2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(遼寧卷)理 (2)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(遼寧卷)數(shù)學(xué)(理科)第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014遼寧,理1)已知全集u=r,a=x|x0,b=x|x1,則集合u(ab)=().a.x|x0b.x|x1c.x|0x1d.x|0<x<1答案:d解析:ab=x|x0或x1,u(ab)=x|0<x<1.故選d.2.(2014遼寧,理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z-2i)(2-i)=5,則z=().a.2+3ib.2-3ic.3+2id.3-2i答案:a解析:(z-2i)(2-i)=5,z-2i=52-i.z=2i

2、+52-i=2i+5(2+i)(2-i)(2+i)=2i+2+i=2+3i.故選a.3.(2014遼寧,理3)已知a=2-13,b=log213,c=log1213,則().a.a>b>cb.a>c>bc.c>a>bd.c>b>a答案:c解析:0<a=2-13<20=1,b=log213<log21=0,c=log1213>log1212=1,c>a>b.故選c.4.(2014遼寧,理4)已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說法正確的是().a.若m,n,則mnb.若m,n,則mnc.若m,mn,則nd.

3、若m,mn,則n答案:b解析:對a:m,n還可能異面、相交,故a不正確.對c:n還可能在平面內(nèi),故c不正確.對d:n還可能在內(nèi),故d不正確.對b:由線面垂直的定義可知正確.5.(2014遼寧,理5)設(shè)a,b,c是非零向量.已知命題p:若a·b=0,b·c=0,則a·c=0;命題q:若ab,bc,則ac,則下列命題中真命題是().a.pqb.pqc.(􀱑p)(􀱑q)d.p(􀱑q)答案:a解析:對命題p中的a與c可能為共線向量,故命題p為假命題.由a,b,c為非零向量,可知命題q為真命題.故pq為真命題.故選a.6

4、.(2014遼寧,理6)6把椅子擺成一排,3人隨機就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為().a.144b.120c.72d.24答案:d解析:插空法.在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個空檔中選出3個插入3人即可.故排法種數(shù)為a43=24.故選d.7.(2014遼寧,理7)某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().a.8-2b.8-c.8-2d.8-4答案:b解析:由三視圖知,原幾何體是棱長為2的正方體挖去兩個底面半徑為1,高為2的四分之一圓柱,故幾何體的體積為8-2××2×14=8-.故選b.8.(2014遼寧,理8)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)

5、列,則().a.d<0b.d>0c.a1d<0d.a1d>0答案:c解析:數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列,2a1an>2a1an+1,nn*,a1an>a1an+1,a1(an+1-an)<0.an為公差為d的等差數(shù)列,a1d<0.故選c.9.(2014遼寧,理9)將函數(shù)y=3sin2x+3的圖象向右平移2個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)().a.在區(qū)間12,712上單調(diào)遞減b.在區(qū)間12,712上單調(diào)遞增c.在區(qū)間-6,3上單調(diào)遞減d.在區(qū)間-6,3上單調(diào)遞增答案:b解析:設(shè)平移后的函數(shù)為f(x),則f(x)=3sin2x-2+3=3sin2x+3-=

6、-3sin2x+3.令2k-22x+32k+2,kz,解得f(x)的遞減區(qū)間為k-512,k+12,kz,同理得遞增區(qū)間為k+12,k+712,kz.從而可判斷得b正確.10.(2014遼寧,理10)已知點a(-2,3)在拋物線c:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點a的直線與c在第一象限相切于點b,記c的焦點為f,則直線bf的斜率為().a.12b.23c.34d.43答案:d解析:由題意可知準(zhǔn)線方程x=-p2=-2,p=4,拋物線方程為y2=8x.由已知易得過點a與拋物線y2=8x相切的直線斜率存在,設(shè)為k,且k>0,則可得切線方程為y-3=k(x+2).聯(lián)立方程y-3=k(x+2),y2=8

7、x,消去x得ky2-8y+24+16k=0.(*)由相切得=64-4k(24+16k)=0,解得k=12或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y2=8x,得x=8,即切點b的坐標(biāo)為(8,8),又焦點f為(2,0),故直線bf的斜率為43.11.(2014遼寧,理11)當(dāng)x-2,1時,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是().a.-5,-3b.-6,-98c.-6,-2d.-4,-3答案:c解析:當(dāng)x-2,1時,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,即當(dāng)x-2,1時,不等式ax3x2-4x-3(*)恒成立.(1)當(dāng)x=0時,ar.(2)當(dāng)0<x1時,由

8、(*)得ax2-4x-3x3=1x-4x2-3x3恒成立.設(shè)f(x)=1x-4x2-3x3,則f'(x)=-1x2+8x3+9x4=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4.當(dāng)0<x1時,x-9<0,x+1>0,f'(x)>0,f(x)在(0,1上單調(diào)遞增.當(dāng)0<x1時,可知af(x)max=f(1)=-6.(3)當(dāng)-2x<0時,由(*)得a1x-4x2-3x3.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).當(dāng)-2x<-1時,f'(x)<0,當(dāng)-1<x<0時,f'(x)>0,f(x)

9、在-2,-1)上遞減,在(-1,0)上遞增.x-2,0)時,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知af(x)min=-2.綜上所述,當(dāng)x-2,1時,實數(shù)a的取值范圍為-6a-2.故選c.12.(2014遼寧,理12)已知定義在0,1上的函數(shù)f(x)滿足:f(0)=f(1)=0;對所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|<12|x-y|.若對所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|<k恒成立,則k的最小值為().a.12b.14c.12d.18答案:b解析:不妨令0x<y1,則|f(x)-f(y)|<12|x-y|.法一:2|f(x)-f(y)|=

10、|f(x)-f(0)+f(x)-f(y)-f(y)-f(1)|f(x)-f(0)|+|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(1)|<12|x-0|+12|x-y|+12|y-1|=12x+12(y-x)+12(1-y)=12,即得|f(x)-f(y)|<14,對所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k14.因此k的最小值為14.法二:當(dāng)|x-y|12時,|f(x)-f(y)|<12|x-y|14,當(dāng)|x-y|>12時,|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(1)-f(y)-f(0)|f(x)-f(1)|

11、+|f(y)-f(0)|<12|x-1|+12|y-0|=12(1-x)+12y=12+12(y-x)<14,對所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|<k恒成立,只需k大于|f(x)-f(y)|的最大值即可.故k14.因此k的最小值為14.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個試題考生都必須做答.第22題第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(2014遼寧,理13)執(zhí)行右側(cè)的程序框圖,若輸入x=9,則輸出y=. 答案:299解析:輸入x=9,則y=5,|y-x|=4>1,執(zhí)行否,x=5,y

12、=113,|y-x|=43>1,執(zhí)行否,x=113,y=299,|y-x|=49<1,執(zhí)行是,輸出y=299.14.(2014遼寧,理14)正方形的四個頂點a(-1,-1),b(1,-1),c(1,1),d(-1,1)分別在拋物線y=-x2和y=x2上,如圖所示,若將一個質(zhì)點隨機投入正方形abcd中,則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是. 答案:23解析:由題意可知空白區(qū)域的面積為-11 x2-(-x2)dx=23x3|-11=43.又正方形的面積為4,陰影部分的面積為4-43=83,所求概率為834=23.15.(2014遼寧,理15)已知橢圓c:x29+y24=1,點m與c

13、的焦點不重合.若m關(guān)于c的焦點的對稱點分別為a,b,線段mn的中點在c上,則|an|+|bn|=. 答案:12解析:如圖,設(shè)mn的中點為p,則由f1是am的中點,可知|an|=2|pf1|.同理可得可知|bn|=2|pf2|.|an|+|bn|=2(|pf1|+|pf2|).根據(jù)橢圓定義得|pf1|+|pf2|=2a=6,|an|+|bn|=12.16.(2014遼寧,理16)對于c>0,當(dāng)非零實數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大時,3a-4b+5c的最小值為. 答案:-2解析:要求|2a+b|最大值,只需求(2a+b)2的最大值.4a2-

14、2ab+4b2-c=0,4a2+b2=c+2ab-3b2.(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab-3b2+4ab=c+6ab-3b2=c+3b(2a-b)=c+32·2b(2a-b)c+322b+(2a-b)22=c+322a+b22,即(2a+b)285c,當(dāng)且僅當(dāng)2b=2a-b,即3b=2a時取到等號,即(2a+b)2取到最大值.故3b=2a時,|2a+b|取到最大值.把3b=2a,即b=2a3代入4a2-2ab+4b2-c=0,可得c=409a2.3a-4b+5c=3a-423a+5409a2=3a-6a+98a2=981a2-83a=981a-432-2.當(dāng)1a=4

15、3時,3a-4b+5c取到最小值-2.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2014遼寧,理17)在abc中,內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且a>c.已知ba·bc=2,cos b=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(b-c)的值.分析:(1)將條件中的ba·bc=2,轉(zhuǎn)化為邊角的量表示,可得a與c的關(guān)系,再結(jié)合余弦定理列方程組求解.(2)由(1)及正弦定理可得sin c,進而求出cos c,再由兩角差的余弦公式求出cos(b-c)的值.解:(1)由ba·bc=2,得c·acos b=

16、2.又cos b=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos b.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在abc中,sin b=1-cos2b=1-132=223,由正弦定理,得sin c=cbsin b=23·223=429.因a=b>c,所以c為銳角,因此cos c=1-sin2c=1-4292=79.于是cos(b-c)=cos bcos c+sin bsin c=13·79+223·429=2327.18.(

17、本小題滿分12分)(2014遼寧,理18)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;(2)用x表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機變量x的分布列,期望e(x)及方差d(x).分析:(1)先由頻率分布直方圖計算出日銷售量不低于100和日銷售量低于50的概率.再由3天中連續(xù)2天日銷售量不低于100,可分為第1,2天或第2,3天日銷售量不低于100兩種情況,從而由獨立事件概率公式求值.(2

18、)由題意知隨機變量x服從二項分布,則可列出分布列及求出期望、方差.解:(1)設(shè)a1表示事件“日銷售量不低于100個”,a2表示事件“日銷售量低于50個”,b表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”.因此p(a1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,p(a2)=0.003×50=0.15,p(b)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)x可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為p(x=0)=c30·(1-0.6)3=0.064,p(x=1)=c31·0.

19、6(1-0.6)2=0.288,p(x=2)=c32·0.62(1-0.6)=0.432,p(x=3)=c33·0.63=0.216.分布列為x0123p0.0640.2880.4320.216因為xb(3,0.6),所以期望e(x)=3×0.6=1.8,方差d(x)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.19.(本小題滿分12分)(2014遼寧,理19)如圖,abc和bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120°,e,f分別為ac,dc的中點.(1)求證:efbc;(2)求二面角e-bf-c的正弦值.分析:

20、法一:幾何法.(1)證明線線垂直,可由線面垂直證得,可尋求過ef的平面與bc垂直即可.(2)由面面垂直可得線面垂直,再利用線面垂直性質(zhì)構(gòu)造二面角求解.法二:建立空間直角坐標(biāo)系.(1)求各點坐標(biāo),利用向量垂直的條件證明線線垂直.(2)平面bfc的法向量易求出,平面bef的法向量可運用法向量條件求得,再運用公式求出兩法向量夾角的余弦值,進而求出所求正弦值.(1)證明:(方法一)過e作eobc,垂足為o,連of,由abcdbc可證出eocfoc.圖1所以eoc=foc=2,即fobc.又eobc,因此bc面efo.又ef面efo,所以efbc.圖2(方法二)由題意,以b為坐標(biāo)原點,在平面dbc內(nèi)過b

21、作垂直bc的直線為x軸,bc所在直線為y軸,在平面abc內(nèi)過b作垂直bc的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.易得b(0,0,0),a(0,-1,3),d(3,-1,0),c(0,2,0),因而e0,12,32,f32,12,0,所以,ef=32,0,-32,bc=(0,2,0),因此ef·bc=0.從而efbc,所以efbc.(2)解:(方法一)在圖1中,過o作ogbf,垂足為g,連eg.由平面abc平面bdc,從而eo面bdc.又ogbf,由三垂線定理知egbf.因此ego為二面角e-bf-c的平面角.在eoc中,eo=12ec=12bc·cos 30°=

22、32,由bgobfc知,og=bobc·fc=34,因此tanego=eoog=2.從而sinego=255,即二面角e-bf-c正弦值為255.(方法二)在圖2中,平面bfc的一個法向量為n1=(0,0,1).設(shè)平面bef的法向量n2=(x,y,z).又bf=32,12,0,be=0,12,32.由n2·bf=0,n2·be=0得其中一個n2=(1,-3,1).設(shè)二面角e-bf-c大小為,且由題意知為銳角,則cos =|cos<n1,n2>|=n1·n2|n1|n2|=15.因此sin =25=255,即所求二面角正弦值為255.20.(本

23、小題滿分12分)(2014遼寧,理20)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸、y軸正半軸圍成一個三角形,當(dāng)該三角形面積最小時,切點為p(如圖).雙曲線c1:x2a2-y2b2=1過點p且離心率為3.(1)求c1的方程;(2)橢圓c2過點p且與c1有相同的焦點,直線l過c2的右焦點且與c2交于a,b兩點.若以線段ab為直徑的圓過點p,求l的方程.分析:(1)設(shè)出切點p的坐標(biāo),利用直線和圓相切的性質(zhì),求出切線,進而求出切線與坐標(biāo)軸的交點,運用基本不等式求出取最值時p的坐標(biāo)代入雙曲線方程求得結(jié)果.(2)運用待定系數(shù)法求出橢圓方程,將以ab為直徑的圓過點p轉(zhuǎn)化為pa·pb=0,運用韋達定理求解

24、.解:(1)設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-x0y0,切線方程為y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此時,兩個坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為s=12·4x0·4y0=8x0y0.由x02+y02=42x0y0,知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=2時x0y0有最大值,即s有最小值.因此點p的坐標(biāo)為(2,2).由題意知2a2-2b2=1,a2+b2=3a2.解得a2=1,b2=2.故c1方程為x2-y22=1.(2)由(1)知c2的焦點坐標(biāo)為(-3,0),(3,0),由此設(shè)c2的方程為x23+b12+y2b12=1,其

25、中b1>0.由p(2,2)在c2上,得23+b12+2b12=1,解得b12=3.因此c2方程為x26+y23=1.顯然,l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+3,點a(x1,y1),b(x2,y2).由x=my+3,x26+y23=1得(m2+2)y2+23my-3=0.又y1,y2是方程的根,因此y1+y2=-23mm2+2,y1y2=-3m2+2.由x1=my1+3,x2=my2+3,得x1+x2=m(y1+y2)+23=43m2+2,x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+3=6-6m2m2+2.因為ap=(2-x1,2-y1),bp=(2-x2,2-y2).由題意知ap&

26、#183;bp=0,所以x1x2-2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+4=0.將,代入式整理,得2m2-26m+46-11=0.解得m=362-1或m=-62+1.因此直線l的方程為x-362-1y-3=0或x+62-1y-3=0.21.(本小題滿分12分)(2014遼寧,理21)已知函數(shù)f(x)=(cos x-x)(+2x)-83(sin x+1),g(x)=3(x-)cos x-4(1+sin x)ln3-2x.證明:(1)存在唯一x00,2,使f(x0)=0;(2)存在唯一x12,使g(x1)=0,且對(1)中的x0,有x0+x1<.分析:(1)先判斷f(x)的單調(diào)性,再

27、運用根的存在性定理證明.(2)可構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)1+sinx,再換元后,結(jié)合(1)可求出x0與x1的關(guān)系.證明:(1)當(dāng)x0,2時,f'(x)=-(1+sin x)(+2x)-2x-23cos x<0,函數(shù)f(x)在0,2上為減函數(shù).又f(0)=-83>0,f2=-2-163<0,所以存在唯一x00,2,使f(x0)=0.(2)考慮函數(shù)h(x)=3(x-)cosx1+sinx-4ln3-2x,x2,.令t=-x,則x2,時,t0,2.記u(t)=h(-t)=3tcost1+sint-4ln1+2t,則u'(t)=3f(t)(+2t)(1+sint).

28、由(1)得,當(dāng)t(0,x0)時,u'(t)>0.當(dāng)tx0,2時,u'(t)<0.在(0,x0)上u(t)是增函數(shù).又u(0)=0,從而當(dāng)t(0,x0時,u(t)>0.所以u(t)在(0,x0上無零點.在x0,2上u(t)為減函數(shù),由u(x0)>0,u2=-4ln 2<0,知存在唯一t1x0,2,使u(t1)=0.所以存在唯一的t10,2,使u(t1)=0.因此存在唯一的x1=-t12,使h(x1)=h(-t1)=u(t1)=0.因為當(dāng)x2,時,1+sin x>0,故g(x)=(1+sin x)h(x)與h(x)有相同的零點,所以存在唯一的x1

29、2,使g(x1)=0,因為x1=-t1,t1>x0,所以x0+x1<.請考生在第22,23,24三題中任選一題做答.如果多做,則按所做的第一題記分.做答時用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑.22.(本小題滿分10分)(2014遼寧,理22)選修41:幾何證明選講如圖,ep交圓于e,c兩點,pd切圓于d,g為ce上一點且pg=pd,連接dg并延長交圓于點a,作弦ab垂直ep,垂足為f.(1)求證:ab為圓的直徑;(2)若ac=bd,求證:ab=ed.分析:(1)證明ab是直徑,即證明bda=90°.由pfa=90°,從而尋求bda=pfa就可證明

30、.(2)要證ab=de,即證de為直徑,連dc,即證dce=90°,從而只需證明abdc即可.證明:(1)因為pd=pg,所以pdg=pgd.由于pd為切線,故pda=dba.又由于pgd=ega,故dba=ega,所以dba+bad=ega+bad,從而bda=pfa.由于afep,所以pfa=90°.于是bda=90°.故ab是直徑.(2)連接bc,dc.由于ab是直徑,故bda=acb=90°.在rtbda與rtacb中,ab=ba,ac=bd,從而rtbdartacb.于是dab=cba.又因為dcb=dab,所以dcb=cba,故dcab.由于abe