2019年天津卷理數(shù)高考試題文檔版（含答案）

1、1 / 10 2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)學(xué)（理工類）數(shù)學(xué)（理工類） 本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時 120 分鐘。第卷1 至 2頁，第卷 3-5頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第卷 注意事項： 1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。 2.本卷共

2、 8 小題，每小題 5分，共 40 分。 參考公式： 如果事件a、b互斥，那么()( )( )p abp ap b=+. 如果事件a、b相互獨立，那么()( ) ( )p abp a p b=. 圓柱的體積公式vsh=，其中s表示圓柱的底面面積，h表示圓柱的高. 棱錐的體積公式13vsh=，其中s表示棱錐的底面面積，h表示棱錐的高. 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.設(shè)集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13abcxx= =r，則()acb = a. 2 b.2,3 c.1,2,3 d.1,2,3,4 2.設(shè)變量, x y滿足約束條件20,20,1,1,

3、xyxyxy+則目標函數(shù)4zxy= +的最大值為 a.2 b.3 c.5 d.6 3.設(shè)xr，則“250 xx”是“|1| 1x”的 2 / 10 a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 4.閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出s的值為 a.5 b.8 c.24 d.29 5.已知拋物線24yx=的焦點為f，準線為l，若l與雙曲線22221(0,0)xyabab=的兩條漸近線分別交于點a和點b，且| 4|abof=（o為原點），則雙曲線的離心率為 a.2 b.3 c.2 d.5 6.已知5log 2a =，0.5og2 .l0b =，0.20.5

4、c =，則, ,a b c的大小關(guān)系為 a.acb b.abc c.bca d.cab 7.已知函數(shù)( )sin()(0,0,|)f xaxa=+是奇函數(shù)，將( )yf x=的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍（縱坐標不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為( )g x.若( )g x的最小正周期為2，且24g=，則38f= 3 / 10 a.2 b.2 c.2 d.2 8.已知ar，設(shè)函數(shù)222 ,1,( )ln ,1,xaxaxf xxaxx+=若關(guān)于x的不等式( ) 0f x在r上恒成立，則a的取值范圍為 a.0,1 b.0,2 c.0,e d.1,e 第卷 注意事項： 1用黑色墨水的鋼筆或簽

5、字筆將答案寫在答題卡上。 2.本卷共 12 小題，共 110分。 二.填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30 分. 9.i是虛數(shù)單位，則51ii+的值為 . 10.83128xx是展開式中的常數(shù)項為 . 11.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長均為5.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 . 12.設(shè)ar，直線20axy+=和圓22cos ,1 2sinxy=+= +（為參數(shù)）相切，則a的值為 . 13.設(shè)0,0,25xyxy+=，則(1)(21)xyxy+的最小值為 . 14.在四邊形abcd中，,2 3,5,

6、30adbcabada=，點e在線段cb的延長線上，且aebe=，則bd ae= . 三.解答題：本大題共 6小題，共 80 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15.（本小題滿分 13 分） 在abc中，內(nèi)角, ,a b c所對的邊分別為, ,a b c.已知2bca+=，3 sin4 sincbac=. （）求cosb的值； （）求sin 26b+的值. 4 / 10 16.（本小題滿分 13 分） 設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天 7：30 之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立. （）用x表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中 7：30

7、之前到校的天數(shù)，求隨機變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望； （）設(shè)m為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在 7：30 之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在 7：30 之前到校的天數(shù)恰好多 2”，求事件m發(fā)生的概率. 17.（本小題滿分 13 分） 如圖，ae 平面abcd，,cfaeadbc，,1,2adababadaebc=. （）求證：bf 平面ade； （）求直線ce與平面bde所成角的正弦值； （）若二面角ebdf的余弦值為13，求線段cf的長. 18.（本小題滿分 13 分） 設(shè)橢圓22221(0)xyabab+=的左焦點為f，上頂點為b.已知橢圓的短軸長為 4，離心率為55. （）求橢圓的方程； （）設(shè)點p

8、在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點m為直線pb與x軸的交點，點n在y軸的負半軸上.若| |onof=（o為原點），且opmn，求直線pb的斜率. 19.（本小題滿分 14 分） 設(shè) na是等差數(shù)列， nb是等比數(shù)列.已知1122334,622,24abbaba=+，. （）求 na和 nb的通項公式； 5 / 10 （）設(shè)數(shù)列 nc滿足111,22,2,1,kknkkcncb n+=其中*k n. （i）求數(shù)列()221nnac的通項公式； （ii）求()2*1ni iiacn=n. 20.（本小題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù)( )e cos ,( )xf xxg x=為( )f x的導(dǎo)函數(shù).

9、（）求( )f x的單調(diào)區(qū)間； （）當(dāng),4 2x 時，證明( )( )02f xg xx+； （）設(shè)nx為函數(shù)( )( ) 1u xf x=在區(qū)間2,242mm+內(nèi)的零點，其中nn，證明20022sincosnnnxxex+. 2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)學(xué)（理工類）參考解答數(shù)學(xué)（理工類）參考解答 一.選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題 5分，滿分 40分. 1.d 2.c 3.b 4.b 5.d 6.a 7.a 8.c 二.填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題 5分，滿分 30分. 9.13 10.28 11.4

10、 12.34 13.4 3 14.1 三.解答題 15.本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力，滿分 13分. （ ） 解 ： 在abc中 ， 由 正 弦 定 理sinsinbcbc=， 得sinsinbccb=， 又 由3 sin4 sincbac=，得3 sin4 sinbcac=，即34ba=.又因為2bca+=，得到43ba=，23ca=.6 / 10 由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbbaa+= . （）解：由（）可得215sin1 cos4bb=，從而15sin

11、22sincos8bbb= ，227cos2cossin8bbb= ，故 153713 57sin 2sin2 coscos2 sin666828216bbb+=+= = ， 16.本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎(chǔ)知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.滿分 13分. （）解：因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天 7：30之前到校的概率均為23，故23,3xb，從而3321(),0,1,2,333kkkp xkck = . 所以，隨機變量x的分布列為 x 0 1 2 3 p 127 29 49 827 隨機變量x的數(shù)

12、學(xué)期望2()323e x = =. （）解：設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中 7：30 之前到校的天數(shù)為y，則23,3yb，且3,12,0mxyxy=.由題意知事件3,1xy=與2,0xy=互斥，且事件3x =與1y =，事件2x =與0y =均相互獨立，從而由（）知 ()(3,12,0)(3,1)(2,0)p mpxyxyp xyp xy=+= 824120(3) (1)(2) (0)279927243p xp yp xp y=+=+=. 17.本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.滿分

13、 13 分. 依題意，可以建立以a為原點，分別以ab ad ae，的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐 標 系 （ 如 圖 ） ， 可 得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)abcd，(0,0,2)e. 設(shè)7 / 10 (0)cfhh=，則()1,2,fh. （）證明：依題意，(1,0,0)ab =是平面ade的法向量，又(0,2, )bfh=，可得0bf ab=，又因為直線bf 平面ade，所以bf 平面ade. （）解：依題意，( 1,1,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)bdbece= = = . 設(shè)( , , )nx y z=為平面bde的法向量

14、，則0,0,n bdn be=即0,20,xyxz += +=不妨令1z =， 可得(2,2,1)n =.因此有4cos,9|ce nce nce n= . 所以，直線ce與平面bde所成角的正弦值為49. （）解：設(shè)( , , )mx y z=為平面bdf的法向量，則0,0,m bdm bf=即0,20,xyyhz +=+= 不妨令1y =，可得21,1,mh=. 由題意，有224|1cos,|343 2m nhm nm nh =+，解得87h =.經(jīng)檢驗，符合題意. 所以，線段cf的長為87. 18.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識。考查用代數(shù)方法研究圓錐曲面的性

15、質(zhì).考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.滿分 13 分. 8 / 10 （）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，524,5cba=，又222abc=+，可得5a =，2,b =1c =. 所以，橢圓的方程為22154xy+=. （ ） 解 ： 由 題 意 ， 設(shè)()()()0 ,0pppmp xyxm x，. 設(shè) 直 線pb的 斜 率 為()0k k ， 又()0,2b， 則 直 線pb的 方 程 為2ykx=+， 與 橢 圓 方 程 聯(lián) 立222,1,54ykxxy=+=整 理 得()2245200kxkx+=，可得22045pkxk= +，代入2ykx=+得228 1045pkyk

16、=+，進而直線op的斜率24510ppykxk=.在2ykx=+中，令0y =，得2mxk= .由題意得()0, 1n，所以直線mn的斜率為2k.由opmn，得2451102kkk = ，化簡得2245k =，從而2 305k = . 所以，直線pb的斜率為2 305或2 305. 19.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力.滿分 14 分. （）解：設(shè)等差數(shù)列 na的公差為d，等比數(shù)列 nb的公比為q.依題意得2662 ,6124 ,qdqd=+=+解得3,2,dq=故14(1) 331,6 23 2nn

17、nnannb=+ =+= . 所以， na的通項公式為 31,nnanb=+的通項公式為3 2nnb = . （）（i）解：()()()()222113 21 3 219 41nnxnnnnacab=+= . 所以，數(shù)列()221nnac的通項公式為()2219 41nnnac= . （ii）解：()()22221111211nnniini iiiiiiiiiacaa caac=+=+ 9 / 10 ()()12212439 412nnnnii= + ()()2124 1 43 25 291 4nnnn=+ + ()211*27 25 212nnnn=+ n. 20.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、

18、不等式證明、運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分 14分. （）解：由已知，有( )(cossin )xfxexx=.因此，當(dāng)52,244xkk+()k z時，有sincosxx，得( )0fx ，則( )f x單調(diào)遞減；當(dāng)32,244xkk+()k z時，有sincosxx，得( )0fx ，則( )f x單調(diào)遞增. 所 以 ，( )f x的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為32,2(),( )44kkkf x+z的 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 為52,2()44kkk+z. （）證明：記( )( )( )2h xf xg xx=+.依題意及（），有( )(cossin )xg xexx=，從而( )2sinxg xex= .當(dāng),4 2x 時，( )0gx ，故 ( )( )( )( )( 1)( )022h xfxg xxg xg xx=+=. 因此，( )h x在區(qū)間,4 2 上單調(diào)遞減，進而( )022h xhf=. 所以，當(dāng),4 2x 時，( )( )02f xg xx+. （ ） 證 明 ： 依 題 意 ，()()10nnu xf x= =，