2022年數(shù)學(xué)二次函數(shù)的應(yīng)用教案

1、2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（ 1）教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過程。2、會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大值或最小值。3、體會(huì)二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的重要數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：二次函數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用。難點(diǎn)：例1 是從現(xiàn)實(shí)問題中建立二次函數(shù)模型，學(xué)生較難理解。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)教學(xué)輔助：投影片教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境、提出問題出示引例（將作業(yè)題第3 題作為引例）給你長(zhǎng) 8m 的鋁合金條，設(shè)問：你能用它制成一矩形窗框嗎？怎樣設(shè)計(jì)，窗框的透光面積最大？如何驗(yàn)證？二、觀察分析，研究問題演示動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、發(fā)現(xiàn)：當(dāng)矩形的一邊變化時(shí)，另一邊和面積也隨之改變。深入探究

2、如設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x 米，則另一邊長(zhǎng)為(4-x)米，再設(shè)面積為ym2,則它們的函數(shù)關(guān)系式為xxy42oxx4040 x并當(dāng) x =2 時(shí)（屬于40 x范圍）即當(dāng)設(shè)計(jì)為正方形時(shí)，面積最大=4(m2) 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，確定問題的解決方法：在一些涉及到變量的最大值或最小值的應(yīng)用問題中，可以考慮利用二次函數(shù)最值方面的性質(zhì)去解決。步驟：第一步設(shè)自變量；第二步建立函數(shù)的解析式；第三步確定自變量的取值范圍；第四步根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出最大值或最小值（在自變量的取值范圍內(nèi)）。三、例練應(yīng)用，解決問題在上面的矩形中加上一條與寬平行的線段，出示圖形設(shè)問：用長(zhǎng)為8m 的鋁合金條制成如圖形狀的矩形窗框，問窗框的寬和

3、高各是多少米時(shí)，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？引導(dǎo)學(xué)生分析，板書解題過程。變式（即課本例1） ：現(xiàn)在用長(zhǎng)為8 米的鋁合金條制成如圖所示的窗框（把矩形的窗框改為精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -上部分是由4 個(gè)全等扇形組成的半圓，下部分是矩形），那么如何設(shè)計(jì)使窗框的透光面積最大？（結(jié)果精確到0.01 米）練習(xí)：課本作業(yè)題第4 題四、知識(shí)整理，形成系統(tǒng)這節(jié)課學(xué)習(xí)了用什么知識(shí)解決哪類問題？解決問題的一般步驟是什么？應(yīng)注意哪些問題？學(xué)到了哪些思考問題的方法？五、布置作業(yè)：作業(yè)本板書設(shè)計(jì)

4、：例 1 解：練習(xí)教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)生對(duì)對(duì)函數(shù)值的最值求法掌握很好。學(xué)生對(duì)表達(dá)格式表述不規(guī)范，有待于今后教學(xué)多強(qiáng)調(diào)。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 (2) 教學(xué)目標(biāo)：1、繼續(xù)經(jīng)歷利用二次函數(shù)解決實(shí)際最值問題的過程。2、會(huì)綜合運(yùn)用二次函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決如有關(guān)距離等函數(shù)最值問題。3、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用二次函數(shù)的知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)地分析，即用數(shù)學(xué)的方式表示問題以及用數(shù)學(xué)的方法解決

5、問題。難點(diǎn)：例2 將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化，情景比較復(fù)雜。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)教學(xué)輔助：多媒體教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)：1、利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實(shí)際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：(1)列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍。(2)在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值。2、上節(jié)課我們討論了用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最值問題。出示上節(jié)課的引例的動(dòng)態(tài)圖形（在周長(zhǎng)為8 米的矩形中） （多媒體動(dòng)態(tài)顯示）設(shè)問： （ 1）對(duì)角線（ l）與邊長(zhǎng)（ x）有什何關(guān)系？222)4(xxl)40(9622xxxl（2）對(duì)角線（ l）是否也有最值？

6、如果有怎樣求？l 與 x 并不是二次函數(shù)關(guān)系，而被開方數(shù)卻可看成是關(guān)于x 的二次函數(shù)，并且有最小值。引導(dǎo)學(xué)生回憶算術(shù)平方根的性質(zhì)：被開方數(shù)越大（小）則它的算術(shù)平方根也越大（?。Ｖ赋觯寒?dāng)被開方數(shù)9622xx取最小值時(shí)，對(duì)角線也為最小值。二、例題講解例題 2：b 船位于 a 船正東 26km 處，現(xiàn)在a、b 兩船同時(shí)出發(fā)，a 船發(fā)每小時(shí)12km的速度朝正北方向行駛，b 船發(fā)每小時(shí)5km 的速度向正西方向行駛，何時(shí)兩船相距最近？最近距離是多少？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -多媒體動(dòng)態(tài)

7、演示，提出思考問題：（1）兩船的距離隨著什么的變化而變化？(2)經(jīng)過 t 小時(shí)后，兩船的行程是多少？?jī)纱木嚯x如何用t 來表示？設(shè) 經(jīng) 過t 小 時(shí) 后ab兩 船 分 別 到 達(dá)a ， b ， 兩 船 之 間 距 離 為a b =ab2+aa2=(26-5t)2+(12t)2=169t2-260t+676 。 （這里估計(jì)學(xué)生會(huì)聯(lián)想剛才解決類似的問題）因此只要求出被開方式169t2-260t+676 的最小值，就可以求出兩船之間的距離s 的最小值。解:設(shè)經(jīng)過 t 時(shí)后， a，b ab 兩船分別到達(dá)a ，b ，兩船之間距離為s=a b =ab2+aa2=(26-5t)2+(12t)2=169t2-

8、260t+676 = 169（t-1013）2+576 （t0）當(dāng) t=1013時(shí)，被開方式169（t-1013）2+576 有最小值576。所以當(dāng) t=1013時(shí)， s最小值=576 =24（km）答：經(jīng)過1013時(shí)，兩船之間的距離最近，最近距離為24km 練習(xí)：直角三角形的兩條直角邊的和為2，求斜邊的最小值。三、課堂小結(jié)應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟四、布置作業(yè)見作業(yè)本板書設(shè)計(jì)：例2解：練習(xí)練習(xí)教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)生對(duì)函數(shù)值的最值求法掌握很好。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -

9、2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 (3) 教學(xué)目標(biāo)：1、繼續(xù)經(jīng)歷利用二次函數(shù)解決實(shí)際最值問題的過程。2、會(huì)綜合運(yùn)用二次函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決如有關(guān)距離等函數(shù)最值問題。3、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用二次函數(shù)的知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)地分析，即用數(shù)學(xué)的方式表示問題以及用數(shù)學(xué)的方法解決問題。難點(diǎn)：例3 將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化，情景比較復(fù)雜。教學(xué)方法：類比啟發(fā)教學(xué)輔助：多媒體投影片教學(xué)過程：1、例 3 某飲料經(jīng)營部每天的固定成本為200 元,某銷售的飲料每瓶進(jìn)價(jià)為5 元。銷售單價(jià) (元) 6 7 8 9 10 11 12 日均銷售量 (瓶) 480

10、440 400 360 320 280 240 (1)若記銷售單價(jià)比每瓶進(jìn)價(jià)多x 元時(shí)，日均毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)固定成本)為 y 元，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；(2)若要使日均毛利潤(rùn)達(dá)到最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元(精確到 0.1 元)？最大日均毛利潤(rùn)為多少？2、練習(xí)： p47 課內(nèi)練習(xí)3、課本 55 頁 t16 4、小結(jié)5、作業(yè)：課本48 頁 t1-t5 板書設(shè)計(jì)：例3解：練習(xí)練習(xí)教學(xué)反思：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -本節(jié)課學(xué)生對(duì)表格的分析理解不了，致

11、使無法求解。 有待于今后教學(xué)多給予滲透。2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用(4) 教學(xué)目標(biāo)：(1)會(huì)運(yùn)用一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與x 軸或平行于x 軸的直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并用來解決相關(guān)的實(shí)際問題。(2)會(huì)用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解或近似解。(3)進(jìn)一步體驗(yàn)在問題解決的過程中函數(shù)與方程兩種數(shù)學(xué)模式經(jīng)常需要相互轉(zhuǎn)換。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：?jiǎn)栴}解決過程中二次函數(shù)與一元二次方程兩種數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。難點(diǎn)：例 4 涉及較多的“科學(xué)”知識(shí)，解題思路不易形成，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)法演示法教學(xué)輔助：多媒體教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.利用函數(shù)解決實(shí)際問題的基本思想方法？解題步驟？“ 二次函數(shù)應(yīng)用”的思路

12、(1)理解問題 ;(2)分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系; (3)用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系; (4)做數(shù)學(xué)求解 ; (5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,拓展等 . 二、例題講評(píng)例 4:一個(gè)球從地面上豎直向上彈起時(shí)的速度為10m/s，經(jīng)過 t(s)時(shí)求的高度為h(m)。已知物體豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，hv0t12 gt2( v0表示物體運(yùn)動(dòng)上彈開始時(shí)的速度，g 表示重力系數(shù)，取 g10m/s2) 。問球從彈起至回到地面需多少時(shí)間？經(jīng)多少時(shí)間球的高度達(dá)到3.75m? 分析：根據(jù)已知條件，易求出函數(shù)解析式和畫出函數(shù)圖象。從圖象可以看到圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)0 和 2 分別就是球從地面彈起后回到地面的時(shí)間

13、，此時(shí) h 0, 所以也是一元二次方程 10t 5t20 的兩個(gè)根。這兩個(gè)時(shí)間差即為所求。同樣，我們只要取h3.75m，的一元二次方程10t5t23.75 ，求出它的根，就得到球達(dá)到 3.75m 高度時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -結(jié)論：從上例我們看到，可以利用解一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與橫軸( 或平行于橫軸的直線 ) 的交點(diǎn)坐標(biāo)。反過來，也可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解。例 5 利用二次函數(shù)的圖象求方程x2x10 的近似解。分析：設(shè)yx2x1，則方程

14、的解就是該函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。可以畫出草圖，求出近似解。結(jié)論：我們知道，二次函數(shù)y ax2bxc(a 0) 的圖象與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2就是一元二次方程ax2bxc0(a 0) 的兩個(gè)根。因此我們可以通過解方程ax2bxc0來求拋物線yax2bxc 與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；反過來，也可以由yax2bxc 的圖象來求一元二次方程ax2bx c0 的解。兩種方法： 上述是一種方法； 也可以求拋物線yax2與直線 y bxc 的交點(diǎn)橫坐標(biāo). 練習(xí)： p50 課內(nèi)練習(xí)、探究活動(dòng)補(bǔ)充練習(xí)：1某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10 米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原

15、點(diǎn)o 的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）。在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面1023米，入水處距池邊的距離為4 米，同時(shí)， 運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5 米以前， 必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤。（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中， 測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好人水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為335米， 問此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過計(jì)算說明理由分析： 挖掘已知條件，由已知條件和圖形可以知道拋物線過（ 0，0） （2，-10） ，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為23。解： （1）如圖，在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高

16、點(diǎn)為a，入水點(diǎn)為b，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c ，由題意知， o、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0， 0） （2， -10） ，且頂點(diǎn)a 的縱坐標(biāo)為23。拋物線對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)，-b2a0，又拋物線開口向下，a0， a=256，b=103，c=0 拋物線的解析式為：y=256x2+103x （2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為335時(shí)，即 x=335-2=85時(shí)，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -y=(256)(85)2+10385=163， 此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面高為：10163=

17、1435，因此，此次試跳會(huì)出現(xiàn)失誤。2( 寧波課改區(qū) ).利用圖象解一元二次方程x22x10 時(shí)，我們采用的一種方法是：在直角坐標(biāo)系中畫出拋物線yx2和直線 y2x1，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解。(1)請(qǐng)?jiān)俳o出一種利用圖象求方程x22x 10 的解的方法。(2)已知函數(shù)y x3的圖象，求方程x3x2 0 的解。 (結(jié)果保留2 個(gè)有效數(shù)字 ) 三、小結(jié)1.利用函數(shù)解決實(shí)際問題的基本思想：“ 二次函數(shù)應(yīng)用”的思路(1)理解問題 ;(2)分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系; (3)用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系; (4)做數(shù)學(xué)求解 ; (5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,拓展等 . 2. 利用解一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與橫軸( 或平行于橫軸的直線) 的交點(diǎn)坐標(biāo)。反過來，也可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解。3. 二次函數(shù)yax2 bxc(a 0) 的圖象與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1， x2就是一元二次方程 ax2bxc0(a 0)的兩個(gè)根。因此我們可以通過解方程ax2bxc0 來求拋物線yax2bxc 與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；反過來，也可以由yax2bxc 的圖象來求一元二次方程