一元函數的連續(xù)性

1、NO.*第二章一元函數的連續(xù)性§ 2.1連續(xù)函數的基本性質及其有關證明題要點 要證f (x)在I上連續(xù)，只要證x/xo w I , lim f (x) = f (xo ) x-xo常用方法：(1)利用定義：V£>o, 36 >0,當 x-x0 時，f(x)f(x0 b<£； (2)利用左右極限:f (xo +0) = f (x° F f (x0 0 )(3)利用序列的語言：X/xn t xo,有f(xn)T f(xo)(4)利用鄰域的語言：vs>o, ：36>o,使得 f x0 6,x0+S )Jc(f(xo )% f(x0

2、 )+s);(5)利用連續(xù)函數的四則運算性質.例1設f(x)是a,b止的單調遞增函數，其值域為f(a)f(bj.證明f(x)在b,b上連續(xù).證明(反證法)假若結論不成立，即存在x0 a,b 使彳導f(x)在x0不連續(xù).由于f (x)是單調遞增的，xo是第一類間斷點(P73, Ex 6).因此f(xo )f(xo -0 )W f(xo +0) f(xo )中至少 有一個大于 0(否則若 f(xo )<f (xo -0 ) f(xo +0) W f(x0 ),則 f(xo +0) Wf (xo A f(x0 -0), 而 f(x)是單調遞增的，f(x00) Ef(x0 +0), f (x0

3、+0) = f(x0 )=f(x0 0 四盾！)不妨設f (xo )_ f (xo 0 )>0,即f (xo卜f (xo 0 )從而f (xo萬f (xo -0 )之間的任何數都不在f(a)f(b M內.再由f(x)是單調遞增的，矛盾！故f(x)在la,b上連續(xù). r 1例2證明Riemann函數r(x)= " ,當x =：,。為既約分數，q >0,在無理點上連續(xù)，在有理 、0,當用無理數點上間斷.證明 (1)先證R(x)在有理點上間斷.設x0為有理點,x0 =-p (為既約分數，q>0).則 qR(x0)=1)0.由無理點集在實數集中的稠密性，存在無理點列IxnU

4、 x0(當nT s時)，但q|R(xn )-R(x0 j = o- =->0 (對任意正整數n),即R(xn)不收斂到R(x0).所以R(x)在有 q q理點處不連續(xù).(2)再證R(x)在0,1用無理點上連續(xù).設為xow 0,1比理點，則R(x0) = 0. X/8A0,由R(x)的 定義可知，R(x)之名的點x在0,1】上最多只有有限多個(事實上，要R(x) 土名的x必須為有理 點設x =E ,則R(-p) =->&, 0p <q<-.可見滿足此不等式的有理數p最多只有有限q q q；q個).分別記為 Xi , x2，xn.令 d =min 4 x0 , xn

5、，xo，x1 x0 h>0 ,則在(x0 &x0 +6)內不含有 R(x)之名的點，即有|R(x)Rx0卜 R(x|)m名.所以R(x)在0,1內無理點上連續(xù).(3) R(x)以1為周期.事實上，x為無理數，R(x)=0=R(x+1)；若x=P，q>0,p,q為互質 q整數.則1 +x =q，而P +q與q互質整數，所以1 +x也為有理數，所以R(x)=1 =R(x+l qq故R(x)以1為周期.(4) R(x)在一切無理點上連續(xù).注 R(0)=1，因0=上為既約分數且q>0,只能有p=0,q=1. q例3若f (x)在(0,1步有定義，且ex f (x)與e應(0,

6、1)內都是單調遞增的，試證f (x)在(0,1)內連續(xù).證明(1)任取x0w(0,1 )因e,t施(0,1)內單調遞增知，當x>x0時，有e,x _e，x0 , ef x0 _ef x , f x。, f x (1),即f(x)單調遞減.故對任意x0w(0,1) f(x0 -0力f(x0+0)均存在.(2)由exf (x)單調遞增知，當x>x0時，有exf (x)之ex0f(x0).令xtx0+時，有ex0 f(x0 +0)之ex0f (%)，即 f (x0 +0)>f(x0 )(2). 在(1)式中令 xt x0 +得 f(x0)2 f(x0 +0)(3)，由(2)(3)知

7、 f(x0) = f(x0 +0).類似可證f(x0)=f(x0 0).所以f (x)在x0處連續(xù).由x0的任意性，f(x)在(0,1)內處處連續(xù).例4設f (x)在(a,b讓只有第一類間斷點，且Vx, y w (a,b )有f (x+y)三f ")+f(y).22證明f (x)在(a,bl讓連續(xù).證明任取x0w(a,b)當a<x<x0時，由條件f與當 J(x)；f(x0).x x0f x0 -0 f xy xt x0 ,貝”T x0 , f (x0 -0) <,22即 f (x0 -0) < f x0(1).當 x0 <x<b時,由條件 f(xl

8、當 Mf(x)+f(x0 ),令 xt x0+則上為t x0+,222f(x。+0) < ftx0 +0)+f(x),即 f(x。+0) w f (x。)(2).2故再設 a <x1 <x0 <x2 <b且 x1 +x2 =2x0,則有 f (x1 + x2) E f(x1 ) "x222在此式中令 XiT x。，X2TX0+,則 £風)/60*0)*"凡0)(3).2由(1)(2)(3)三式得出 f(x。+0) = f(x。)=f(X。0)所以 f(x)在 Xo 處連續(xù).由X0的任意性，f (x)在(a,b2處處連續(xù).例5設f (x

9、)在(-°o,收)上有定義，且 具有介值性即(若f (%) < N < f俗),則存在介于Xi與X2之間，使得f值)=N );(2)對任意有理數r,集合f (x )= r為閉集.試證f (x)在(,長c)上連續(xù).、一 II ， 一、一、, r、. ， r r， r . .1-. . -1證明(反證法)若f(x)在某一點X0處不連續(xù)，則存在曲>0,使得>0，三Xn，雖然Xn - X0 J ,nn但 |f (Xn )-f(x° 歸曲，即 &nT X0 (當 nT 8 時)但f (Xn »在 fX° ).，f(X0 戶曲”外.從

10、而在(f (X0 )-比，f(X0 )+新上外至少一側(例如在右側)含有f(Xn，的無窮多項，滿足f (xnk) > f (x0計瓦.在(f(X0)一比，f(x0 )+ &0)內任取一有理數r,由介值性，對每一xnk,存在4介于X0與Xnk之間，使彳導f(4 )=r(k =1,2,).因Xnk T X0,所以4 T X° (當kT%時)， 這表明X0是卬f (x )= r的一個聚點.據已知條件(2)知，x0 w&|f (x戶/，即f(x0片，這與f(x0 )cr矛盾！例6證明(1)若函數f (x), g(x)連續(xù)，則中(x戶min f (x )g(x，中(x尸m

11、axf (x )g(x，也連續(xù). (2)設3汽)，f2(x), f3(x)在a,b】上連續(xù)，令f(x)的值等于三值 3(x), f2(x), f3(x)中介于其 他二值之間的那個值.證明f(x)在a,b 連續(xù).-n當xWn時令un(x)=x 當n<x<n時 ，f(x)為實函數， 、n當x之n時試證明f(x)連續(xù)當且僅當gn(x)=Unf(x )1對任意固定的n,都是x的連續(xù)函數.證明中h)_f(x)+g(X)Tf(X)g(xb,中(x卜f(x)+g(x)+|f(x)g(x)；一2'一2'(2)f(x)=fx f2(x) f3 x -maxlfi x , f2 x ,

12、 f3 x Jminlfi x , f2 x , f3 x .' gn(x) =4 f x 1 = (n) f(x) n - maxLn, f (x )n - min、n, f (x )n(由(2)n + f (x j-|f (x )-n| .2由連續(xù)函數的運算性質即知它們連續(xù)例7設f(x)在a,b止連續(xù).證明M(x)=supf(t ), m(x)= inf f(t產0,b上連續(xù). a -：t xa _t _x證明 由連續(xù)函數在閉區(qū)間上必取上，下確界可知 M(x),m(x)在6,b】上處處有定義.又因上確界隨取值區(qū)間擴大而增大知，M(x)單調遞增，故每點的單側極限存在.任取 x0 a,

13、bl 只需證 M (xo +0) =M(x° )=M(x0 -0 KM(x) = sup f (t ) (1).a，W.由 M(x)遞增，有 M (xo -0) <M(xo )又一x a, xo W f (x)至 sup f t =MxHMx0f0， aE*所以M(x0 )=supf (x )WM(x0 0)故 式左等式成立.a又又0下用反證法證明 M(x0 +0) =M(xO )因M(x)單調遞增，M(x0 )<M(x0+0).假設M (x0 XM (x0 +0 )則取充分小的 g >0,使彳導M(x0廣，<M (x0 +0 ).于是對任意x >x0,

14、有M(x0)+ / <M (x0+0 )MM (x) = supf (t1由上確界的定義，存在ag£t a,x 屜彳導 f x0：0 E M x0 I，：0 ； f t (2).但在a,x° 上.f (x) < sup f (t )=M(x0 )所以式中的tE lx0，x,即存在面>0, V6 >0,當 a竺注t -xj <6時，有| f (tf (x0%，即f (x)在x0處不連續(xù)，矛盾!所以即,M (x)在la, b】上連續(xù)，m(x)在a,b 1上連續(xù)可類似證明.例8設f(x)在(g,%c)內對一切x都有f(x)=f(x2)且f (x)在x

15、=0與x=1處連續(xù).證明f(x)為一常數.1、1證明(1) X/x >0,由條件，f(x) = f x2 =f x4 =f x2n =.又 f (x)在 x=1 處連 I J I J I11 1 A續(xù)且當 n T 時，x2 =2''xT 1,故 f (x) =l%f x2n=f . l%x2n J=f(1)(2)當 x<0 時，f(x) =f (x2 )=f (1 X 由(1), x2 >0).(3)當 x=0 時，因 f (x)在 x=0處連續(xù).f(0) =lim f(x)= f (0 +0)= f(0 0 A f (1 ).x )0故f(x)三f (1獅數

16、.例9設f(x)是a,b lh的連續(xù)函數，且f(x )在a,b 是單調的.證明f(x)在Q,b】上也是單 調的.證明 若f(x)在B,b比恒有f(x)20或恒有f(x)M0,則由f(x)單調及f(x)=±f(x)可推 出f(x)單調.若f(x)在a,b上既取正值又取負值.不妨設x1<x2，滿足f(x1)>0, f(x2)<0 .由連續(xù)函數的介值性定理，存在xi <x0 <x2 ,使得f(x0)=0.從而f(xi )>0 = f(x0 k|f(x2),這例10設f (x)在a,b !h連續(xù)，且對任意xw k, b ,存在y w k, b 使彳導f(y

17、 )<1| f(x"證明存在a a a,b勝使得f化)=0.證明 任取xo w a,b 1則存在xi w a,b】使得f(xibwf(xo).F 2又存在 x?w a,b,使得 f(x2 <- f(xi 卜 - 2-如此下去，存在數列4b,b,使得|f (xn bwjf(xnb(n=23).從而有|f(xn厄，|f(xo>顯然有|f(xn卜0 (nT知.因&n任a,b謔有界數列，故存在收斂子列xnk .設區(qū)汨=g a,b】,則由f(x)在巴的連續(xù)性得imfxnk卜0，即|f(q = 0,故f(b=0.例 ii 設 f ： b,iL 01 為連續(xù)函數，且 f(

18、0)=0, f(i)=i, f(f(x)=x，試證 f(x)=x.證明 先證 f (x)為單射.設 x1, x2 w 0,1 且 f (x1) = f (x2 J,則 f (f (x1) = f (f (x2 ),即 x1 =x2. 所以f(x)為單射.(2)再證f(x)是嚴格單調的.若f (x)不嚴格單調，則存在x1 <x2 <x3使 f(xi) <f(x2 ) f(x2) Af 僅3 域.f (xi) > f(x2 ) f (x2 ) < f (x3 )下證情形i,情形2可類證.對任意N滿足 maxIf xi, f x3，'：二" f x2

19、.由f(x)連續(xù)及介值性定理，存在qw(x1,x2 ), Jw(x2,x3版f (匕)=2 = f().但這與f (x)為單射相矛盾！故f(x)嚴格單調.又f(0)=0, f (1)=1，故f(x)必是嚴格單調遞增的.(4)若 f (x) M x,則 f (f (x) < f (x),所以 x < f (x),進而 f (x) =x;若 xEf(x)，則 f (x A f (f (x)，所以 f(x)Ex,進而 f(x)=x.綜上可知 f(x)=x.例12設f(x)是a,b 的增函數，但不一定連續(xù)，如果f (a) >a, f (b) <b，試證存在x0w Q,b】使得

20、f(x°) =x°.證明 令M =&f (x戶x.因f(a)之a,知aM , M。上又M有上界，由確界原理 supM 存在.令 x0 =supM .24N0.*NO.*若Xo WM，則f (Xo)至Xo.若f (b)=b,則結論得證；若f(b)b,則bM .當xx。時,令XT X0 + 則 f (x0 +0) <x0.又 f (x)是增函數，從而 f (x0 +0) 2 f (x0 )所以 f (Xo) WXo,故 f (Xo) =Xo.(2)若 xo 2M ,則存在 &n u M，使 xn <xo 且 lim xn =xo .因 xn w M

21、, f (xn) > xn.令 nT°o,則 nn 口 n_.-'nnnXn T xo_,從而有 f (xo 一。)之 f (xo ).又 xo 是 M , f (xo) < xo,所以 f (xo) < f (xo -。).而 f (x)是增函數 進而f(Xo o)Ef(Xo),矛盾！綜上可知存在Xo a,b倏彳導f(Xo)=Xo.練習 設f(x)是o,1上的增函數，且f(o)o, f<1，試證存在xow(o,1)使;導f(xo)=x；.提小 構造集合M =| f (x )>2 ,令xo =supM ,類似例12來證明.25N。.*NO.*f

22、(x心0,z 止一致連續(xù) 進而f (x滸(0, V注 sin x1 -sin x21 < x1 -x2 , |sin x < x , x w例2證明f (x )=sin 在(0,1)上非一致連續(xù). x證明(1) 在(0,1 3取 4 ='，X； =-1一 n nn , nnnn+一2xn -xn -/<S , 仁 f (xnf 僅2nn jn +1 I 2)故f (x施(0,1卜非一致連續(xù).(2 Ve>0,取 6 =a2s>0, 當 x1 ,x2 w 1,1 組故f (x昨a,1注致連續(xù).例3證明f (x片應ln x在1,收讓:一致連續(xù)-JU：-B連續(xù).(

23、-i, -He ).，但在1,1)上一致連續(xù)(0 < aM1).一，取8 =1，則A0,只要n充分大總有 2L(n。=sinnn -sin. nn +一 ！ = 1 >名0.112jx1 一 x2 < 6 時, 有 .§ 2.2 一致連續(xù)性一、利用一致連續(xù)的定義及其否定形式證題要點 設f (x)在I上有定義(I為開，閉，半開半閉有限或無限區(qū)間)，則(1) f (x)在 I 上一致連續(xù) u >0, m6 a。，當 x',x''w I 且 x'-x'' <6 時，有 f(x')- f (x'&#

24、39; )<8 .f (x)在I上非一致連續(xù) 二 忍>0 , a0,英,x/I雖xgx己<6 ,但f (xg L f (xg )之名0_1_， ”一 . ， 一 、L, '''1一 J l 一 J ''U 3 SoA。，V >0,二xn,xn = I(n=1,2,)雖xn xn<,何 f (xn)f (xnJ 2 Wo.nn特另,若 mS。>0 , 3xn ,xn I ( n =1,2，)雖 im xnn = lim x； = a, n .n j ;但|f (xn )f (x：，*0( n=1,2，)，則可斷定f (x

25、)在I上非一致連續(xù).(3)若 f(x)在 I 上滿足利普希茲條件：| f (x'f (x'' ° W L|x'-x''( 7x', xy I ),其中L為常數.則f (x)在I上一致連續(xù).特別,若f(x)在I上有有界導函數，則f(x)在I上滿足利普希茲條 件.例1證明f(x尸sinjx在(0,收尸:一致連續(xù).證明(1)先證f(x)=sinjx在1/Hc)±一致連續(xù).事實上，寸名下0, 9 =min:>0,當 x1,x2 1,2M |x1 -x2| 愚時，有(2)補充定義x=0時, f (0)=0，則f(x)=si

26、n/G在0,1 上連續(xù)，從而在 如】上一致連續(xù).故30N0.*證明因 f x)=Jx In x, 求導得f'x =In x 22 xf''x =In x4x., x<0.故 f'(x)在 1,六c)上嚴格單調遞減又 lim f'(x)=lim ln x2L2 = lim 1= =0xx 2, x x，二.xlim+f' (x )=iimj x J2 =1 ,所以f(x)在1,也c )上有界.從而存在常數M >0 ,使得f'(x|)至 M xw 1,).從而 Vw>0, 取 6=>0 , 則當 xi,x2 W 1,F

27、)且 x1 -x2 M<5時,f (為卜 f (x2 ° = f jx1 x2 ° MM x1 -x2| <M .=名，其中介于 x1, x2之間，故 f (x )在 1,也上一致連續(xù).注 若f (x)在I上有有界導函數，則f(x)在I上滿足利普希茲條件.從而f (x)在I上一致連 續(xù),進而連續(xù).例4證明f(x)在I上一致連續(xù)u MxnL I ,仁是1只要xn x-0就有f xn T xn r 0( nr ：).證明 必耍性 因f(x)在I上一致連續(xù)，故VWA0,A-0,當x',x''w I且x'x''<6時

28、，有f (x'卜f (x”卜名(1).但xn x； t 0 ,( nT +受).所以對上述B >0 ,存在N >0 ,當 n aN 時,|xn -xn <6 .從而由式f 婷)一 f a, 即 f (xn A f (x；" 0( nT -He).充分性若f (x)在I上非一致連續(xù)，則3&0>0, yl>0 ,三xn,xn wI ( n=1,2，)盡管n'"1，一 ，工J " k _"_ ，一 一 J ， L - J ” L _ . .一 |、xn -xn < ,但f (x；卜f七宜譏.可見x；

29、一 x； T 0但f區(qū))一 f/卜0 ( nT 收)不成 n立,矛盾.例5設I是有限區(qū)間,f(x)在I上有定義.試證明f (x)在I上一致連續(xù)u f (x)把柯西列映 射為柯西列.證明 必耍性 因f (x)在I上一致連續(xù)，故V 8 A 0 ,葩A 0 ,當x', x' 'W I且x'-x'' < 6時,有 f(x'Af (x''卜名(1). 設qn為柯西列，則對上述 6>0 ,存在NA0,當n,m>N時， xn -xm <6 .從而由(1)式 | f (xnf (xm k *, 即f (xn )也為

30、柯西列.充分 性 若f (x)在I上非一致連續(xù)，則3&0 >0 , V->0 ,三x；，x； W I ( n=1,2，)盡管 nxn -x； <-, 但 f(xn )-f (x；歸曲(n=1,2，).又 I 是有限區(qū)間，x； w I ( n = 1,2，)，知 nq 昨在收斂子序列匕.因x'nx；T 0 ( nT 依),故x；中相應的子序列也收斂于 相同的極限.從而穿插之后,序列x'n , x； , xn2 , x；2，, xnk, x；k,也收斂為柯西列，但其像序列 ff(X：) f(Xn2), f (X'j ，f K), f(X：3 ，恒有

31、 f (Xnk )- f 口；卜憚而，不是柯西列，與已知矛盾.注I對有限性只在充分性用到，對無窮區(qū)間必要性仍成立.例6設f (x)在有限開區(qū)間(a,b p連續(xù).試證f (x)在(a, b戶一致連續(xù)u極限1而十£(*)及l(fā)im f(x)存在且有限.X b-證明 必要性 由條件，被e>0,主>0,當x',x”Ja,b)且|x'町<5時,有f(x'Jf(x''1<s (1).由柯西收斂準則知故 Vx', x''w (a,b ) a <x' <a 十 & a <x'

32、;' <a +6時，有 |x'x'' <6 時，從而由(1)有| f (x' ) f (x'.lim f(x)存在(有限)，同理可證lim f(x)存在(有限). x -a _x_b -lim f x , x = a充分性 令F(X)=d-f僅)a<X<b,則F(x)在k b】上連續(xù).由Cantor定理 lim f x , x = bF(x)在hb 上一致連續(xù)，從而F(x)在(a,b止一致連續(xù)，即f (x)在(a,b讓一致連續(xù).注(1) f (X)在(a,b是否一致連續(xù)取決于1 f(x)在端點附近的狀態(tài).應用本例容易判別f

33、 (x) =1sin x在(0,1 比一致連續(xù)，而 g (x) =sin 1, h(x) =ln X,在(0,1 讓非一致連續(xù). XX(2) f (x)在(a,b M一致連續(xù)，則f(x)在(a,b止是有界；反之，f (x)在(a, b )上連續(xù)有界，不一 定一致連續(xù)，如f(x) =sin.X(3) (a, b取為無窮區(qū)間時，本例的必要性不成立.如f (x) =x, g(x)=sin x在(一叫七)上一致 連續(xù)，但在端點士如處無極限，但對無窮區(qū)間充分性仍成立.例7設f (X)在(a, b止有連續(xù)白導函數，且lim J '(x)及l(fā)im f' (x)存在且有限. X七一十一p 試證

34、 f (x)在(a,b讓一致連續(xù);(2)極限lim f (x)及l(fā)im f (x)均存在. xa ,x_b 一證明(1)因f' (x)在(a,b )±有連續(xù)，且lim J '(x)及l(fā)im f '(x)均存在， X十一p lim . f' x , x = a令f (x) =/7 '(x ) a <x <b,則F (x)在Q, b】上連續(xù).由Cantor定理，F (x)在！a,b】上一致連續(xù) lim f '(x ) x =b從而F(x)在a, b有界，即f'(x)在a,b有界.于是存在常數La0,使得f'(x)

35、W L, xw (a, b).從而 V&A0,取每=：>0,則當 X1,x2 w(A,B 阻 X1 x2 <6 時，有f(X1 )- f (x2 b =| f '(巴奴1 x2 b ML X1 x2| <L ： = 8 ,其中-介于 X1 ,X2 之間，故 f(x)在(a, b止一致連續(xù).(2)由例6知f (x)在(a,b止一致連續(xù)，必有極限lim J (x)及l(fā)im f (x)均存在. x a -x b -例8若f (x)在(a, b周一致連續(xù)，則f (x)在(a, b尸:有界.證明(直接證法)設f(x)在(a,b產一致連續(xù)，則Vs>0,其>0,

36、當x1,x2 w(a,b )且x1 X2 <6時，有f(x1)_f(x2 |)<名.取“1,令自然數n滿足1 <6 .將區(qū)間(a,b)進彳rn等 分，分點為 xi =a +-(b -a )( i =1,2，n 1).任取 xw(a,b),則當 xwxi,xi時,有 |f (x 卜 f 囚)<1.從而 |f (x j<|f (為|+1 ( i =1,2，n _1).令 m =1max1f (xi，+ 1則 Vx Ja, b 聲 |f (x J<M ,所以 f (x)在(a,b)±有界.(直接證法)(反證法)若f (x)在(a,b讓無界，則存在&

37、;n u(a, b)使得f (xn+f (xn卜+1( n =1,2,).由致密性定理,xn存在收斂子序列xnk .由柯西收斂準則，知V&A0,例>0,當kN時，有Xnk .Xnk1：二二.但是另一方面又有f (xn-卜f (xnk同|(xn- j| f (xnk | >1 .由此可知f ( x)在R,b讓非一致連續(xù)，矛盾.例9若f(x)在a,也自連續(xù)且 42=人(有限)，則f (x)在k)上一致連續(xù)證明°)因 理J")=人，則由柯西收斂準則，>0,四>a,當x',x''>時, 有 f x' - f x&

38、#39;'：二；(*).(2)由Cantor定理，f(x)在上連續(xù)，從而一致連續(xù).故對此 8>0, 361 >0 ,當x,令 6=min%Q1,則當 x',：,x" a, +i m |x'x'時，有|f(x' 卜 f(x'b<8 (*).x''之a且x'x'' <6時，x',x''要么同屬于ia,A+ll要么同屬于h 8)從而由(*)與(*)知f (x' ) f (x'' )< &，即f (x)在a, F )上一致連續(xù).注limf(x)不是有限值時此結論也有可能成立.例如 f (x )7 x ln x在1,收止一致連續(xù).例io設f(x)在a,y u一致連續(xù)，9在la,口井連續(xù)且2imjf (x) %x】=0，證明中(x)在a,F)±也一致連續(xù).證明(1)因 limjf (x) -<P(x