第2.6講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第二章函數(shù)第2.6講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．題型一指數(shù)冪的運算題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用題型四指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用1．根式(1)一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實數(shù)a，如果存在實數(shù)x，使得xn＝a，那么x稱為a的n次方根．(2)當(dāng)eq\r(n,a)有意義的時候，eq\r(n,a)稱為根式，其中n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù)．(3)(eq\r(n,a))n＝a.當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N＋，且eq\f(m,n)為既約分?jǐn)?shù))．正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，n>1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．3．指數(shù)冪的運算性質(zhì)aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)稱為指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)題型一指數(shù)冪的運算1．化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】故選：C.2．計算，結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B3．下列運算結(jié)果中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A選項，，故A錯誤；對于B選項，，故B錯誤；對于C選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D選項，，故D正確．故選：D．4．的值是（

）A．105 B．33 C． D．【答案】B【詳解】由題意得：.故選：B.5．蒸發(fā)和沸騰都是汽化現(xiàn)象，是汽化的兩種不同方式．蒸發(fā)是在液體表面發(fā)生的汽化過程，沸騰是在液體內(nèi)部和表面上同時發(fā)生的劇烈的汽化現(xiàn)象．溶液的蒸發(fā)通常是指通過加熱使溶液中一部分溶劑汽化，以提高溶液中非揮發(fā)性組分的濃度或使溶質(zhì)從溶液中析出結(jié)晶的過程．通過實驗數(shù)據(jù)可知，某液體的蒸發(fā)速度y（單位：L/h）與液體所處環(huán)境的溫度x（單位：℃）近似地滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b為常數(shù)）．若該液體在10℃時蒸發(fā)速度是0.2L/h，在20℃時蒸發(fā)速度是0.4L/h，則該液體在40℃時蒸發(fā)速度為（

）翻譯這兩句信息，可得方程組這就是將文字信息翻譯或數(shù)學(xué)語言的體現(xiàn)A．0.5L/h B．0.6L/h C．0.8L/h D．1.6L/h【答案】D【詳解】由題意可知，兩式相除得，所以，當(dāng)時，，所以該液體在40℃時蒸發(fā)速度為1.6L/h．故選：D．題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用6．函數(shù)恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，當(dāng)，即時，，所以函數(shù)過定點.故選：B7．要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（

）A．向左平移1個單位 B．向右平移1個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【詳解】由向右平移個單位，則.故選：D8．函數(shù)一定不過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限【答案】C【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式可知過定點，函數(shù)過第三象限；，函數(shù)過第二象限；為單增函數(shù)且定義域為，可以過第一象限.故選：C9．已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，函數(shù)，則與在同一坐標(biāo)系中的圖像可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時，為增函數(shù)，的圖像的對稱軸為直線，A選項錯誤，C選項正確；當(dāng)時，為減函數(shù)，的圖像的對稱軸為直線，B選項錯誤，D選項錯誤．故選：C10．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】畫出函數(shù)的圖像要方程關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，令，則在內(nèi)有兩不等實根，，解得故選：D.題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用11．設(shè)函數(shù)，函數(shù)的圖像經(jīng)過第一?三?四象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)的的圖像經(jīng)過第一?三?四象限，可得，所以，又因為，所以的取值范圍為.故選：A.12．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】最小，又，在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，，故選：A．13．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，由得，兩邊取以e為底的對數(shù)得：，當(dāng)時，由得，解得，綜上或.故選：A.14．若函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，，可得，所以在上遞減，故其最小值為.故選：B15．已知，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因為恒成立，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B題型四指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用16．據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近年內(nèi)減少了，如果按此速度，設(shè)2022年的冬季冰雪覆蓋面積為，從2022年起，經(jīng)過年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積與的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)北冰洋冬季冰蓋面積為上一年的倍，則，，所以設(shè)2022年的冬季冰雪覆蓋面積為，從2022年起，經(jīng)過年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積與的函數(shù)關(guān)系式是，故選：C.17．要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內(nèi)都含有微量的放射性．動植物死亡后，停止了新陳代謝，不再產(chǎn)生，且原來的會自動衰變．經(jīng)過5730年，它的殘余量只有原始量的一半．現(xiàn)用放射性碳法測得某古物中含量占原來的，推算該古物約是年前的遺物（參考數(shù)據(jù)：），則實數(shù)的值為（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．24034【答案】B【詳解】設(shè)每年的衰變率為，古物中原的含量為，由半衰期，得．所以，即．由題意，知，即．于是．所以．故選：B．18．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是以經(jīng)過分鐘后物體的溫度可由公式求得．把溫度是的物體，放在的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是，那么的值約等于（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40【答案】D【詳解】由題意可得，，，代入可得：，即，所以，解得，故選：D19．在實驗室細(xì)菌培養(yǎng)過程中，細(xì)菌生長主要經(jīng)歷調(diào)整期、指數(shù)期、穩(wěn)定期和衰亡期四個時期.在一定條件下，某生物實驗室在研究某種動物細(xì)菌的過程中發(fā)現(xiàn)，細(xì)菌數(shù)量（單位）與該動物細(xì)菌被植入培養(yǎng)的時間（單位：小時）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，其中為初始細(xì)菌含量.若經(jīng)過6小時培養(yǎng)，該細(xì)菌數(shù)量為（單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵經(jīng)過6小時培養(yǎng)，該細(xì)菌數(shù)量為（單位），∴，∴∴，故選：B.20．在“3820”戰(zhàn)略工程思想精髓的指導(dǎo)下，福州經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長．據(jù)統(tǒng)計，2011年至2021年十年間，福州GDP