淺談平面解析幾何中比例問題的常見題型和解題方法_1

1、    淺談平面解析幾何中比例問題的常見題型和解題方法    張楚寧 沙伯胤g633.66       a2095-3089（2019）18-0295-02前言解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何對象的關(guān)系和性質(zhì)的一門學(xué)科。作為解析幾何的一大分支，平面解析幾何在歷屆高考中占有超過百分之二十的比重，重點考察學(xué)生們的方法選擇、計算能力和綜合思維能力。其中，求解元素之間的數(shù)值比例關(guān)系是考試十分常見的一種題型。本文著重以三種不同的例題為案例，就該類問題常見題型和解題方法做以簡要論述。平面解析幾何離不開圓錐曲線，因此在高考中該類型題目第一問一

2、般是圓錐曲線方程或者直線方程，從而使得方程求解是解出整題的基礎(chǔ)。方程求解不難，但是要注意在高考難度逐漸降低的形勢下，題目中出現(xiàn)的“文字游戲”則十分考察考生細(xì)心程度，所以不要輕視第一問。以下對于解題思路的討論均是建立在第一問解答正確基礎(chǔ)上。平面解析幾何的比例問題大致可分為兩類，即：面積和邊長之比問題，角度之比問題。分別論述如下。2.解題方法。無論是三角函數(shù)值還是角度值，在我們應(yīng)用了上述理論公式后，多會化為邊長之比的問題。由于涉及到三角函數(shù)值，我們不難想到平面向量公式中存在著帶有三角函數(shù)值的子項。故這類題利用向量法反而更加簡便。由于向量內(nèi)積公式中存在一個夾角余弦值，我們只需要表示出各個點的坐標(biāo)，利

3、用向量內(nèi)積逐個求出余弦值，而后轉(zhuǎn)換為我們熟悉的邊長之比問題，得出答案。3.易錯知識點。此題雖然少見，但是十分容易出錯。由于涉及到大量的三角函數(shù)計算，難免會出現(xiàn)由于向量法較為簡便，學(xué)生在使用向量法的時候可能會出現(xiàn)忘記“末減初”的問題，而向量模長的大量計算，再加上待定系數(shù)的介入，進(jìn)一步考驗計算和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，加大了正確解題的難度。4.建議。解題思路依舊是往我們熟悉的問題上靠攏。把三角函數(shù)值這層“外衣”剝?nèi)ナ怯篮愕哪繕?biāo)。靈活的利用向量法，能在解題路線上提供一條捷徑。三、結(jié)論比例問題作為平面解析幾何考試題型中常見問題，本質(zhì)上仍是脫離不了高考試卷中“側(cè)重基礎(chǔ)知識和計算”的主旨。1.比例問題屬于解析幾何題

4、目中計算量比較大的題目，但是思維量不大，考驗的是細(xì)心和耐心。其側(cè)重基礎(chǔ)計算和基礎(chǔ)公式的熟練程度，學(xué)生需要重視平時的習(xí)題演練。2.歸納總結(jié)，舉一反三。通過典型題型、典型問題，剔除題型描述中文字部分的干擾，及時歸納總結(jié)，為將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)等學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。3.比例問題的基礎(chǔ)是邊長之比問題。能夠靈活的處理各種邊長之比問題后，努力將其他問題轉(zhuǎn)換為邊長問題予以求解。4.比例問題在平面解析幾何中，突出體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的結(jié)合關(guān)系，需牢記點、線、面三者關(guān)系，樹立起坐標(biāo)系中的平面幾何圖形概念。作者按：在當(dāng)今高考的形式下，全卷越來越重視基礎(chǔ)知識的考察。高考卷中最后壓軸的三道大題的類型一般為：數(shù)列、立體幾何、平面解析幾何。相比與數(shù)列題型考驗的思維新穎性、立體幾何題型考驗的空間思維想象能力，解析幾何在思維量上講無疑是最小的。因此，此類型題目更考驗扎實的基礎(chǔ)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠嬎阕C明。而這一點，大部分學(xué)生都可以通過訓(xùn)練而做到極致，從而使