第09章數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用

1、home第第9章章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用內(nèi)容提要內(nèi)容提要:n 9.1 概述概述n 9.1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及基本思想數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及基本思想n 9.1.2 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念n 9.2 二值形態(tài)學(xué)二值形態(tài)學(xué)n 9.2.1 二值腐蝕二值腐蝕n 9.2.2 二值膨脹二值膨脹n 9.2.3 二值開運(yùn)算二值開運(yùn)算n 9.2.4 二值閉運(yùn)算二值閉運(yùn)算homen9.3 灰值形態(tài)學(xué)灰值形態(tài)學(xué)n9.3.19.3.4 灰度腐蝕、膨脹、開運(yùn)算、閉運(yùn)算灰度腐蝕、膨脹、開運(yùn)算、閉運(yùn)算n9.3.5 灰值形態(tài)學(xué)梯度灰值形態(tài)學(xué)梯度n9.3.6 高帽變換和低帽變換高帽變換和低帽變換n9.3

2、.7 開閉運(yùn)算和閉開運(yùn)算開閉運(yùn)算和閉開運(yùn)算n9.4 彩色形態(tài)學(xué)（選學(xué)）彩色形態(tài)學(xué)（選學(xué)）n9.4.1 彩色形態(tài)學(xué)的基本方法彩色形態(tài)學(xué)的基本方法n9.4.2 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的彩色圖像濾波基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的彩色圖像濾波home9.1 概述概述u 9.1.1 9.1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及基本思想數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及基本思想u可回溯到可回溯到19世紀(jì)世紀(jì)euler、20世紀(jì)世紀(jì)minkowski等人的研究。等人的研究。u1964年法國的年法國的matheron和和serra在積分幾何的研究成果在積分幾何的研究成果上，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)引入圖像處理領(lǐng)域，并研制了基于數(shù)上，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)引入圖像處理領(lǐng)域，并

3、研制了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng)。學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng)。u1968年在巴黎礦業(yè)學(xué)院創(chuàng)建了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究中心。年在巴黎礦業(yè)學(xué)院創(chuàng)建了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究中心。umatheron于于1975年出版的年出版的random sets and integral geometry一書論述了隨機(jī)集合論、積分幾何論和拓?fù)湟粫撌隽穗S機(jī)集合論、積分幾何論和拓?fù)溥壿嬚?，為?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。邏輯論，為數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。homeu1982年年serra的專著的專著image analysis and mathematical morphology是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑。是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展

4、的重要里程碑。u1985年以后，一些相關(guān)領(lǐng)域的國際會(huì)議開始把數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)年以后，一些相關(guān)領(lǐng)域的國際會(huì)議開始把數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)列為學(xué)術(shù)討論專題，或?qū)ｉT舉行研討會(huì)。列為學(xué)術(shù)討論專題，或?qū)ｉT舉行研討會(huì)。u1990年起，年起，spie每年舉辦一次每年舉辦一次“image algebra and morphological image processing”會(huì)議。會(huì)議。u1986年年計(jì)算機(jī)視覺與圖形圖像處理雜志計(jì)算機(jī)視覺與圖形圖像處理雜志(gvgip)出版出版了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)專刊了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)?？痷1989年和年和1994年年 journal of signal processing出版了出版了形態(tài)學(xué)在信號(hào)處理中的應(yīng)

5、用研究專輯。形態(tài)學(xué)在信號(hào)處理中的應(yīng)用研究專輯。home數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是研究空間結(jié)構(gòu)的形狀、框架的學(xué)科數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是研究空間結(jié)構(gòu)的形狀、框架的學(xué)科 以積分幾何、集合代數(shù)及拓?fù)湔摓槔碚摶A(chǔ)，此外還涉及隨機(jī)集論、近世代數(shù)和圖論等一系列數(shù)學(xué)分支。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論雖然很復(fù)雜，被稱為“驚人的數(shù)學(xué)”，但它的基本思想?yún)s是簡(jiǎn)單而完美的。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基于集合的觀點(diǎn)是極其重要的。home數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基于集合的觀點(diǎn) （1）運(yùn)算由集合運(yùn)算（如并、交、補(bǔ)等）來定義； （2）所有的圖像都必須以合理的方式轉(zhuǎn)換為集合。 形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫，更適合視覺信息的處理和分析。 基本思想：基本思想：利用結(jié)構(gòu)元素作為利用

6、結(jié)構(gòu)元素作為“探針探針”在圖像中不斷移動(dòng)，在此在圖像中不斷移動(dòng)，在此過程中收集圖像的信息、分析圖像各部分間的相互關(guān)過程中收集圖像的信息、分析圖像各部分間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。 home圖圖9.1 9.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法移位、交、并等集合運(yùn)算移位、交、并等集合運(yùn)算輸出圖像輸出圖像輸入圖像輸入圖像結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素 home結(jié)構(gòu)元素的選擇十分重要 根據(jù)探測(cè)研究圖像的不同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)元素可攜帶形態(tài)、大小、灰度、色度等信息。 不同點(diǎn)的集合形成具有不同性質(zhì)的結(jié)構(gòu)元素。由于不同的結(jié)構(gòu)元素可以用來檢測(cè)圖像不同側(cè)面的特征，因此設(shè)計(jì)符合人的視覺特性的結(jié)

7、構(gòu)元素是分析圖像的重要步驟。 最基本的形態(tài)學(xué)運(yùn)算有：最基本的形態(tài)學(xué)運(yùn)算有：膨脹,腐蝕，開，閉。 用這些算子及其組合來進(jìn)行圖像形狀和結(jié)構(gòu)的分析及處理，可以解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測(cè)、形狀識(shí)別、紋理分析、圖像恢復(fù)與重建等方面的問題。home數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行圖像處理有其獨(dú)有的特性： （1）反映的是一幅圖像中像素點(diǎn)間的邏輯關(guān)系，而不是簡(jiǎn)單的數(shù)值關(guān)系。 （2）是一種非線性的圖像處理方法，并且具有不可逆性。 （3）可以并行實(shí)現(xiàn)。 （4）可以用來描述和定義圖像的各種集合參數(shù)和特征。home9.1.2 幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念1.擊中與擊不中擊中與擊不中設(shè)有兩幅圖像a和b，如果ab（空集），那么稱b擊中（

8、hit）a，記為ba，；否則，如果ab=，稱b擊不中（miss）a。2.平移和反射平移和反射設(shè)a是一幅數(shù)字圖像，a是a的元素；b是一個(gè)點(diǎn)，那么定義a被b平移后的結(jié)果為 abab| aa （9.1）即整個(gè)圖像沿著向量b的方向平行移動(dòng)。一幅數(shù)字圖像a關(guān)于原點(diǎn)的反射定義為 ava| -aa （9.2）home 3. 結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素 結(jié)構(gòu)元素與被處理的目標(biāo)圖像中抽取何種信息密切相關(guān)。 在考察目標(biāo)圖像各部分之間的關(guān)系時(shí)，需要設(shè)計(jì)一種“結(jié)構(gòu)元素”。在圖像中不斷移動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，就可以考察圖像之間各部分的關(guān)系。 根據(jù)不同的圖像分析目的，常用的結(jié)構(gòu)元素有方形、扁平形、圓形等。 在多尺度形態(tài)學(xué)分析中，結(jié)構(gòu)元素的大

9、小可以變化，但結(jié)構(gòu)元素的尺寸一般地要明顯小于目標(biāo)圖像的尺寸。 home9.2 9.2 二值形態(tài)學(xué)二值形態(tài)學(xué) 二值圖像是數(shù)字圖像的重要子集，指灰度值只取兩種值的圖像。 兩個(gè)灰度值可取為0（相應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成背景）和1（相應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成景物）。 二值形態(tài)學(xué)處理算法都是以膨脹,腐蝕這兩種最基本的運(yùn)算為基礎(chǔ)的。 一般設(shè)集合a為圖像集合，集合b為結(jié)構(gòu)元素，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是用b對(duì)a進(jìn)行操作。home9.2.1 9.2.1 二值腐蝕二值腐蝕集合a（輸入圖像）被集合b（結(jié)構(gòu)元素）腐蝕: a b (9.3) axbx:dd/8d/8dd/4d/4a ab b a ab bd圖9.2 腐蝕示意圖home9.2.2 二值膨脹

10、二值膨脹 腐蝕運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，通過對(duì)補(bǔ)集的腐蝕來定義。 以ac表示集合a的補(bǔ)集， 表示b關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的反射。 集合集合a被集合被集合b膨脹膨脹表示為： bhome圖9.3 膨脹示意圖home腐蝕和膨脹操作的直觀解釋腐蝕和膨脹操作的直觀解釋 腐蝕是對(duì)圖像內(nèi)部作濾波處理，而膨脹是利用結(jié)構(gòu)元素對(duì)圖像補(bǔ)集進(jìn)行填充，因而它是對(duì)圖像外部作濾波處理。腐蝕具有收縮圖像的作用，膨脹具有擴(kuò)大圖像的作用。home9.2.3 二值開運(yùn)算二值開運(yùn)算 兩種二次運(yùn)算起著非常重要的作用開運(yùn)算閉運(yùn)算（開運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算） 。 從結(jié)構(gòu)元素填充的角度看，它們具有更為直觀的幾何形式。home開運(yùn)算的定義 假設(shè)a仍為輸入圖像，b為結(jié)構(gòu)元

11、素，利用b對(duì)a作開運(yùn)算，用符號(hào)ab表示，其定義為： 或p可以通過計(jì)算所有可以填入圖像內(nèi)部的結(jié)構(gòu)元素平移的并集求得。p當(dāng)結(jié)構(gòu)元素b掃過整個(gè)圖像集合內(nèi)部，ab就是使結(jié)構(gòu)元素b的任何像素不越出圖像a邊界的圖像a像素點(diǎn)的集合。home圖圖9.4 9.4 利用圓盤作開運(yùn)算利用圓盤作開運(yùn)算 bbabaababaobhome9.2.4 二值閉運(yùn)算二值閉運(yùn)算n 閉運(yùn)算是開運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，定義為先作膨脹后作腐蝕。n 或u開、閉運(yùn)算也互為對(duì)偶運(yùn)算u開運(yùn)算具有磨光圖像外邊界的作用u閉運(yùn)算具有磨光圖像內(nèi)邊界的作用home圖圖9.5 9.5 利用圓盤作閉運(yùn)算利用圓盤作閉運(yùn)算home9.3 灰值形態(tài)學(xué)灰值形態(tài)學(xué) 在灰度圖

12、像形態(tài)處理中，輸入和輸出的圖像都是灰度級(jí)形式的 輸入和輸出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之間。home9.3.1 灰值腐蝕灰值腐蝕 形態(tài)學(xué)源于填充的概念灰值形態(tài)學(xué)處理的對(duì)象是圖像信號(hào)波形的拓?fù)涮匦?，結(jié)構(gòu)元素也是一個(gè)信號(hào)。 二值形態(tài)學(xué)中，集合的交、并運(yùn)算起到關(guān)鍵作用在灰值形態(tài)學(xué)中這兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)與極大和極小運(yùn)算。 可利用填充、極大/極小概念直接定義灰值運(yùn)算。home 用結(jié)構(gòu)元素g對(duì)輸入圖像f (x, y)進(jìn)行灰值腐蝕記為 l用一維函數(shù)對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，定義為l由于結(jié)構(gòu)元素必須在信號(hào)的下方，故空間平移結(jié)構(gòu)元素的定義域必為信號(hào)定義域的子集，否則腐蝕在該點(diǎn)沒有定義。l結(jié)構(gòu)元素從信號(hào)的下面對(duì)信號(hào)產(chǎn)生濾波作用

13、，這與結(jié)構(gòu)元素從內(nèi)部對(duì)二值圖像濾波的情況是相似的。 home圖9.6 灰值腐蝕運(yùn)算01234567123yx123y0123-1-2xb(a)(b)ofs(c)ofs(d)ssf b)( )(xsbsf-)( )(xsbsf -home9.3.2 灰值膨脹灰值膨脹 灰值膨脹可用灰值腐蝕的對(duì)偶運(yùn)算來定義。 采用求極大值的方法，即在位于信號(hào)下方的條件下，求上推結(jié)構(gòu)所能達(dá)到的最大值。 利用結(jié)構(gòu)元素的反射，求將信號(hào)限制在結(jié)構(gòu)元素的定義域內(nèi)時(shí)，上推結(jié)構(gòu)元素使其超過信號(hào)時(shí)的最小值來定義。 home用結(jié)構(gòu)元素g對(duì)輸入圖像f(x, y)進(jìn)行灰值膨脹 (f g)(s, t)=maxf(s-x, t-y)+g(x

14、, y)|s-x, t-y df, x+ydg 用一維函數(shù)對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，定義為 (f g)(s)=maxf(s-x)+g(x)| s-x df, xdg 步驟：步驟：對(duì)結(jié)構(gòu)元素g的定義域dg 中的每一個(gè)點(diǎn)x將信號(hào)f平移x，然后，再對(duì)每次平移信號(hào)的值加上g(x)，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每個(gè)點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最大值，便可得到膨脹結(jié)果。home圖9.7 灰值膨脹運(yùn)算 (a)灰值膨脹過程 (b)灰值膨脹結(jié)果ofs(a)os(b)ss)( )(xsbsf)( )(xsbsf )(sf)(sf bf fhome9.3.3 灰值開運(yùn)算灰值開運(yùn)算 灰值開和灰值閉運(yùn)算是腐蝕和膨脹的組合

15、運(yùn)算。 先作腐蝕再作膨脹的迭代運(yùn)算： 這兩種運(yùn)算也為對(duì)偶運(yùn)算，并且都可用填充概念來說明。 home圖圖9.8 9.8 灰值開運(yùn)算灰值開運(yùn)算 home9.3.4 灰值閉運(yùn)算灰值閉運(yùn)算 根據(jù)對(duì)偶性定義，灰值閉運(yùn)算定義為： fg = (f g)g (9.14) 灰值閉運(yùn)算具有擴(kuò)展性 濾波結(jié)果總位于原始圖像的上方。它從圖像的上方磨光圖像灰值表面向下突出的尖峰（即波谷）。 home圖9.9 灰值閉運(yùn)算home圖9.10 細(xì)胞組織圖像的灰值形態(tài)運(yùn)算home9.3.59.3.5 灰值形態(tài)學(xué)梯度灰值形態(tài)學(xué)梯度 利用扁平結(jié)構(gòu)元素g對(duì)f作腐蝕和膨脹可得到f的局部極大和極小值，與數(shù)字差分定義的梯度相應(yīng)。 形態(tài)學(xué)梯度

16、的定義為： u為了更好地獲得邊緣檢測(cè)的效果，可以將形態(tài)學(xué)梯度與閾值結(jié)合起來使用。 home圖9.11 核磁共振圖像的形態(tài)學(xué)梯度home9.3.69.3.6 高帽變換和低帽變換高帽變換和低帽變換 通過這兩種變換可以得到灰度圖像中一些重要的標(biāo)記點(diǎn)。 在較亮的背景中求暗的像素點(diǎn)或在較暗的背景中求亮的像素點(diǎn)；檢測(cè)受到噪聲污染圖像中的邊緣等。 為了使上述效果更明顯，對(duì)變換后的圖像也可以作閾值處理。home高帽變換 從一幅原始圖像f中減去對(duì)其作開運(yùn)算后得到圖像wht(f)，其定義為： wht(f) = f (fg) (9.16) 其中，g為結(jié)構(gòu)元素。 高帽變換是一種波峰檢測(cè)器 它在較暗的背景中求亮的像素點(diǎn)很有效。 home低帽變換 與高帽變換相對(duì)偶的算子，定義為： bht(f) = (fg) f (9.17) 低帽變換是一種波谷檢測(cè)器 適合于在較亮的背景中求暗的像素點(diǎn)。home圖9.12 利用top-hat和bot-