正弦定理和余弦定理導(dǎo)學(xué)案及習(xí)題

1、高一數(shù)學(xué)必修5解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(第一課時)一、學(xué)習(xí)目標：1 .在初中解直角三角形的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理，通過定理的簡單應(yīng)用，使學(xué)生能夠熟使用定理解決相關(guān)問題.二、教學(xué)重點與難點重點：正弦定理的探索和簡單應(yīng)用。難點：探索過程的組織和引導(dǎo)。三、教法與建議學(xué)生分組討論，教師引導(dǎo)總結(jié)。四、教學(xué)練評活動程序【課前診斷】1、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)0 °30 °45 °60 °90 °弧度制sin a在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖在Rt ABC中，

2、設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ab一 sin A, sincc1.1-2 ,B ,又cos atan a2、設(shè) ABC的三邊為a、b、c,對應(yīng)的三個角為 A、B、C.(1) .角與角關(guān)系：,(2) .邊與邊關(guān)系： a + b > c, , ;a b < c, , .3、解直角三角形( ABC中，/ C=90° ,每小題6分，共24分):1 .已知：c= 8 V3 , / A=60° ,求/ B、a、b.I2 .已知：a= 3 V6 , /A = 30° ,求/ B、b、c.r3 .已知：a=6, b=2 V3 ,求

3、 /A、/ B、c.【構(gòu)建新知】【活動11想一想:sin C 1 c, csin B從而在直角三角形 ABC中,sin A sin B sin C思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立?（圖 1.1-2）正弦定理：在一個三角形中， ，即思考：下列有關(guān)正弦定理的敘述正確的是：正弦定理只適用于銳三角形；正弦定理不適用于直角三角形；(3在某一確定三角形中，各邊與它對應(yīng)的角的正弦的比是定值； 在 ABC 中，A:B:C a:b:c【活動2】讓學(xué)生思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由兩邊一角求出一角，能否由兩角一邊求出一邊?【例 11 在 ABC

4、中，已知 a=10, A=45° , C = 75° ,則 b=【例2】(1)在 ABC中，已知A 30 ,a 8, b &/馬，求B.【課中檢測】1、在 ABC中，A 30 ,a 3,則 ABC的外接圓半徑為()3(A) (B) 3(C) 3'3(D) 622、在 ABC中，已知下列條件，解三角形(邊長精確到1cm)：* J A 45 ,C 30 ,c 10cm；(2)A 60 ,B 45 ,c 20cm。3、在 ABC 中，已知 a J3,b J2,B 45 ,且 A C ,求 A,C 和 c .4、在 ABC 中，A 60 , a 473,b 4J2

5、,求 B。【課后檢測】11 .在 ABC 中，a 3,b 5,sinA ，則 sin B31.1. ABC中，已知A 30 ,a 3,則 ABC的外接圓的半徑是。3 .在 ABC 中，A 60：, B 45 , BC 3應(yīng)，則 ac=4 .在 ABC中，根據(jù)下列條件解三角形：(D a ,3,b,2, B 45 ,(2)b 、3,c 1,B 60 ,5 、在 ABC 中，A: B 1:2,sinC 1,求 a:b:c 。1.1.1 正弦定理(第二課時)一、學(xué)習(xí)目標：1 .在初中解直角三角形的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理，通過定理的簡單應(yīng)用，使學(xué)生能夠熟使用定理解決相關(guān)問題.二、教學(xué)重點與難點重點

6、：正弦定理的探索和簡單應(yīng)用。難點：探索過程的組織和引導(dǎo)。三、教法與建議學(xué)生分組討論，教師引導(dǎo)總結(jié)。四、教學(xué)練評活動程序【課前診斷】1 .在 ABC中，A 75,B 45, c 1,求最短邊的長度。2 .在 ABC中，a 瓜 b J2, B 45：，解三角形?！緲?gòu)建新知】【活動U利用等比、連比性質(zhì)，正弦定理還有哪些變形？【例1】在ABC中，一定成立的是()(A) asinA bsin B (B) acosA bcosB (C) asinB bsin A (D) acosB bcosA【例3】在 ABC中，角A, B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c.若 C 120,c J2a ,則a . a bb.

7、a bc. a bd.不確定【課中檢測】1、在 ABC中，若a> b,則sin A sinB ,反之成立嗎？2、在 ABC 中，A: B 1: 2,sin C 1 ,則 a:b:c 等于3、在銳角 ABC中，角A,B對應(yīng)的邊分別為a,b.若2asinB J3b ,求角A。 ._ _. 一 a c4、在銳角 ABC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c.且滿足 -=，求角Csin A . 3sin C【課后檢測】1、根據(jù)下列條件，解ABC :(1)已知 A 60：,C 45 ,b 20 ； (2)已知 A 30 , a V2, b 2.2、在銳角 ABC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,

8、b,c.若a 2bsinB,求角C。13、ABC的內(nèi)角A, B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知3acosC 2ccosA,tanA -，求 B 3的大小。 sinA cosB -4、在 ABC中，若，則求角Boa b5、 ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知a J2, b 2,sin B cosB J2 ,求A的大小?！纠?】在 ABC中，角A, B對應(yīng)的邊分別為a,b.若2asinB b,求角A1.1.2余弦定理（第一課時）一、學(xué)習(xí)目標：以解直角三角形為基礎(chǔ)，通過幾何法推導(dǎo)余弦定理，并能夠應(yīng)用定理解決相關(guān)的解直角三角形的問題。二、教學(xué)重點與難點重點：余弦定理的推導(dǎo)過程及

9、運用；難點：余弦定理的靈活運用。三、教法與建議學(xué)生分組討論，教師引導(dǎo)總結(jié)。五、教學(xué)練評活動程序【課前診斷】1、不查表求cos15；的值。2、在 ABC 中，A 60 , a 15,b 10,求 cosB【引導(dǎo)探究，獲得新知】【活動U聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決下面這個問題?如圖 1.1-4 ,在 ABC中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求邊c（圖 1.1-4）余弦定理：即:【活動2】讓學(xué)生思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能 否由三邊求出一角？從余弦定理，又可得到以下推論：【活動3】讓學(xué)生思考：勾股定理指出了直角三角形

10、中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角 形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？【活動4】討論余弦定理有哪些作用？例1.在 ABC中，一定成立的是（）（A） b2 c2 a2 2accosB（B）a2 c2 b2 2accosA（C） b2 a2 c2 2accosB（D）a2 b2 c2 2ab cosC例2.在 ABC中，已知a 6,b 6j3,C 30，則c的值為.例3.在 ABC中，已知AB 3, BC J13, AC 4 ,求角A【課中檢測】1 .在 ABC 中，已知 AC 2, BC J3, A 30 ,求 AB2、在 ABC中，已知a <3,b J2,B

11、 45 ,解三角形.3、在 ABC中，如果a禽 1,b 2,c，2 ,那么 C等于（）（A） 15（B） 30（C） 45（D）604、在 ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到0.1度，邊長精確到0.1厘米）（1） a 7cm, b 10cm,c 6cm a 9cm,b 10cm, c 15cm【課后檢測】11. ABC的兩邊長分別為2, 3,其夾角的余弦值為一，求另一邊長。32、在 ABC 中，已知 AB 1,BC 2,B 60 ,求 AC3、在 ABC 中，已知 AB 5,BC 7, AC 3,求 BAC4、 ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若a 3,b 2,co

12、s（A B） cosC ; c o5、在 ABC 中，已知 a 5,b 3,C 120：,求 sin A6.已知 ABC勺三邊長a=3, b = 5, c=6,則 ABC勺各角的余弦值1.1.2余弦定理（第二課時）一、學(xué)習(xí)目標：.直角三角形.等腰直角三角形1、在 ABC 中，A 60：, AC4, BC 2J3,求ABC的面積。以解直角三角形為基礎(chǔ)，通過幾何法推導(dǎo)余弦定理，并能夠應(yīng)用定理解決相關(guān)的解直角三角形的問題。二、教學(xué)重點與難點重點：余弦定理的推導(dǎo)過程及運用；難點：余弦定理的靈活運用。三、教法與建議學(xué)生分組討論，教師引導(dǎo)總結(jié)。五、教學(xué)練評活動程序【課前診斷】1、在 ABC中，已知a 2,

13、b 2 J2,C 15：,解三角形2、已知 ABC勺三邊長a 2，3, b 272, c J6 22 ,則 ABC勺各角【引導(dǎo)探究，獲得新知】【活動U聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決下面這個問題?如圖 1.1-3 ,在 ABC中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和 C,求 ABC的面積。（圖 1.1-3）例1、在 ABC中，已知A 30 ,a 8,b 8，3,求 ABC的面積， 例2、已知銳角 ABC的面積為3 J3, BC 4, CA 3 ,則角C大小為（A） 30：（B） 45：（0 60；（D） 75：例3、在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c ,若一

14、a b,則 ABC的形狀一定 cos B cos A是（）A.等腰三角形BC.等腰三角形或直角三角形D【課中檢測】2 、 ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知b 2,B ,C ,求 ABC的面積。 643 .已知ABC勺三邊長a=3, b = 5, c=6,則ABC勺面積是（）A14B, 2 14C. 15D. 2 154、在 ABC中，角A, B,C所對的邊為a,b,c,已知a 2bsinA,c J3b（1）求B的值；（2）若 ABC的面積為2J3 ,求a,b的值5、 abc中，若c 2a cosB ,則aabc的形狀為（）A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.銳角

15、三角形-, c cosC6、已知：在/ ABC中,-,則此二角形為b cosBA.直角三角形 B.等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D.等腰或直角三角形【課后檢測】1、在 ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積：（1）已知 a 3,c 4,B 30： （2）已知 A 75 ,b 4,C 452、已知銳角 ABC的面積為3J3, BC 4, CA 3 ,則角C大小為3、在銳角 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,且2asin B J3b.（1）求角A的大??；（2）若a 6,b c 8,求 ABC的面積。4、在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a 2bcosC,則

16、ABC的形狀一定是（）A.等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形5、在 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若bcosC ccosB asinA,則 ABC的形狀為（）A.銳角三角形B.直角三角形.不確定C.鈍角三角形【活動11閱讀課本相關(guān)內(nèi)容，認識實際測量中的有關(guān)名詞和術(shù)語:鉛錘平面:一、學(xué)習(xí)目標：1.2正余弦定理實際應(yīng)用坡角:坡比:1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語 二、教學(xué)重點與難點視角:仰角和俯角:重點：實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形, 難點：根據(jù)題意建

17、立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。三、教法與建議學(xué)生分組討論，教師引導(dǎo)總結(jié)。四、教學(xué)練評活動程序【課前診斷】得到實際問題的解。方向角:方位角:【課中檢測】例1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在 A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定1、ABC 中，A45”，B 60,a 10,則 b 等于(BAC=51 ,點C,測出AC的距離是55m,ACB=75。求A、B兩點的距離（精確到0.1m）2、3、4、A.A.5 .2ABC 中,63ABC 中,60ABC 中,(A)3b=30B.10.210 .635645c=45b2或135c=1,則最短邊長為（ab ，C.例2 如圖6-29 ,在山坡上

18、種樹，要求株 距（相鄰兩樹間的水平距離）是5.5m,測得斜坡的 傾斜角是24。，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是 多少（精確到0.1m）.C.120d. 30角A, B,C所對的邊分別是a,b,c,J3bsin A ,則 sin B(B-3. 6(C)3一 6(D)3 E> 5一5米5、6-33 ,水庫大壩的2.5 ,求斜坡AB的坡面角1在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a,b,c,已知a 2, c 3, cosB - 4（I）求b的值;例3同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖 橫斷面是梯形，壩頂寬 6m,壩高23m,斜坡AB的坡度i=1 : 3,斜坡CD的坡度i=1 ： ”，壩底寬AD和斜坡AB的長（精確到0.1m）.(II )求sin C的值.【構(gòu)建新知】例4如圖6-32,海島A的周圍8海里內(nèi)有暗礁，魚船跟蹤魚群