因式分解考題類(lèi)型解析

1、“因式分解”考題類(lèi)型因式分解是研究整式的基礎(chǔ)知識(shí)，方法靈活，技巧性強(qiáng)，所以是歷年各地中考必考題型之一，為方便同學(xué)們的學(xué)習(xí)，及時(shí)了解因式分解在中考中的地位和常見(jiàn)題型，現(xiàn)以2008年中考試題為例說(shuō)明如下：題型1直接提取公因式例1 (無(wú)錫市)分解因式：b2 2b= .分析兩項(xiàng)都含有字母b,于是可直接用提取公因式分解因式.解 b2 2b= b(b 2).說(shuō)明 本題是考查同學(xué)們對(duì)用提公因式法分解因式的方法用提取公因式法分解因式時(shí)，首先應(yīng)確定公因式確定公因式的原則是：“五看”：一看系數(shù)，若各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)， 應(yīng)提取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；二看字母，提取各項(xiàng)的相同的字母；三看字母的次數(shù)， 各字母的指數(shù)取次數(shù)最

2、低的；四看整體，如果公因式含有多項(xiàng)式因式時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)的變換，如(a+b)2= (b a)2, (a b)3= (b a)3，然后取相同因式中次數(shù)最低的因式作為公因式的一部 分因式；五看首項(xiàng)符號(hào)，若多項(xiàng)式中首項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則公因式符號(hào)取負(fù)號(hào)，使多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，需注意的是在提取出“-”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).題型2直接套用平方差公式例2 (上海市)分解因式：X2 4 = .分析 給定的多項(xiàng)式只有兩項(xiàng)，且符合平方差公式，于是可利用平方差公式直接分解解 x2 4 = (x+2)(x 2).說(shuō)明 本題是考查同學(xué)們直接運(yùn)用平方差公式分解因式的方法，求解時(shí)，只要滿(mǎn)足是： 一是兩項(xiàng)；二是每一項(xiàng)都

3、是完全平方項(xiàng)，或可以寫(xiě)完全平方式；三是兩項(xiàng)的符號(hào)相反題型3直接套用完全平方公式例3 (福州市)因式分解：X2 + 4x+ 4 = .分析 給定的多項(xiàng)式有三項(xiàng)，而4 = 22,于是首尾兩項(xiàng)是完全平方的和，中間一項(xiàng)4x=2 X 2x,由此剛好符合完全平方公式 .解 x2+ 4x+ 4 = (x+2)2.說(shuō)明 形如a2± 2ab+b2的式子，稱(chēng)為完全平方式，本題正是考查利用完全平方公式及 因式分解的知識(shí)，求解時(shí)一定要弄清楚完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)號(hào)入座，絕對(duì)不能張冠李戴題型4先提取公因式，再用平方差公式例4 (沈陽(yáng)市)分解因式：2m3 8m= .分析 對(duì)于系數(shù)都含有2的因數(shù)，對(duì)于字母都含

4、有 m的因式，于是考慮先提出公因式 2 m,由于是兩項(xiàng)，剩下的再考慮能否運(yùn)用平方差公式分解解 2m3 8m= 2m(m2 4)= 2m(m+2)(m 2).說(shuō)明本題是考查用提公因式法和平方差公式分解因式的方法.求解時(shí)要注意一提(提公因式)；二用(用平方差公式)，即對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式，有公因式的一定要先提取 公因式，再考慮運(yùn)用公式法； 一般情況下，因式分解要堅(jiān)持到有理數(shù)范圍內(nèi)每一個(gè)因式不能 在分解為止.題型5先提取公因式，再用完全平方公式例5 (泰安市)將-x+x3 x2分解因式的結(jié)果是.411分析 考慮系數(shù)丄，且每一項(xiàng)都含有字母 x,不如視其公因式為 丄x,先提出，或許余44下的不能套用

5、完全平方公式1321212解 一X+X X = _ x(4x 4x+ 1) = - X(2x 1).444說(shuō)明 對(duì)于本題也可以將按字母降幕排列，即x3 x2+x,再提出公因式x，其結(jié)果為41 2x(x) 2題型6確定字母系數(shù)例6 (赤峰市)把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c= (x+1)(x+2)，則c的值為()A.2B.3C. 2D. 3分析由于因式分解是對(duì)多項(xiàng)式的恒等變形，所以已知等式的右邊利用整式的乘法展 開(kāi)，與左邊的對(duì)應(yīng)系數(shù)應(yīng)該相等，由此可以獲解解 因?yàn)?x+1)(x+2) = x +3x+2，而 x +3x+c= (x+1)(x+2),所以 x2+3x+c= x2+3x+2，

6、所以 c= 2.故應(yīng)選 A.說(shuō)明本題主要考查對(duì)因式分解的定義理解與運(yùn)用.把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積過(guò)程叫因式分解，顯然因式分解是一個(gè)恒等變形，它與與整式的乘法是互逆的過(guò)程題型7二次三項(xiàng)式的分解例7 (青島市)分解因式：x2+2x 3= .分析 觀察所給的多項(xiàng)式不能直接用提公因式法，也不能用公式法，于是想到利用二次三項(xiàng)式的分解方法，考慮一次項(xiàng)系數(shù)是2,則常數(shù)項(xiàng)3分解成1 X 3.解 *+2x 3= (x+3)(x 1).說(shuō)明 多項(xiàng)式 求+px+q型的二次三項(xiàng)式是分解因式中的常見(jiàn)題型，此類(lèi)多項(xiàng)式的分解規(guī)律是：如果常數(shù)項(xiàng) q可分解為兩個(gè)因數(shù) a、b的積，并且a+b= p,那么x2+px+q就可分解

7、為2 2 2 (x+a)(x+b).另外，本題也可以利用配方法分解，即x +2x 3 = x +2x+1 4= (x+1) 4 =(x+1+2)(x+1 2)= (x+3)(x 1).題型8因式分解的技巧例8 (中山市)分解因式 am+an+bm+bn= .分析這個(gè)多項(xiàng)式共有四項(xiàng)，常規(guī)的分解方法在此均失去作用，但考慮若前兩項(xiàng)提出 a, 剩下的是(m+n)，后兩項(xiàng)提出 b，剩下的也是(m+ n)，于是還可以從整體上提出 (m+n),從而 達(dá)到分解因式的目的.解 am+a n+bm+b n= a(m+n) + b(m+n)= (a+b)(m+ n).說(shuō)明 因式分解是一種恒等變形，在變形時(shí)應(yīng)講究適當(dāng)

8、的方法和技巧.本題中也可以將第一項(xiàng)和第三項(xiàng)結(jié)合，第二項(xiàng)和第四項(xiàng)結(jié)合，同樣達(dá)到從整體上分解因式的目的題型9先局部分解，再?gòu)恼w上分解例9 (南通市)分解因式：(x+2)(x+4)+x2 4.分析 這個(gè)多項(xiàng)式共有三項(xiàng)， 無(wú)法運(yùn)用因式分解的方法與技巧， 考慮后兩項(xiàng)可以運(yùn)用運(yùn)用平方差公式，這樣可以先把 x2 4兩項(xiàng)看做一個(gè)整體，用平方差公式分解為(x+2)(x 2),然后再提取公因式，從而達(dá)到從整體上分解因式解 (x+2)(x+3)+ x2 4= (x+2)(x+3)+(x+2)(x 2)= (x+2)(x+3+x 2) = (x+2)(2x+1).說(shuō)明 本題為了達(dá)到分解因式的目的，采取了先局部分解的

9、辦法，從而完成整體上的因式分解.題型10因式分解的應(yīng)用例 10 (揚(yáng)州市)已知 x+y= 6, xy= 3,貝U x2y+xy2= .分析 如果求出x和y的值，顯然有點(diǎn)不劃算，若對(duì)待求式分解因式，會(huì)收到意想不到的效果解 因?yàn)?x2y+xy2= xy(x+y)，所以當(dāng) x+y= 6, xy= 3 時(shí)，原式=一 3 X 6= 18.說(shuō)明 本題在求值過(guò)程中既鞏固了因式分解的知識(shí)，又運(yùn)用的整體思想 題型11 開(kāi)放型例11 (遵義市)現(xiàn)有三個(gè)多項(xiàng)式：-a2+a- 4， -a2+5a+4，- a2- a，請(qǐng)你選擇其中兩2 2 2個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解.分析 給定三個(gè)多項(xiàng)式，擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解，顯然答案不惟一.可先選擇兩個(gè)多項(xiàng)式，將它們相加，再將其結(jié)果分解因式1 11 1解 答案不唯一.如，(一a2+a