裂項(xiàng)求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1)0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2原等式成立如：na是公差為d的等差數(shù)

15、列，求111nkkka a解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa11111ndaa六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求sn. 例 12求 cos1+ cos2+ cos3 + + cos178+ cos179 的值 .解：設(shè) sn cos1 + cos2 + cos3 + + cos178+ cos179)180cos(cosnn（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）sn （cos1+ cos179）+（ cos2 + co

16、s178）+ （cos3+ cos177）+ + （cos89+ cos91）+ cos90（合并求和） 0 例 13 數(shù)列an：nnnaaaaaa12321,2,3, 1，求 s2002.v1.0 可編輯可修改1010解：設(shè) s20022002321aaaa由nnnaaaaaa12321, 2,3, 1可得,2, 3, 1654aaa, 2,3, 1,2, 3, 1121110987aaaaaa2,3, 1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）s20022002321aaaa（合并求和）)()()(662

17、61612876321kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5 例 14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.解：設(shè)1032313logloglogaaasn由等比數(shù)列的性質(zhì)qpnmaaaaqpnm（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)nmnmaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaasn（合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log33310v1.0 可編輯可修改1111七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法. 例 15求11111111111個(gè)n之和.解：由于) 110(91999991111111kkk個(gè)個(gè)（找通項(xiàng)及特征）11111111111個(gè)n)110(91) 110(91) 110(91)110(91321n（分組求和）)1111(91)1