泰勒公式課件實(shí)用教案

1、一、泰勒一、泰勒(ti l)公式公式0 xx nf x P x0nx x當(dāng)一個(gè)(y )函數(shù)f (x)相當(dāng)復(fù)雜時(shí),為了計(jì)算它在一點(diǎn)x=x0時(shí)，是比高階的無窮小.附近的函數(shù)值或描繪(miohu)曲線f (x)在一點(diǎn)P(x0,f(x0)附近的形狀時(shí),我們希望找出一個(gè)關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式函數(shù)近似表示f (x)且當(dāng))(xPn0annxxaxxaxxa)()()(020201機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共49頁第一頁，共49頁。012,naaaa首先確定多項(xiàng)式函數(shù)首先確定多項(xiàng)式函數(shù)(hnsh)(hnsh)的系數(shù)的系數(shù)假定f (x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)(mu )開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直

2、到 0010200,1!,2!, !nnaf xafxafxn afx這樣,對(duì)Pn(x) 求各階導(dǎo)數(shù),然后分別代入以上(yshng)等式得即得 (n+1)階的導(dǎo)數(shù)，并且要求滿足條件：, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn)( 0!212xPan, )(0 xf ,)(0)(!1xPannnn)(0)(xfn!21!1n)(00 xPan, )(0 xf)(01xPan, )(0 xf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共49頁第二頁，共49頁。把所求得的系數(shù)(xsh)代入得)(xPn)(0 xf)(00 xxxfnnxxxf)(0

3、0)(!1n200)(xxxf !21 nnf xP xRx0nxx其次其次(qc)(qc)證明證明是較顯然,Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到(zhdo)(n+1)階導(dǎo)數(shù)，且據(jù)此重復(fù)使用洛必達(dá)法則，可推得高階無窮小)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共49頁第三頁，共49頁。0)()(lim100nnxxxxxR0 xx0nx x時(shí)，是比高階的無窮小.即當(dāng)Rn(x)于是(ysh)f (x)可表示)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu

4、) 結(jié)束 第4頁/共49頁第四頁，共49頁。一、問題(wnt)(wnt)的提出1.1.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則有則有2.2.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,則有則有 )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共49頁第五頁，共49頁。xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例如例如, , 當(dāng)當(dāng)x很小時(shí)很小時(shí), , xex 1 , , xx )1ln(（如下（如下(rxi)圖）圖）機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回

5、 結(jié)束 第6頁/共49頁第六頁，共49頁。不足之處不足之處(b z zh ch)問題問題(wnt):尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤差誤差 )()()(xPxfxR 可估計(jì)可估計(jì)1、精確度不高、精確度不高2、誤差、誤差(wch)不能不能估計(jì)。估計(jì)。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在含有在含有0 x的開區(qū)間的開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,)(xP為多項(xiàng)式函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共49頁第七頁，共49頁。機(jī)動(dòng) 目錄

6、(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、nP(x)和和nR(x)的確定的確定 0 x)(xfy oxy分析分析(fnx):)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同若有相同(xin tn)的切線的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x,),()(且且近近似似程程度度要要好好若若要要xPxfn ?)(應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件xPn第8頁/共49頁第八頁，共49頁。設(shè)設(shè) nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得 nn

7、nxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa ),(! 202xfa ,).(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(0)(0)(xfxPnnn 機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共49頁第九頁，共49頁。三、泰勒三、泰勒(ti l)(Taylor)(ti l)(Taylor

8、)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個(gè)開區(qū)間的某個(gè)開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí), , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個(gè)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng))(xRn之和之和: : 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x與與 x之間之間) ). . )()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上

9、頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共49頁第十頁，共49頁。定理定理(dngl):泰勒泰勒(Taylor )中值定理中值定理(dngl),(bax有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中(qzhng)10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則對(duì)于(duy)任一 )0(之間與在xx如果f (x)在含有點(diǎn)x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共49頁第十一頁，共49頁。特例特例(tl):當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒(ti l)公式)(xf)(0 xf)(

10、0 xxf變成拉格朗日中值定理(dngl)0(之間與在xx公式稱為f (x)按 (x-x0) 的冪展開的帶有拉格朗日型公式 稱為拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng) .余項(xiàng)的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共49頁第十二頁，共49頁。拉格朗日形式拉格朗日形式(xngsh)的余的余項(xiàng)項(xiàng) 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾形式皮亞諾形式(xngsh)(xngsh)的余項(xiàng)的余項(xiàng)0)()(li

11、m00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第13頁/共49頁第十三頁，共49頁。注注: :取取00 x, , 1.1.當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰勒公式變成泰勒公式變成 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 10)1(00)(200000)(!)()(!)()(! 2)()()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf )10()(. 200 xxx又又 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁

12、/共49頁第十四頁，共49頁。二、幾個(gè)函數(shù)二、幾個(gè)函數(shù)(hnsh)的麥克勞林公式的麥克勞林公式,0間之與在則x上述公式(gngsh)稱為f(x)的麥克勞林( Maclaurin)公式(gngsh) .,00 x因此(ync)可令 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!) 1()()(nnnxnxfxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中取, ) 10 (x從而泰勒公式變?yōu)檩^簡單的形式,即 )(xRn其中機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共49頁第十五頁，共49頁。xexf)(xe1x!33x!nxn!22x故!) 1( n) 10(1nxxe例例1:1:求函數(shù)解解:

13、 :因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi)的n階麥克勞林展開式.所以(suy) nxfxfxfxe， 00001.nffff機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共49頁第十六頁，共49頁。xxfsin)(xsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中(qzhng)(2xRm)sin(212mx1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm令n=2m，于是(ysh)有例例2:2:求函數(shù)解解: :因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)(yn wi)的n階麥克勞林展開式.所以 cos ,sin ,cos ,fxx fxx fxx 4sin ,sin,2nfx

14、xfxx n 11sin,2nnfxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共49頁第十七頁，共49頁。! )2(2mxm類似(li s)地,可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中(qzhng)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx22x33xnxn)1ln(xx)(xRn其中(qzhng)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共49頁第十八頁，共49頁。)1 (x1x2xnx)(xRn其中(qzhng)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 1

15、0(!2 ) 1(! n) 1() 1(n以上介紹的幾個(gè)(j )函數(shù)的麥克勞林展開式，在應(yīng)用中經(jīng)常遇到，應(yīng)該(ynggi)熟記！機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共49頁第十九頁，共49頁。三、泰勒三、泰勒(ti l)公式公式的應(yīng)用的應(yīng)用1. 求較為求較為(jio wi)復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰勒展復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林展開式或泰勒展開式開式 2cosf xx211coscos2 ,22xx例例3:3:求解解: :因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) (yn wi) 又 的麥克勞林展開式.! )2(2mxmxcos1!22x!44xm) 1(!)22(m)cos() 1(1xm) 10(22

16、mx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共49頁第二十頁，共49頁。 242211111cos12212222!4!2!mmxxxxm 所以221222cos22 !2mmxxm，mmxm212!)2(2x2cos故12! 22x4! 423xm) 1(!)22(m)2222cos(212mxm) 10(22mx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第21頁/共49頁第二十一頁，共49頁。 0ln 11f xxx在1ln 1ln 21ln 2 12xxx所以 23111 111111ln2 ln 1ln2122223 22nnxxxxxn 例例4:4:求函數(shù) 解解: :因?yàn)?/p>

17、因?yàn)?yn wi)(yn wi) 處的泰勒(ti l)展開式.22x33xnxn)1ln(xx11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共49頁第二十二頁，共49頁。1111110112112nnnxnx ，即 21x2222) 1(xnnnx2) 1()1ln(x2ln111)1(21 ) 1(2) 1() 1(nnnnxxn) 10(1) 1(n3323) 1(x機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共49頁第二十三頁，共49頁。例例 5 5 計(jì)算計(jì)算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(

18、! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 )241.(21)(2lim, 01cos)(lim20420 xxfxxxfxxx求求練習(xí)：練習(xí)：利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共49頁第二十四頁，共49頁。2. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用(yngyng) )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(xe例例

19、5:5:利用利用(lyng)(lyng)的8階麥克勞林展開式計(jì)算(j sun)e的近似值,并估計(jì)誤差.e11!31!1n!21!) 1(1n) 10(e解解: :取n=8，進(jìn)行計(jì)算得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共49頁第二十五頁，共49頁。111 12.71829,2!8!e 581113 10 .9!9!Re 其誤差(wch) 機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共49頁第二十六頁，共49頁。xy xysin 五、小結(jié)(xioji)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第27頁/共49頁第二十七頁，

20、共49頁。xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)(xioji)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第28頁/共49頁第二十八頁，共49頁。xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)(xioji)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第29頁/共49頁第二十九頁，共49頁。xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy ! 7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)(xioji)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在

21、近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第30頁/共49頁第三十頁，共49頁。xysin !11! 9! 7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)(xioji)1 1. .T Tayloraylor 公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用; ;第31頁/共49頁第三十一頁，共49頁。2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第32頁/共49頁第三十二頁，共49頁。2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第33頁/共49頁第三十三頁，共49頁。2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第34頁/共49頁第三十四頁，共49頁。2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第35頁/共49頁第三十五頁，共49頁。2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第36頁/共49頁第三十六頁，共49頁。2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .第37頁/共49頁第三十七頁，共49頁。2 2. .T