《平面向量的實(shí)際背景及基本概念》實(shí)用優(yōu)質(zhì)課件

1、2.12.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念平面向量的實(shí)際背景及基本概念第二章第二章 平面向量平面向量2.1.1 2.1.1 向量的物理背景與概念向量的物理背景與概念2.1.2 2.1.2 向量的幾何表示向量的幾何表示2.1.3 2.1.3 相等向量與共線向量相等向量與共線向量 問(wèn)題問(wèn)題1:一千噸的大米和一千噸的鐵誰(shuí)更重一千噸的大米和一千噸的鐵誰(shuí)更重?問(wèn)題提出問(wèn)題提出速度是既有大小又有方向的量速度是既有大小又有方向的量.問(wèn)題問(wèn)題2:老鼠由老鼠由A向向東北方向東北方向以每秒以每秒6米的速度逃竄米的速度逃竄,而貓由而貓由A向向東南方向東南方向每秒每秒10米的速度追米的速度追. 問(wèn)貓能否問(wèn)貓能否抓到老鼠

2、抓到老鼠?質(zhì)量是只有大小沒(méi)有方向的量質(zhì)量是只有大小沒(méi)有方向的量.O OB BA A湖面上有三個(gè)景點(diǎn)湖面上有三個(gè)景點(diǎn)O,A,B,O,A,B,一游艇將一游艇將游客從景點(diǎn)游客從景點(diǎn)O O送至景點(diǎn)送至景點(diǎn)A,A,半小時(shí)后半小時(shí)后, ,游艇再將游客送至景點(diǎn)游艇再將游客送至景點(diǎn)B.B.1.1.在物理中，位移與路程是同一個(gè)概念嗎？為什么？在物理中，位移與路程是同一個(gè)概念嗎？為什么？1.向量的物理背景與概念向量的物理背景與概念2.2.物體受到的重力、物體在液體中受到的浮力物體受到的重力、物體在液體中受到的浮力, , 被拉長(zhǎng)或被拉長(zhǎng)或壓縮的彈簧的彈力壓縮的彈簧的彈力力是常見(jiàn)的物理量，也是既有大小又力是常見(jiàn)的物理

3、量，也是既有大小又有方向的量有方向的量. .G GFF（1）向量與數(shù)量）向量與數(shù)量 既有大小，又有方向的量叫做既有大小，又有方向的量叫做向量向量(物理學(xué)中稱(chēng)為矢量物理學(xué)中稱(chēng)為矢量); 只有大小，沒(méi)有方向的量叫做只有大小，沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量數(shù)量(物理學(xué)中稱(chēng)為標(biāo)量物理學(xué)中稱(chēng)為標(biāo)量).注意：注意：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大小能比較大??；向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向量向量不不能比較大小能比較大小. . 練習(xí)練習(xí) 下列物理量不是向量的是（下列物理量

4、不是向量的是（ ） 質(zhì)量質(zhì)量 速度速度 位移位移 力力 加速度加速度 路程路程 密度密度 功功辨析：溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量辨析：溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量. .（ ） 直角坐標(biāo)平面內(nèi)的直角坐標(biāo)平面內(nèi)的x軸，軸，y軸是向量軸是向量. . （ ）一個(gè)實(shí)數(shù)，可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；一個(gè)實(shí)數(shù)，可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；一個(gè)二次函數(shù)，可用一條拋物線表示；一個(gè)二次函數(shù)，可用一條拋物線表示；一個(gè)角的正弦、余弦和正切，可用三角函數(shù)線一個(gè)角的正弦、余弦和正切，可用三角函數(shù)線( (有向線段有向線段) )表示表示數(shù)學(xué)中有許多量都可以用幾何方式表示數(shù)學(xué)中有許多量都可以用幾何方式表示. .2.向量的幾何表

5、示向量的幾何表示由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以數(shù)量數(shù)量常常用常常用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，如表示，如3，2，-10123-1（1）數(shù)量的表示）數(shù)量的表示而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量.有向線段定義有向線段定義在線段在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)假設(shè)A為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，就說(shuō)線段為終點(diǎn)，就說(shuō)線段AB具有具有方向，具有方向的線段叫做有向線段方向，具有方向的線段叫做有向線段.A（起點(diǎn)）（起點(diǎn)）B（終點(diǎn)）（終點(diǎn)）如圖，以如圖，以A A為起點(diǎn)、為起點(diǎn)、B B為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的有向線段有向線段

6、記作記作 . .A Buuu r線段線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段的長(zhǎng)度也叫做有向線段 的長(zhǎng)度，記作的長(zhǎng)度，記作 .A Buuu r|A Buuu r思考：思考：一條有向線段由哪幾個(gè)基本要素所確定？一條有向線段由哪幾個(gè)基本要素所確定？箭頭所指的方向表示有向線段的方向箭頭所指的方向表示有向線段的方向.有向線段的三個(gè)要素：有向線段的三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.有向線段使向量的有向線段使向量的“方向方向”得到了表示，而線段的長(zhǎng)度得到了表示，而線段的長(zhǎng)度可表示向量的大小，這樣我們就可用有向線段表示向量可表示向量的大小，這樣我們就可用有向線段表示向量.（2）向量的幾何表示）向量的幾何表示（

7、3）向量的表示方法：）向量的表示方法：AB一般可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如一般可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如,A B C Duuu r uuu rK若表示向量的有向線段沒(méi)有標(biāo)注起點(diǎn)和終點(diǎn)字母，向量也可用黑體若表示向量的有向線段沒(méi)有標(biāo)注起點(diǎn)和終點(diǎn)字母，向量也可用黑體字母字母a，b，c，（書(shū)寫(xiě)時(shí)用注意用（書(shū)寫(xiě)時(shí)用注意用 表示），如上圖表示），如上圖. .,abcrrrLar用有向線段表示用有向線段表示.畫(huà)圖時(shí)，我們常用畫(huà)圖時(shí)，我們常用有向線段有向線段來(lái)表示來(lái)表示向量向量 ，線段按一定比例（標(biāo)度），線段按一定比例（標(biāo)度）畫(huà)出畫(huà)出.其中有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭

8、頭所指的方向表示其中有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向向量的方向.在建立了坐標(biāo)系后，還可以用坐標(biāo)表示向量（以后將學(xué)到）在建立了坐標(biāo)系后，還可以用坐標(biāo)表示向量（以后將學(xué)到）.向量向量 的大小，就是向量的大小，就是向量 的長(zhǎng)度（或模）的長(zhǎng)度（或模）, ,記作記作 ，A Buuu rA Buuu r|A Buuu r| |ar或者記作或者記作 . .（4）向量的模）向量的模思考：向量的模可以為思考：向量的?？梢詾? 0嗎？可以為嗎？可以為1 1嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎？嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎？零向量：零向量：長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為0的向量，記作的向量，記作 .單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚洪L(zhǎng)度等于長(zhǎng)度等于1個(gè)

9、單位的向量個(gè)單位的向量.0說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小， 不確定方向不確定方向. 故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.00a|a|（）注意：注意：向量是不能比較大小的向量是不能比較大小的,但但向量的模（是正數(shù)或零）向量的模（是正數(shù)或零）是可以是可以進(jìn)行大小比較的進(jìn)行大小比較的.ba|ba有意義有意義沒(méi)有意義沒(méi)有意義比例 1：800000解：解：ACAB.AB表示A地至B地的位移；AC表示A地至C地的位移.例例1 如圖，試根據(jù)圖中比例尺以及三地的位置，在圖中分如圖，試根據(jù)圖中比例尺

10、以及三地的位置，在圖中分別用向量表示別用向量表示A地至地至B、C兩地的位移，并求出實(shí)際距離兩地的位移，并求出實(shí)際距離（精確到（精確到1km）.例題分析例題分析例例2 某人從某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了點(diǎn)出發(fā)向西走了200m到達(dá)到達(dá)B點(diǎn)，然后改變點(diǎn)，然后改變方向向西偏北方向向西偏北60走了走了450m到達(dá)到達(dá)C點(diǎn)點(diǎn),最后又改變方向最后又改變方向,向東走了向東走了200m到達(dá)到達(dá)D點(diǎn)點(diǎn).(1)作出向作出向AB、BC、CD (1 cm表示表示200 m).(2)求求DA的模的模. 練習(xí)練習(xí) 已知飛機(jī)從已知飛機(jī)從A A地按北偏東地按北偏東3030方向飛行方向飛行20002000km到達(dá)到達(dá)B B地，再?gòu)牡兀?/p>

11、再?gòu)腂 B地按南偏東地按南偏東3030方向飛行方向飛行20002000km到達(dá)到達(dá)C C地，再地，再?gòu)膹腃 C地按西南方向飛行地按西南方向飛行1000 1000 km到達(dá)到達(dá)D D地地. .(1)(1)畫(huà)圖表示向量畫(huà)圖表示向量 ；(2)(2)求飛機(jī)從求飛機(jī)從A A地到達(dá)地到達(dá)D D地的位移所對(duì)應(yīng)的向量的模和方向地的位移所對(duì)應(yīng)的向量的模和方向. .,A Buuu r,B Cuuu rC Duuu r2B BA A東東北北C CD D模相等，方向相同；模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；模不相等，方向不相同；思

12、考思考1 1：向量由其模和方向所確定向量由其模和方向所確定. .對(duì)于兩個(gè)向量對(duì)于兩個(gè)向量 ，就，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？ a,b 3.相等向量與共線向量相等向量與共線向量 （1）相等向量：）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量向量 與與 相等，記作相等，記作 . abab（1 1）兩個(gè)向量不能比較大小，只有）兩個(gè)向量不能比較大小，只有“相等相等”與與“不相等不相等”的區(qū)別的區(qū)別. .A AB BC CD DA AB BC CD D注意：注意：（2 2）零向量與零向

13、量相等；零向量與零向量相等；（3 3）對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動(dòng)）對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動(dòng)的的. .因此任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并因此任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)；且與有向線段的起點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)；ABCDABCDABCD. 有向線段和是不同的；而向量和是同一個(gè)向量即向量和有向線段是兩個(gè)不同的概念即向量和有向線段是兩個(gè)不同的概念.由于有向線段具有由于有向線段具有長(zhǎng)度和方向雙重特征，所以向量可以用有向線段表示，但長(zhǎng)度和方向雙重特征，所以向量可以用有向線段表示，但不能

14、說(shuō)向量就是有向線段，二者只是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系不能說(shuō)向量就是有向線段，二者只是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. .D DC CB BA AB BA A思考思考2 2：如果非零向量如果非零向量 與與 是相反向量，通過(guò)平移使是相反向量，通過(guò)平移使起點(diǎn)起點(diǎn)A A與與C C重合，那么終點(diǎn)重合，那么終點(diǎn)B B與與D D的位置關(guān)系如何？的位置關(guān)系如何？ A Buuu rC Duuu r（2 2）相反向量：）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量. .向量向量 相反的向量記作相反的向量記作 . .aaaa零向量的相反向量仍是零向量零向量的相反向量仍是零向量. .aa )（規(guī)定規(guī)定: :辨

15、析：辨析：1)1)如果兩個(gè)向量所在的直線互相平行，那么這兩個(gè)向量是平行向量如果兩個(gè)向量所在的直線互相平行，那么這兩個(gè)向量是平行向量. .規(guī)定：零向量與任一向量平行規(guī)定：零向量與任一向量平行（3 3）平行向量：）平行向量：方向方向相同或相反相同或相反的的非零非零向量向量. . 向量向量 與與 平行，記作平行，記作 a / bab2)2)平行向量所在的直線一定互相平行平行向量所在的直線一定互相平行. .0,/ a a 即（ 任意)（平行或者重合）（平行或者重合）A AB BC CO Olabc思考思考3 3：將向量平移，不會(huì)改變其長(zhǎng)度和方向?qū)⑾蛄科揭?，不?huì)改變其長(zhǎng)度和方向. .如圖，設(shè)如圖，設(shè) 是

16、一組平行向量，任作一條與向量是一組平行向量，任作一條與向量 所在直線平行所在直線平行的直線的直線l，在，在l上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)O O，分別作，分別作 ，那么點(diǎn)那么點(diǎn)A A、B B、C C的位置關(guān)系如何？的位置關(guān)系如何？a,b,c aOAa, OBb, OCc任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，因此，平行向量平行向量也叫做也叫做共線向量共線向量.（即二者是同一個(gè)概念?。炊呤峭粋€(gè)概念?。┎皇遣皇? . 向量的平行、共線與平面幾何中線段的平行、共線向量的平行、共線與平面幾何中線段的平行、共線是不同的概念，是不同的概念，平行向量（共線向量）對(duì)應(yīng)的

17、有向線段既平行向量（共線向量）對(duì)應(yīng)的有向線段既可以平行也可以共線可以平行也可以共線. .思考思考4 4：如果非零向量如果非零向量 與與 是共線向量，那么點(diǎn)是共線向量，那么點(diǎn)A A、B B、C C、D D是否一定共線？是否一定共線？A Buuu rC Duuu r平行（共線）向量與平行線段、共線線段的區(qū)別：平行（共線）向量與平行線段、共線線段的區(qū)別：平行向量可以在同一直線上，但兩平行線肯定不在同一直線上；平行向量可以在同一直線上，但兩平行線肯定不在同一直線上；共線向量可以相互平行，在同一直線上的線段肯定不相互平行共線向量可以相互平行，在同一直線上的線段肯定不相互平行.思考思考5 5：若向量若向量

18、 與與 平行（或共線），則向量平行（或共線），則向量 與與 相相等或相反嗎？等或相反嗎？反之，若向量反之，若向量 與與 相等或相反，則向量相等或相反，則向量 與與 平行（或平行（或共線）嗎？共線）嗎？abababab向量相等或相反向量相等或相反 向量向量平行平行注意：注意：相等向量與相反向量是并列概念，相等向量與相反向量是并列概念，平行向量與共線向量是同一概念，平行向量與共線向量是同一概念，相等向量（相反向量）與平行向量是包含概念相等向量（相反向量）與平行向量是包含概念. .結(jié)論：平行向量不具有傳遞性，但結(jié)論：平行向量不具有傳遞性，但非零平行向量和相等向非零平行向量和相等向量都具有傳遞性量都具

19、有傳遞性. .思考思考7 7：對(duì)于向量對(duì)于向量 ，若，若 ， ，那么，那么 嗎？嗎？a,b,c a / bb/ ca / c0b 當(dāng)時(shí),成立.思考思考6 6：對(duì)于向量對(duì)于向量 ，若，若 ， ，那么，那么 嗎？嗎？ a,b,c abbcac注意：規(guī)定零向量與任一向量平行（共線），故在向量問(wèn)題中，注意：規(guī)定零向量與任一向量平行（共線），故在向量問(wèn)題中， 注意考慮零向量的特殊性！注意考慮零向量的特殊性！成立.小結(jié)小結(jié)練習(xí)練習(xí)：1、口答題：、口答題：(1) 平行向量是否一定方向相同？（平行向量是否一定方向相同？（ ）(2) 不相等的向量是否一定不平行？（不相等的向量是否一定不平行？（ ）(3) 與零向

20、量相等的向量必定是什么向量？（與零向量相等的向量必定是什么向量？（ ）(4) 與任意向量都平行的向量是什么向量？（與任意向量都平行的向量是什么向量？（ ）(5) 若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（么向量？（ ）(6) 兩個(gè)非零向量相等的充分必要條件是什么？?jī)蓚€(gè)非零向量相等的充分必要條件是什么？（ ）(7) 共線向量一定在同一直線上嗎？（共線向量一定在同一直線上嗎？（ ）不一定不一定不一定不一定不一定不一定零向量零向量零向量零向量平行向量平行向量長(zhǎng)度相等且方向相同長(zhǎng)度相等且方向相同例例3 3 如圖，設(shè)如圖，設(shè)O O為正六邊形為正六邊

21、形ABCDEFABCDEF的中心，分別寫(xiě)出與的中心，分別寫(xiě)出與 相等的向量相等的向量. .O AC BD O=uuu ruuu ruuu rO BD CEO=uuu ruuu ruuu r,O A O Buuu r uuu r11個(gè)個(gè)變式一：與向量變式一：與向量 長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？O Auuu r變式二：是否存在與向量變式二：是否存在與向量 長(zhǎng)度相等，方向相反的向量？長(zhǎng)度相等，方向相反的向量？O Auuu rFEuuu rBAFEDCO變式三：與向量變式三：與向量 共線的向量有哪些？共線的向量有哪些？O Auuu r， ，C B D O FEuuu ruuu ru

22、uu r例題分析例題分析練習(xí)練習(xí) 如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為正方形，為正方形，BCEBCE為等腰直角三角為等腰直角三角形形. .以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn), ,寫(xiě)出：寫(xiě)出：A AB BC CD DE EA Buuu r與向量與向量 模相等的向量：模相等的向量：與向量與向量 共線的向量：共線的向量：與向量與向量 相等的向量：相等的向量：與向量與向量 相等的向量：相等的向量：A Buuu rA Buuu rECuuu rAB相等的有相等的有7個(gè)個(gè)長(zhǎng)度相等長(zhǎng)度相等的有的有15個(gè)個(gè)練習(xí)練習(xí) 在在4 45 5排列方格中有一個(gè)向量排列方格中有一個(gè)向量 以圖中的格點(diǎn)為以圖中

23、的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，其中與起點(diǎn)和終點(diǎn)，其中與 相等的向量有多少個(gè)？與相等的向量有多少個(gè)？與 長(zhǎng)長(zhǎng)度相等的共線向量有多少個(gè)？度相等的共線向量有多少個(gè)？A Buuu rA Buuu rA Buuu r練習(xí)練習(xí) 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分別是分別是ABAB、BCBC、CACA邊邊上的點(diǎn)，已知上的點(diǎn)，已知 求證：求證： . . ,A DD B=uuu ruuu r,D FB E=uuu ruuu rD EA F=uuu ruuu rA AB BCD DE EF F例例4 4 判斷下列結(jié)論是否正確判斷下列結(jié)論是否正確. . （5 5）任一向量與它的相反向量不相等任一向量

24、與它的相反向量不相等 （2 2）不相等的向量一定不平行）不相等的向量一定不平行 （1 1）單位向量都相等）單位向量都相等 （3 3）若非零向量）若非零向量 , ,則則 /ABCD /ABCD （4 4）四邊形）四邊形ABCDABCD中中 , ,四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 ABDC 下面幾個(gè)命題：下面幾個(gè)命題： （2）若）若|a|=0，則，則a = 0（5）若）若a = b，b = c，則則a = c. A0B. 1 C. 2 D. 3 其中正確的個(gè)數(shù)是其中正確的個(gè)數(shù)是( )B（1 1）兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；

25、（4 4）若）若 , ,則四邊形則四邊形ABCDABCD是平行四邊形；是平行四邊形； ABDC （6）若）若a / b，b / c，則則a / c.（3）若）若|a|=|b|，則，則a = b 或或a = - -b ；例例5 5 對(duì)于下列各種情況，各向量的終點(diǎn)的集合分別是什么對(duì)于下列各種情況，各向量的終點(diǎn)的集合分別是什么圖形？圖形？(2)(2)把所有單位向量的起點(diǎn)平行移動(dòng)到同一點(diǎn)把所有單位向量的起點(diǎn)平行移動(dòng)到同一點(diǎn)P P；(1)(1)把平行于直線把平行于直線L L的所有單位向量的起點(diǎn)平移到的所有單位向量的起點(diǎn)平移到L L上的點(diǎn)上的點(diǎn)P;P;解解: : (1)(1)是直線是直線L L上與點(diǎn)上與點(diǎn)P P的距離為的距離為1 1的兩個(gè)點(diǎn)；的兩個(gè)點(diǎn)；(2)(2)是以是以P P點(diǎn)為圓心，以點(diǎn)為圓心，以1 1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓；個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓；(3)(3)把平行于直線把平行于直線L L的一切向量的起點(diǎn)平移到的一切向量的起點(diǎn)平移到L L上的點(diǎn)上的點(diǎn)P.P.(3)(3)直線直線L L(4)(4)把所有相等向量平移到同一個(gè)起點(diǎn)上把所有相等向量平移到同一個(gè)起點(diǎn)