執(zhí)信中學(xué)2015屆高三上學(xué)期期中考試(文數(shù))

1、執(zhí)信中學(xué) 2015 屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共 4 頁，滿分為 150 分.考試用時 120 分鐘.注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號填寫在答題卡和答 卷密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用 2B 鉛筆將自己的學(xué)號填涂在答題卡上.2、 選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.3、 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆 在答卷紙上作答，答案必須寫在答卷紙各題 目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效 ；如需改動，先劃掉原來的答案，然

2、后再寫 上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、 考生必須保持答題卡的整潔和平整.第一部分選擇題 (共 50 分)一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是 符合題目要求的1.已知集合M =x | -1<x <3，M = x | -2 <x <1，則M Ç N =（ ）A.( -2 ,1)B.( -1,1)C.(1, 3)D.( -2 , 3)2.1 +3i1 -i=（ ）A.1 +2iB.-1+2iC.1 -2 iD.-1-2i3若 a ÎR ，則 a =0 是 a

3、(a-1)=0的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件4等比數(shù)列a n中，a =44,則a a2 6等于（ ）A.4 B.8C.16D.325. 在 ABC 中， a2=b2+c2-bc ，則 A 的值為（ ）A30oB60oC30o 或150o D 60o 或 120o6若向量uuurBA =(1, 2)，uuurCA =(4 , 5)則uuurBC =（ ）A.(5 , 7)B.(3 , 3)C.( -3 , -3)D.( -5 , -7)7.正三棱柱ABC -A B C 1 1 1的底面邊長為 2 ，側(cè)棱長為3，D為BC中點，則三棱錐A -B DC1

4、 1的體積為（ ）A.3B.32C.1D.323x8已知數(shù)列a n為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若S =204，S -S =36 6 2，則該等差數(shù)列的公差d =（ ）A.-2B.2C.-4D.4x 2 y 29已知橢圓 C ： + =1 （ a >b >0a 2 b23）的左、右焦點為 F 、 F ，離心率為 ，過 F 的直線1 2 2l 交 C 于 A 、 B 兩點. 若 ABF 的周長為 4 3 ，則 C 的方程為（ ）1Ax 2 y 2 x 2+ =1 B 3 2 3+y2=1Cx 2 y 2 x 2 y 2 + =1 D + =112 8 12 410. 奇函數(shù)f ( x

5、)的定義域為 R ，若 f ( x +2)為偶函數(shù)，且f (1) =1 ，則 f (8) + f (9) =（ ）A.-2B.-1C.0D.1第二部分非選擇題 (共 100 分)二填空題：本大題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相應(yīng)位置11.雙曲線 C 的兩個焦點為( - 2 , 0) ， ( 2 , 0)，一個頂點為 (1, 0) ，則 C 的方程為12.曲線y =5ex -3在點(0 , 2)處的切線方程為ìx +2 y -4 £0ï13.若實數(shù) ， y 滿足 íx -y -1 £0 ，則 x +y 的最大值

6、為ïîx ³1（二）選做題（14、15 題，考生只能從中選做一題）14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，已知兩點A(5 ,p3)、B (8 ,2 p3)，則 | AB |=15（幾何證明選講選做題）如圖， AB 是圓 O 的直徑， BC 是圓 O 的切線，切點為 B ， OC 平行于弦 AD ，C若 OB =3 ， OC =5 ，則 CD =D16 （ 本 小 題 滿 分 12 分 ） 設(shè) 平 面 向 量ra =(cos x , sin x)，AOBr 3 1 b =( , )2 2，函數(shù)r rf ( x) =a ×b+1（1）求函數(shù)f ( x)的

7、值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)f (a ) =9 p 2p 2p ,且 <a< 時，求 sin(2a+5 6 3 3)的值.s12n +117. （本小題滿分 12 分）在某次體檢中，有 6 位同學(xué)的平均體重為65公斤，用xn表示編號為n（n =1,2，6）的同學(xué)的體重，且前 5 位同學(xué)的體重如下：編號體重nxn160266362460562（1）求第 6 位同學(xué)的體重 x 及這 6 位同學(xué)體重的標(biāo)準(zhǔn)差 ；6（2）從前5 位同學(xué)中隨機地選2 位同學(xué)，求恰有1 位同學(xué)的體重在區(qū)間(58,65)中的概率18.（本小題滿分 14 分）如圖所示，在棱長為 2 的正方體ABCD -A B

8、C D1 1 1 1中，E 、F分別為DD1、DB的中點（1）求證：EF/平面ABC D1 1；（2）求證：CF B E1；（3）求三棱錐VC -B FE的體積19. （本小題滿分 14 分）設(shè)數(shù)列an前n 項和為 S ，n滿足a（1）求22S 1 2n =a - n -n - , n ÎN n 3 3的值；*.（2）求數(shù)列an的通項公式.（3）證明：對一切正整數(shù) n ，有1 1 1 7+ + + <a a a 41 2 n.20（本小題滿分 14 分）設(shè)拋物線C的方程為x2=4 y，M (x, y0 0)為直線l： y =-m( m >0)上任意一點，過點 M 作拋物線

9、 C 的兩條切線 MA ， MB ，切點分別為 A , B .（1）當(dāng) M 的坐標(biāo)為 (0, -1)時，求過 M , A, B三點的圓的方程，并判斷直線l 與此圓的位置關(guān)系；（2）求證：直線 AB 恒過定點 (0, m) ；21. （本小題滿分 14 分）已知f ( x) =1 -xax+ln x ( a 為正實數(shù)).（1）若函數(shù)f ( x)在1, +¥)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a =1時，求函數(shù)f ( x)在1 , ee上的最大值與最小值；（3）當(dāng) a =1 時，求證：對于大于1 的任意正整數(shù) n ，都有 ln n >1 1 1+ + +2 3 n6數(shù)學(xué)（文科）參

10、考答案1 B 2 B 3A 4 C 5B 6C 7C 8B 9A 10.D11.x 2 -y 2 =112.5 x +y -2 =013.314.715.416（本小題滿分 12 分）解：依題意f ( x) =3 1 p cos x + sin x +1 =sin( x + ) +12 2 32 分（1） 函數(shù)f ( x)的值域是 0 , 2 ；4 分令2kp p p- £x + £2 k2 3pp+ ，解得 2k 25p p p- £x £2 kp+6 67 分所以函數(shù)f ( x)的單調(diào)增區(qū)間為2 kp-5p p, 2 kp+ ( k Îz

11、) 6 6. 8 分（2）由p 9 p 4f (a) =sin(a+ ) +1 = 得 sin(a+ ) =3 5 3 5,p 2p p p p 3 因為 <a< 所以 <a+ <p，得 cos(a+ ) =-6 3 2 3 3 5, 10 分sin(2a+2p p p p 4 3 24 ) =sin 2(a+ ) =2sin( a+ )cos( a+ ) =-2´ ´ =-3 3 3 3 5 5 2512 分17. （本小題滿分 12 分）60+66+62+60+62+ x解：（1）由題意得 6 =65 ，故 x =8066 位同學(xué)體重的標(biāo)準(zhǔn)差 2

12、 分1s = (60 -65) 62+(66 -65)2+(62 -65)2+(60 -65)2+(62 -65)2+(80 -65)2=7 4 分所以第 6 位同學(xué)的體重x =806，這 6 位同學(xué)體重的標(biāo)準(zhǔn)差s =7 5 分（2）從前 5 位同學(xué)中隨機地選2 位同學(xué)的基本事件為(60 , 66)，(60 , 62)，(60 , 60)，(60 , 62)，(66 , 62)，(66 , 60)，(66 , 62)，(62 , 60)，(62 , 62)，(60 , 62)，共 10 種 8 分其中恰有1 位同學(xué)的體重在區(qū)間(58 , 65) 中的基本事件有(60, 66) ， (66 ,

13、62) ， (66 , 60) ， (60 , 62) ， 共 4 種 10 分所以恰有 1 位同學(xué)的體重在區(qū)間(58 , 65)中的概率P =4 2=10 5 12 分111218.（本小題滿分 14 分）解：（1）連結(jié)BD1，在DDD B1中，E、F分別為D D1，DB的中點，則EF 為中位線2 分 EF / / D B1而D B Ì1面ABC D1 1，EF Ë面ABC D1 1 EF / /面ABC D1 14 分（2）等腰直角三角形 BCD 中，F(xiàn) 為 BD 中點 CF BD5 分正方體ABCD -A BC D1 1 1 1 DD 面ABCD 1， CFÌ

14、; 面 ABCD DD CF1綜合，且7 分DD Ç BD =D, DD , BD Ì 面BDD B 1 1 1 1 CF 面BDD B ，而 B E Ì 面BDD B1 1 1 1 1， CF B E 19 分（3）由（2）可知Q CF 平面BDD B1 1 CF 平面EFB1即 CF 為高 ，CF =BF = 210 分1Q EF = BD = 3 ， B F = BF 22+BB 21= ( 2)2+22= 6B E = B D 2 +D E 2 = 12 +(2 2) 2 =3 1 1 1 1EF 2 +B F 2 =B E 1 12即ÐEFB

15、=90o1SDB EF=1 3 2 EF ×B F =2 212 分VB -EFC1=VC -B EF11= ×S3DB EF11 3 2×CF = × × 2 =1 3 214 分19. （本小題滿分 14 分）解：（1）2a =a - 1 21 2-1- ， a =4 3 3n -1nnn +1nn（2） n ³2 時， 2S =na -n n +11 2 n3 -n 2 - n3 31 22S =( n -1)a - (n -1)3 -( n -1)2 - ( n -1)3 31 22a =na -( n -1)a - (3n2

16、 -3n +1) -(2 n -1) -3 3( n +1)a =nan n +1-n ( n +1)a a a a n +1 - n =1 ， 2 - 1 =1n +1 n 2 1數(shù)列a n n是首項為a1 =11，公差為1的等差數(shù)列an =1 +( n -1) ´1 =n a =n n2（3）法一： n ³2時，1 7=1 <a 41，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 7 + +L+ =1 + + +L+ <1 + + - +L+ - <1 + + - = - <a a a 22 32 n 2 22 2 3 n -1

17、 n 4 2 n 4 n 4 1 2 n法二：1 7=1 <a 41n ³2時，1 1 1 1 1 1 1 1+ +L+ =1 + + +L+ <1 + + +L+ a a a 2 2 32 n 2 2 2 -1 32 -1 n1 2 n1 1 1 1 1 1 1 1<1 + (1- + - +L+ - + - )2 3 2 3 n -2 n n -1 n +11 1 1 1 7 1 1 1 7=1 + (1+ +L- - ) = - ( + ) <2 2 n n +1 4 2 n n +1 420（本小題滿分 14 分）11 -1解： (1) 當(dāng) M的坐標(biāo)為

18、 (0, -1)時，設(shè)過 M點的切線方程為 y =kx -1，代入x2=4 y，整理得x2-4 kx +4 =0，令D=(4 k )2-4 ´4 =0 ，解得 k =±1，代入方程得x =±2，故得 A(2,1), B ( -2,1)， 2 分102021102因為 M 到 AB的中點 (0,1)的距離為 2，從而過 M , A, B三點的圓的方程為x2+( y -1)2=4易知此圓與直線 l : y =-1相切.4 分（ 2 ） 證 法 一 ： 設(shè) 切 點 分 別 為A (x, y1 1),B (x, y2 2), 過 拋 物 線 上 點A (x, y1 1)的

19、 切 線 方 程 為( y -y ) =k ( x -x ) 1 1，代入x 2 =4 y，整理得x 2 -4kx +4 (kx-y )=01 1D=(4 k )2-4 ´4(kx-y1 1)=0，又因為 x 2 =4 y 1 1，所以k =x12 6 分從而過拋物線上點A(x , y1 1)的切線方程為y -y =1x1 ( x -x ) 2即x x 2 y = 1 x - 12 4又切線過點M (x, y0 0)，所以得y =0x x 21 x - 12 4即y =0x1 x -y0 18 分同理可得過點B (x, y2 2)的切線為y =x x 22 x - 22 4，又切線過

20、點M (x, y0 0)，所以得y =0x x 22 x - 22 4 10 分即y =0x2 x -y0 26 分即 點A (x, y1 1)，B (x, y2 2)均 滿 足y =0x2x -y 即 x x =2 (y +y 0 0 0)， 故 直 線 AB 的 方 程 為x x =2 (y +y 0 0) 12 分又M (x, y0 0)為 直 線 l : y = -m( m >0)上 任意 一點 ，故x x =2 (y-m) 0對 任 意 x 成 立， 所以 0x =0, y =m，從而直線 AB恒過定點 (0, m).14 分證法二：由已知得y =x 24x，求導(dǎo)得 y = ，

21、切點分別為2A (x, y ),B(x, y1 1 2 2)，故過點A (x, y1 1)的切線斜率為k =x x1 ，從而切線方程為 ( y -y ) = 1 ( x -x ) 2 2即x x 2 y = 1 x - 12 4 7 分又切線過點M (x, y0 0)，所以得y =0x x 21 x - 12 4即y =0x1 x -y0 1分02同理可得過點B (x, y2 2)的切線為y =x x 22 x - 22 4，又切線過點M (x, y0 0)，所以得y =0x x 22 x - 22 4即y =0x2 x -y0 2 10 分即 點A (x, y1 1)，B (x, y2 2)均 滿 足y =0x2x -y 即 x x =2 (y +y 0 0 0)， 故 直 線 AB 的 方 程 為x x =20(y +y0)12 分又M (x, y0 0)為 直 線 l : y = -m( m >0)上 任意 一點 ，故x x =2 (y-m) 0對 任 意x0成 立， 所以x =0, y =m ，從而直線 AB 恒過定點 (0, m)21. （本小題滿分