高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、第一講 函數(shù)，極限，連續(xù)性1、集合的概念 一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。 、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N 、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作N+。 、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作Z。 、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q。 、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記作R。 集合的表示方法 、列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“”括起來(lái)表示集合 、描述法：用集合所有元素的

2、共同特征來(lái)表示集合集合間的基本關(guān)系 、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A 中的任意一個(gè)元素都是集合B 的元素，我們就 說(shuō)A、B 有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A 為集合B 的子集，記作A B。 、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此時(shí)集合A 中的元素與集合B 中 的元素完全一樣，因此集合A 與集合B 相等，記作AB。 、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一個(gè)元素屬于B 但不屬于A，我們稱(chēng)集合A 是集合 B 的真子集，記作AÍB。 、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。 、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下

3、面的結(jié)論： 、任何一個(gè)集合是它本身的子集。 、對(duì)于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，則A 是C 的子集。 、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話(huà)子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本運(yùn)算 、并集：一般地，由所有屬于集合A 或?qū)儆诩螧 的元素組成的集合稱(chēng)為A 與B 的并集。記作A B。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。） 即ABx|xA，或xB。 、交集：一般地，由所有屬于集合A 且屬于集合B 的元素組成的集合稱(chēng)為A 與B 的交集。記作A B。 即ABx|xA，且xB。 、全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這

4、個(gè)集合為全集。 通常記作U。 、補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U 中不屬于集合A 的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A 相對(duì)于全集U 的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A 的補(bǔ)集，記作CUA。 即CUAx|xU，且x 不屬于A。 、運(yùn)算公式：交換律：AB=BA AB=BA 結(jié)合律：（AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC） 分配律：（AB)C=（AC）（BC) （AB)C=（AC）（BC) 對(duì)偶律：CU（AB)=CUACUB CU（AB)=CUACUB集合中元素的個(gè)數(shù) 、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集。 、用card 來(lái)表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如Aa,b,c，則ca

5、rd(A)=3。 、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)2、常量與變量 、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過(guò)程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過(guò)程中不起變化， 我們把其稱(chēng)之為常量；有的量在過(guò)程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其 稱(chēng) 之為變量。 、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來(lái)表示其變化范圍。在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間是指介于 某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。 以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無(wú)限區(qū)間 a，+)：表示不小于a 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：ax+； (-，b)：表示小于b 的實(shí)數(shù)的全體，

6、也可記為：-xb； (-，+)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-x+ 注：其中-和+，分別讀作"負(fù)無(wú)窮大"和"正無(wú)窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。 、鄰域：設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0.滿(mǎn)足不等式x-的實(shí)數(shù)x 的全體稱(chēng)為點(diǎn)的鄰域，點(diǎn) 稱(chēng)為此鄰域的中心，稱(chēng)為此鄰域的半徑。3、函數(shù) 、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y 按照一定的法則f 總有確 定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y 是x 的函數(shù)。變量x 的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通 常x 叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y 的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。 注：為了表明y 是x 的函數(shù)，我

7、們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來(lái)表示。這里的字母"f"、"F"表示y 與x 之 間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來(lái)表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確 定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只 討論單值函數(shù)。 、函數(shù)相等 由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng) 關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱(chēng)兩個(gè)函數(shù)相等。3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài) 、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I 的所有x 值總有f(x)M 成

8、立，其中M 是一個(gè)與x 無(wú)關(guān) 的常數(shù)，那么我們就稱(chēng)f(x)在區(qū)間I 有界，否則便稱(chēng)無(wú)界。 注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱(chēng)為有界函數(shù)。 函數(shù)的有界性，單調(diào)性應(yīng)與相關(guān)點(diǎn)集聯(lián)系起來(lái)，離開(kāi)了點(diǎn)集。這些概念是沒(méi)有任何意義的。 、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在定義域區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x 增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1 及x2，當(dāng)x1x2時(shí)，有，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。 如果函數(shù)在定義域區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x 增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1 及x2，當(dāng)x1x2 時(shí)，有，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。 、函數(shù)的奇偶性 如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x

9、 都滿(mǎn)足，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 都滿(mǎn)足，則叫做奇函數(shù)。 注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 、函數(shù)的周期性 設(shè)的定義域?yàn)?。若存在，?duì)任意的，都使得，則稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，稱(chēng)為其周期。注：我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。周期函數(shù)的定義域必是無(wú)限的點(diǎn)集，但也不能說(shuō)是全體實(shí)數(shù)，如的定義域?yàn)椋?，+）。且k /2(k=0,1,2.)A.奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù) B.偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù) C.奇函數(shù)·偶函數(shù)=奇函數(shù) D.奇函數(shù)·奇函數(shù)=偶函數(shù) E偶函數(shù)·偶函數(shù)=偶函數(shù)若以為最小正周期，則以為

10、最小正周期4、反函數(shù)、反函數(shù)的定義：若由函數(shù)得到，則稱(chēng)是的反函數(shù)，為直接函數(shù)，反函數(shù)也可記為注： 、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R 上確定，且嚴(yán)格增(減). 例題：，其定義域?yàn)?-,+)，值域?yàn)?,+).對(duì)于y 取定的非負(fù)值,可求得 .若我們不加條件，由y 的值就不能唯一確定x 的值，也就是在區(qū)間(-,+)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒(méi)有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x0，則對(duì)y0、x= 就是在要求x0 時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). 、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)， 與的圖形是關(guān)于直線y=x 對(duì)稱(chēng)的。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反

11、函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的。如右圖所示：5、復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的定義：若y 是u 的函數(shù)： ，而u 又是x 的函數(shù)： ，且的函數(shù) 值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那么，y 通過(guò)u 的聯(lián)系也是x 的函數(shù)，我們稱(chēng)后一 個(gè) 函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)合函數(shù)，記作，其中u 叫做中間變量。 注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。 例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的因?yàn)閷?duì)于的定義域(-,+)中的任何x 值所對(duì)應(yīng)的u 值（都大 于或等于2），使都沒(méi)有定義。6、初等函數(shù) 、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函

12、數(shù)、三 角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來(lái)把它們總結(jié)一下： 、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一 個(gè)解析式表出的函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù). 注：初等函數(shù)必須能用一個(gè)式子表示，不能用一個(gè)式子表示的函數(shù)不能稱(chēng)為初等函數(shù)，故分段函數(shù)一般不能 叫初等函數(shù)7、數(shù)列的極限 、數(shù)列的極限：設(shè)為一數(shù)列，如果存在常熟a，對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式都成立，那么就稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱(chēng)數(shù)列收斂于a，記為或 注：此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a 無(wú)限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N 與任意 給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是

13、隨著的給定而選定的。在利用數(shù)列極限定義證明某個(gè)數(shù)列是否存在極限 時(shí)，重要的是對(duì)于任意給定的正數(shù)，只要能夠指出定義中所說(shuō)的這種正整數(shù)N確實(shí)存在，但沒(méi)有必 要去求最小的N。如果知道小于某個(gè)量（這個(gè)量是n的一個(gè)函數(shù)），那么當(dāng)這 個(gè)量小于時(shí)，當(dāng)然也成立若令這個(gè)量小于來(lái)定出N比較方便的話(huà)，就可以采用這種方法。 、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿(mǎn)足不等式 M，則稱(chēng)數(shù) 列是有界的，若正數(shù)M 不存在，則可說(shuō)數(shù)列是無(wú)界的。 、收斂數(shù)列的幾個(gè)重要性質(zhì)： A.極限的唯一性：如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一。（根據(jù)極限的定義用反證法證明） B.有界性：如果數(shù)列收斂，那么它一定有界。注：數(shù)列收斂是數(shù)列

14、有界的充分非必要條件。即數(shù)列收斂，一定有界，但數(shù)列有界不一定收斂。 例：數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)， 是有界的，但它是發(fā)散的。 C.保號(hào)性：如果且（或）那么存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有（或 ） 推論：如果數(shù)列從某項(xiàng)起有（或），且，那么（或 ） 注：即使從某項(xiàng)起有（或），且 ，那么a不一定一定為，也有可能 。 D.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系：如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限是a。 如果數(shù)列有倆個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列是發(fā) 散的。 .數(shù)列存在的充分必要條件： 其任一子數(shù)列的極限都為 8、函數(shù)的極限 前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類(lèi)特殊的函數(shù)，即自變量取內(nèi)的正

15、整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的極限. 函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無(wú)限增大；b)：自變量無(wú)限接近某一定點(diǎn)x0下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念! 、函數(shù)的極限(分兩種情況) a):自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，若存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或（當(dāng)）注：時(shí)的極限定義只需要將以上定義中的改為（或）即可。 下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下： b):自變量趨向有限值時(shí)函

16、數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)，使得當(dāng)滿(mǎn)足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿(mǎn)足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或（當(dāng)）注：在定義中只要求在去心鄰域內(nèi)不等式成立，不要求在點(diǎn)此不等式成立，意味著時(shí)以為極限與在點(diǎn)是否有定義即使有定義函數(shù)值等于什么無(wú)關(guān)。自己參考數(shù)列極限引生函數(shù)的左右極限概念。注： 時(shí)函數(shù)極限存在的充要條件： 有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？a):先任取0；b):寫(xiě)出不等式；c):解不等式能否得出去心鄰域，若能；d): 則對(duì)于任給的0 ，總能找出，當(dāng)時(shí)， 成立，因

17、此 、函數(shù)的極限的性質(zhì) 參考數(shù)列極限的重要性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性 、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系如果極限存在，為函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于的數(shù)列，且滿(mǎn)足：，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列必收斂，且。 9、 無(wú)窮小與無(wú)窮大 無(wú)窮大量：設(shè)有函數(shù) ，在x=x0 的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)，當(dāng)時(shí)， 成立，則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大量。記為： （表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒(méi)有極限的） 同樣我們可以給出當(dāng)x時(shí)， 無(wú)窮大的定義：設(shè)有函數(shù) ，當(dāng)x 充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)， 成立，則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)x時(shí)是無(wú)窮大量，記為： 無(wú)窮小

18、量：以0為極限的變量叫無(wú)窮小量。（定義參照無(wú)窮大）注意：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0 可作為無(wú)窮小量的唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0. 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)A.有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小B.有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小C.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小D.常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 極限與無(wú)窮小的關(guān)系：，其中是在與時(shí)自變量的同一變化趨勢(shì)下的無(wú)窮小量。無(wú)窮小的比較：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、差及乘積仍舊是無(wú)窮小.那么兩個(gè)無(wú)窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來(lái)我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無(wú)窮小

19、量的比較。定義：設(shè)，都是時(shí)的無(wú)窮小量，且在x0 的去心鄰域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱(chēng)是的高階無(wú)窮小或是的低階無(wú)窮小，記作；b)：如果，則稱(chēng)和是同階無(wú)窮??；c)：如果，則稱(chēng)和是等價(jià)無(wú)窮小，記作：(與等價(jià))；d)：如果，則稱(chēng)是關(guān)于的階無(wú)窮小注：a.無(wú)窮小比較中的和必須是在自變量相同變化趨勢(shì)下的無(wú)窮小量.b.無(wú)窮小的比較只是定性的，即只有階的高低之別，沒(méi)有數(shù)量上的關(guān)系C.不是任何無(wú)窮小量都能比較其階的高低如：當(dāng)時(shí)，都是無(wú)窮小量，但不存在，不能比較其階的高低 等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)A.設(shè)，且存在，則.注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化

20、求極限問(wèn)題，但是做無(wú)窮小變換時(shí)必須分子或分母整體替換，不能分子或分母分項(xiàng)替換。B.與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為：C.常用的等價(jià)無(wú)窮小有：當(dāng)時(shí) 且 無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系在自變量的同一變化過(guò)程中，如果是無(wú)窮大，則為無(wú)窮下；如果是無(wú)窮小且,則為無(wú)窮大。10、 函數(shù)極限的運(yùn)算法則 、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知(或)時(shí)，則 ,(）推論：如果存在，而為常數(shù),則 如果存在，而為正整數(shù)，則注：數(shù)列極限也有同樣的運(yùn)算性質(zhì)。 復(fù)合函數(shù)的極限的運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則 極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一：如果數(shù)列，滿(mǎn)足下列條件A. 從某項(xiàng)起，即存在，當(dāng)時(shí)，有B.那么數(shù)

21、列的極限存在，且注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)準(zhǔn)則都可以推廣到函數(shù)的極限，但要注意使用的條件。 、兩個(gè)重要的極限 或注：我們要記住這兩個(gè)重要的極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們。例題：求解答：令，則，因?yàn)閯t注：解此類(lèi)型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨勢(shì)，像時(shí)，若用代換，則。.關(guān)于極限的幾個(gè)重要結(jié)論A.B. C.D. （其中）11、函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念增量 設(shè)變量從它的一個(gè)初

22、值變到終值，終值與初值的差就叫做變量x 的增量，記為：即： 增量 可正可負(fù). 我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在領(lǐng)域內(nèi)從變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地從變到，其對(duì)應(yīng)的增量為：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖： 現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)趨向于零時(shí)，函數(shù)y 對(duì)應(yīng)的增量也趨向于零，即：，那么就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。 函數(shù)連續(xù)性的定義： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 處連續(xù)，且稱(chēng)為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn). 下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：，那么我們就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b)

23、內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：，那末我們就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 右連續(xù). 一個(gè)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a 點(diǎn)右連續(xù)，b 點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱(chēng)為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 定義：我們把不滿(mǎn)足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱(chēng)之為間斷點(diǎn).它包括三種情形：a)： 在無(wú)定義；b)： 在時(shí)無(wú)極

24、限；c)： 在時(shí)有極限但不等于；下面我們通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類(lèi)型：例1： 正切函數(shù)在處沒(méi)有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱(chēng)為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)；例2：函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有定義；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)值在-1 與+1 之間變動(dòng)無(wú)限多次，我們就稱(chēng)點(diǎn)叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)；例3：函數(shù)當(dāng) 時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來(lái)如下:例4：函數(shù)在點(diǎn)沒(méi)有定義，所以函數(shù)在點(diǎn)為不連續(xù)。但這里，如果補(bǔ)充定義：令時(shí)，則所給函數(shù)在成為連續(xù)。所以稱(chēng)為該

25、函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類(lèi) 我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).第一類(lèi)間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)，無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類(lèi)間斷點(diǎn)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)a) ：連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商（分母的函數(shù)值不等于0）是連續(xù)的b)：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)；c)：反函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)，那么其反函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上表現(xiàn)相同的單調(diào)性且連續(xù)；初等函數(shù)的連續(xù)性 通過(guò)前面

26、我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的（基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)）；一切初等函數(shù)（基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合后所構(gòu)成的函數(shù)類(lèi)）在其定義區(qū)間內(nèi)也都是連續(xù)的.注：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)，如的定義域?yàn)?，它在定義域內(nèi)的任一點(diǎn)都不連續(xù)。初等函數(shù)只有其定義域構(gòu)成區(qū)間，則其在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)A. 定理1（最值定理）：若函數(shù)在上連續(xù)，則它在上必有最大值和最小值。B. 定理2（零點(diǎn)定理）：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號(hào)，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使C. 定理3（介值定理）：若函數(shù)在上連續(xù)，且

27、在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值，那么，對(duì)于與之間的任意一個(gè)數(shù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來(lái)學(xué)習(xí)一下：推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值。第二講 導(dǎo)數(shù)與微分1、導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 在處有增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量，若 與之比當(dāng) 時(shí)極限存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限值為函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)。記為：，即： 還可記為：，或 注：因變量增量與自變量增量之比是因變量在以和為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率。而導(dǎo)

28、數(shù)則是因變量在點(diǎn)處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。 函數(shù)在點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)確定的 值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記作，或 左、右導(dǎo)數(shù)：前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱(chēng)它為函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱(chēng)它為函數(shù)在處的右導(dǎo)數(shù)。 注：如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。且及都存在，就說(shuō)在閉區(qū)間上可導(dǎo)。 注：函數(shù)在處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在處的可

29、導(dǎo)的充分必要條件。 注：函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，不能保證函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，如在處可導(dǎo)且，但時(shí)它不可導(dǎo)。 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即，其中是切線的傾角。 注：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，即導(dǎo)數(shù)不存在，不代表在該點(diǎn)沒(méi)有切線，可能在該點(diǎn)有垂直于軸的切線 注：曲線在點(diǎn)處的切線方程為： 法線方程為： 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)，但是一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，但在處不可導(dǎo)。 函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則如果函數(shù)及都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)。那么它們的和、差、積、商（除分母為零的點(diǎn)外）都在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)。且（1）

30、.（2） .（3） .注：函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)，不能保證它們各自可導(dǎo)。例：,時(shí)，都可導(dǎo)，但及在任一點(diǎn)都不可導(dǎo)。 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來(lái)看一個(gè)例子!例：求解：由于，故這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下：發(fā)生錯(cuò)誤的原因是是對(duì)自變量求導(dǎo)，而不是對(duì)求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，而在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為或（其中為中間變量） 反函數(shù)求導(dǎo)法則如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，則它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)成：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。例：求的導(dǎo)數(shù)。解：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則： 例：求的導(dǎo)

31、數(shù)解：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則： 高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)，即： ，而加速度a 又是速度v 對(duì)時(shí)間t 的變化率，即速度v 對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)： ，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s 對(duì)t 的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x 的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即： 或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做的一階導(dǎo)數(shù)。類(lèi)似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的

32、求導(dǎo)方法。例：求對(duì)數(shù)函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。解：一般地，可得萊布尼茨（Leibniz)公式： 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則 我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y 可以用含自變量x 的算式表示，像， 等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù). 一般地，如果方程中，令 在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿(mǎn)足此方程的值存在，則我們就說(shuō)方程在該區(qū)間上確定了的隱函數(shù).把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。 注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的 隱函數(shù)的求導(dǎo) 若已知，求時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a)：若方程，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；b)：若方程，不能化為的

33、形式，則是方程兩邊對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，并把看成的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。例：已知，求解：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法。兩邊對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)， 注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量看成的函數(shù)，然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒(méi)有一種比較直觀的方法呢？下面我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。例：已知，求解：此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)單些。如下 先取兩邊對(duì)數(shù)：，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因?yàn)?，所?參數(shù)方程求導(dǎo)法一般地，若由參數(shù)方程確定與間