2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國卷Ⅲ)

1、1 / 15 絕密 啟用前 2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(全國卷,文) 一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。 1.(2019 全國,文 1)已知集合 a=-1,0,1,2,b=x|x21,則 ab=( ) a.-1,0,1 b.0,1 c.-1,1 d.0,1,2 解析 a=-1,0,1,2,b=x|-1x1,則 ab=-1,0,1.故選 a. 答案 a 2.(2019 全國,文 2)若 z(1+i)=2i,則 z=( ) a.-1-i b.-1+i c.1-i d.1+i 解析 z=2i1+i=2i

2、(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故選 d. 答案 d 3.(2019 全國,文 3)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列,則兩位女同學(xué)相鄰的概率是( ) a.16 b.14 c.13 d.12 解析兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列,共有 24種排法.兩位女同學(xué)相鄰的排法有 12種,故兩位女同學(xué)相鄰的概率是12.故選 d. 答案 d 2 / 15 4.(2019 全國,文 4)西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機調(diào)查了 100 位學(xué)生,其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有 90 位,閱讀過紅樓夢的學(xué)

3、生共有 80 位.閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有 60 位,則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為( ) a.0.5 b.0.6 c.0.7 d.0.8 解析由題意得,閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)為 90-80+60=70,則該校閱讀過西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為70100=0.7.故選 c. 答案 c 5.(2019 全國,文 5)函數(shù) f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零點個數(shù)為( ) a.2 b.3 c.4 d.5 解析由 f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,得 si

4、n x=0或 cos x=1. x0,2,x=0 或 x=或 x=2. 故 f(x)在區(qū)間0,2上的零點個數(shù)是 3.故選 b. 答案 b 6.(2019 全國,文 6)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前 4 項和為 15,且 a5=3a3+4a1,則 a3=( ) a.16 b.8 c.4 d.2 解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q(q0), 則1(1-4)1-= 15,14= 312+ 41,解得1= 1, = 2, 所以 a3=a1q2=122=4.故選 c. 答案 c 7.(2019 全國,文 7)已知曲線 y=aex+xln x 在點(1,ae)處的切線方程為 y=2x+b,則( ) a.

5、a=e,b=-1 b.a=e,b=1 3 / 15 c.a=e-1,b=1 d.a=e-1,b=-1 解析y=aex+ln x+1, k=y|x=1=ae+1=2, ae=1,a=e-1. 將點(1,1)代入 y=2x+b,得 2+b=1, b=-1. 答案 d 8.(2019 全國,文 8)如圖,點 n 為正方形 abcd的中心,ecd為正三角形,平面 ecd平面 abcd,m是線段 ed的中點,則( ) a.bm=en,且直線 bm,en是相交直線 b.bmen,且直線 bm,en是相交直線 c.bm=en,且直線 bm,en是異面直線 d.bmen,且直線 bm,en是異面直線 解析如圖

6、,連接 bd,be. 在bde中,n為 bd 的中點,m為 de 的中點, bm,en 是相交直線, 排除選項 c、d. 作 eocd于點 o,連接 on. 4 / 15 作 mfod 于點 f,連接 bf. 平面 cde平面 abcd,平面 cde平面 abcd=cd,eocd,eo平面 cde, eo平面 abcd. 同理,mf平面 abcd. mfb 與eon 均為直角三角形. 設(shè)正方形 abcd的邊長為 2,易知 eo=3,on=1,mf=32,bf=22+94=52, 則 en=3 + 1=2,bm=34+254= 7, bmen.故選 b. 答案 b 9.(2019 全國,文 9)

7、執(zhí)行下邊的程序框圖,如果輸入的 為 0.01,則輸出 s 的值等于( ) a.2-124 b.2-125 c.2-126 d.2-127 解析 x=1,s=0,s=0+1,x=120.01,s=0+1+12,x=140.01,s=0+1+12+126,x=127f(2-32)f(2-23) b.f(log314)f(2-23)f(2-32) c.f(2-32)f(2-23)f(log314) d.f(2-23)f(2-32)f(log314) 解析f(x)是 r 上的偶函數(shù), f(log314)=f(-log34)=f(log34). 又 y=2x在 r 上單調(diào)遞增, log341=202-2

8、3 2-32. 又 f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減, f(log34)f(2-23)f(2-23)f(log314).故選 c. 7 / 15 答案 c 二、填空題:本題共 4小題,每小題 5分,共 20分。 13.(2019 全國,文 13)已知向量 a=(2,2),b=(-8,6),則 cos= . 解析 cos=|=2(-8)+2622+22(-8)2+62=-42210=-210. 答案-210 14.(2019 全國,文 14)記 sn為等差數(shù)列an的前 n項和.若 a3=5,a7=13,則 s10= . 解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d, 則3= 1+ 2 = 5,7= 1+ 6

9、 = 13,解得1= 1, = 2. 故 s10=10a1+1092d=101+10922=100. 答案 100 15.(2019 全國,文 15)設(shè) f1,f2為橢圓 c:236+220=1 的兩個焦點,m為 c 上一點且在第一象限.若mf1f2為等腰三角形,則 m的坐標為 . 解析a2=36,b2=20, c2=a2-b2=16, c=4. 由題意得,|mf1|=|f1f2|=2c=8. |mf1|+|mf2|=2a=12, |mf2|=4. 設(shè)點 m 的坐標為(x0,y0)(x00,y00), 則12=12|f1f2|y0=4y0. 8 / 15 又12=12482-22=415, 4

10、y0=415, 解得 y0=15. 又點 m 在橢圓 c上,0236+(15)220=1, 解得 x0=3 或 x0=-3(舍去). 點 m 的坐標為(3,15). 答案(3,15) 16.(2019 全國,文 16)學(xué)生到工廠勞動實踐,利用 3d打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體abcd-a1b1c1d1挖去四棱錐 o-efgh后所得的幾何體,其中 o 為長方體的中心,e,f,g,h分別為所在棱的中點,ab=bc=6 cm,aa1=4 cm.3d 打印所用原料密度為 0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g. 解析由題意得,四棱錐 o-efgh 的底面積為 46

11、-41223=12(cm2),點 o到平面 bb1c1c的距離為 3 cm,則此四棱錐的體積為 v1=13123=12(cm3). 又長方體 abcd-a1b1c1d1的體積為 v2=466=144(cm3), 則該模型的體積為 v=v2-v1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為 0.9132=118.8(g). 答案 118.8 三、解答題:共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題,每個試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題,考生根據(jù)要求作答。 (一)必考題:共 60 分。 9 / 15 17.(12分) (2019全國,文 17)為了解

12、甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將 200 只小鼠隨機分成 a,b兩組,每組 100 只,其中 a組小鼠給服甲離子溶液,b組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖: 甲離子殘留百分比直方圖 乙離子殘留百分比直方圖 記 c 為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”,根據(jù)直方圖得到 p(c)的估計值為 0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中 a,b 的值; (2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表). 解(1

13、)由已知得 0.70=a+0.20+0.15, 故 a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計值為 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00. 18.(12分) 10 / 15 (2019全國,文 18)abc的內(nèi)角 a,b,c 的對邊分別為 a,b,c.已知 asin+2=bsin a. (1)求 b; (2)若abc為銳角三角形,且 c=1,求abc面積的取值范圍. 解(1)

14、由題設(shè)及正弦定理得 sin asin+2=sin bsin a. 因為 sin a0,所以 sin+2=sin b. 由 a+b+c=180,可得 sin+2=cos2, 故 cos2=2sin2cos2. 因為 cos20,故 sin2=12,因此 b=60. (2)由題設(shè)及(1)知abc的面積 sabc=34a. 由正弦定理得 a=sinsin=sin(120-)sin=32tan+12. 由于abc 為銳角三角形,故 0a90,0c90. 由(1)知 a+c=120,所以 30c90, 故12a2,從而38sabc32. 因此,abc 面積的取值范圍是(38,32). 19.(12分)

15、(2019全國,文 19)圖 1是由矩形 adeb,rtabc和菱形 bfgc組成的一個平面圖形,其中ab=1,be=bf=2,fbc=60.將其沿 ab,bc折起使得 be與 bf重合,連結(jié) dg,如圖 2. 11 / 15 (1)證明:圖 2 中的 a,c,g,d四點共面,且平面 abc平面 bcge; (2)求圖 2 中的四邊形 acgd 的面積. (1)證明由已知得 adbe,cgbe,所以 adcg, 故 ad,cg 確定一個平面,從而 a,c,g,d四點共面. 由已知得 abbe,abbc,故 ab平面 bcge. 又因為 ab平面 abc,所以平面 abc平面 bcge. (2)

16、解取 cg 的中點 m,連結(jié) em,dm. 因為 abde,ab平面 bcge, 所以 de平面 bcge,故 decg. 由已知,四邊形 bcge是菱形,且ebc=60得 emcg,故 cg平面 dem. 因此 dmcg. 在 rtdem中,de=1,em=3,故 dm=2. 所以四邊形 acgd 的面積為 4. 20.(12分) (2019全國,文 20)已知函數(shù) f(x)=2x3-ax2+2. (1)討論 f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng) 0a0,則當(dāng) x(-,0)(3, + )時,f(x)0; 當(dāng) x(0,3)時,f(x)0. 故 f(x)在(-,0),(3, + )單調(diào)遞增,在(0,3)

17、單調(diào)遞減; 若 a=0,f(x)在(-,+)單調(diào)遞增; 若 a0; 當(dāng) x(3,0)時,f(x)0. 故 f(x)在(-,3),(0,+)單調(diào)遞增,在(3,0)單調(diào)遞減. (2)當(dāng) 0a3 時,由(1)知,f(x)在(0,3)單調(diào)遞減,在(3,1)單調(diào)遞增,所以 f(x)在0,1的最小值為f(3)=-327+2,最大值為 f(0)=2或 f(1)=4-a. 于是 m=-327+2,m=4-,0 2,2,2 3. 所以 m-m=2- +327,0 2,327,2 3. 當(dāng) 0a2 時,可知 2-a+327單調(diào)遞減, 所以 m-m的取值范圍是(827,2). 當(dāng) 2a3時,327單調(diào)遞增,所以 m

18、-m 的取值范圍是827,1). 綜上,m-m的取值范圍是827,2). 13 / 15 21.(12分) (2019全國,文 21)已知曲線 c:y=22,d為直線 y=-12上的動點,過 d作 c 的兩條切線,切點分別為 a,b. (1)證明:直線 ab過定點; (2)若以 e(0,52)為圓心的圓與直線 ab相切,且切點為線段 ab 的中點,求該圓的方程. (1)證明設(shè) d(,-12),a(x1,y1),則12=2y1. 由于 y=x,所以切線 da 的斜率為 x1,故1+121-=x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 設(shè) b(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故

19、直線 ab的方程為 2tx-2y+1=0. 所以直線 ab 過定點(0,12). (2)解由(1)得直線 ab的方程為 y=tx+12. 由 = +12, =22可得 x2-2tx-1=0. 于是 x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1. 設(shè) m為線段 ab的中點,則 m(,2+12). 由于 ,而 =(t,t2-2), 與向量(1,t)平行, 所以 t+(t2-2)t=0. 解得 t=0或 t=1. 當(dāng) t=0 時,| |=2,所求圓的方程為 x2+(-52)2=4; 14 / 15 當(dāng) t=1時,| |=2,所求圓的方程為 x2+(-52)2=2. (二)選考題:共

20、 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。 22.(10分) (2019全國,文 22)選修 44:坐標系與參數(shù)方程 如圖,在極坐標系 ox中,a(2,0),b(2,4),c(2,34),d(2,),弧,所在圓的圓心分別是(1,0),(1,2),(1,),曲線 m1是弧,曲線 m2是弧,曲線 m3是弧. (1)分別寫出 m1,m2,m3的極坐標方程; (2)曲線 m 由 m1,m2,m3構(gòu)成,若點 p 在 m 上,且|op|=3,求 p 的極坐標. 解(1)由題設(shè)可得,弧,所在圓的極坐標方程分別為 =2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以 m1的極坐標方程為 =2cos 04,m2的極坐標方程為 =2sin 434,m3的極坐標方程為 =-2cos 34 . (2)設(shè) p(