高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 4.2.2 最大值、最小值問題課件5 北師大版選修1-1

1、4.2.2最大值、最小值問題最大值、最小值問題最小的就是函數(shù)最小的就是函數(shù) 在在 上的最小值。上的最小值。 由極值點及導數(shù)不存在的點與區(qū)間端點的函數(shù)值由極值點及導數(shù)不存在的點與區(qū)間端點的函數(shù)值相比較，其中最大的就是函數(shù)相比較，其中最大的就是函數(shù) 在在 上的最大值，上的最大值，)(xfba,)(xfba, 函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個全局性概念。函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個全局性概念。一、函數(shù)的最大值與最小值的定義：一、函數(shù)的最大值與最小值的定義： 函數(shù)函數(shù)y=f（x）在）在a,b上的最大值點上的最大值點x0指的是：函數(shù)指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都不超過在這個區(qū)間上所

2、有點的函數(shù)值都不超過f（ x0 ）。）。同理，如果所有點的函數(shù)值都不小于同理，如果所有點的函數(shù)值都不小于f（ x0 ），即），即 x a，b,都有都有f（x） f（ x0 ），則稱），則稱x0是最小值點。是最小值點。結論：結論：即：即： x a,b,都有都有f（x） f（ x0 ）三三.求最大（最小）值應用題的一般方法求最大（最?。┲祽妙}的一般方法(1)分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化為數(shù)學問題，建立函數(shù)關系式，這是關鍵一步。為數(shù)學問題，建立函數(shù)關系式，這是關鍵一步。(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點。確定函數(shù)定義域，并求出極值點。(3)比

3、較各極值與定義域端點函數(shù)值的大小，比較各極值與定義域端點函數(shù)值的大小， 結合結合實際，確定最值或最值點。實際，確定最值或最值點。（2）在實際問題中，由問題的實際意義可知，確）在實際問題中，由問題的實際意義可知，確實存在最大值或最小值，又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內實存在最大值或最小值，又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內只有一個可能的極值點，則該點處的函數(shù)值一定是最只有一個可能的極值點，則該點處的函數(shù)值一定是最大值或最小值。大值或最小值。二二. .兩種特殊兩種特殊情況情況：（1）如果）如果 在在 上是單調函數(shù)；上是單調函數(shù)；)(xfba,單調函數(shù)的最值在端點處取得。單調函數(shù)的最值在端點處取得。542+極小值0-

4、極大值00+(-2,0)-1120-2x34)(xf )(xfy )34, 0()2 ,34(解：解：xxxf43)(2-解方程0)( xf.34,021xx得 例例4 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 52)(23xxxfy上的最大值與最小值。上的最大值與最小值。 2,2由上表可見：由上表可見：x1=0是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極大值點，x2= 是函數(shù)的極小值點。計算函數(shù)極大值點是函數(shù)的極小值點。計算函數(shù)極大值點x1=0、極小值點極小值點x2= 、區(qū)間端點、區(qū)間端點x3=-2和和x4=2處的值。處的值。3434.5)2(,11)2(,27103)34(,5)0(ffff比較上面四個值可見，該函數(shù)的

5、在區(qū)間比較上面四個值可見，該函數(shù)的在區(qū)間2,2上的最大值為上的最大值為5，最小值為，最小值為-11。-20 xy342四四.例題講解例題講解 圖像如右圖所示。圖像如右圖所示。例例5:在邊長為48cm的正方形鐵皮的四角各切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋長方體容器,所得容器的體積v（單位：cm3）是關于截去的小正方形的邊長 （單位：cm3）的函數(shù)。（1）隨著 的變化容積v是如何變化的？（2）截去的小正方形的邊長是多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?xx解解.)248()() 1 (2xxxfv由題意得該函數(shù)的定義域為（0，24）.由導數(shù)公式表及求導法則得)8)(24

6、(12)486)(248()248()248(4)(2xxxxxxxxf得解方程0)( xv24, 821xxx48所以極大值為所以極大值為f（8）=（48-16）28=8192（cm3）當當0 x8時，時，f(x)是增加的；當是增加的；當8x24時，時，f（x）是減少的。）是減少的。（2）又（）又（0,24）上任意點的函數(shù)值都不超過）上任意點的函數(shù)值都不超過f（8），可見），可見f（8）=8192是最大值。是最大值。即當截去的小正方形的邊長為即當截去的小正方形的邊長為8cm時，容器的容積最大為時，容器的容積最大為8192cm3。（0,8）8（8,24）+0-極大值x)(xf )(xfv 由以

7、上兩根得下表，分析導函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調性與極值點。由以上兩根得下表，分析導函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調性與極值點。1 . 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)在區(qū)間間41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值與最小值。上的最大值與最小值。解解) 1)(2(61266)(2xxxxxf132413331242 )(,)(,)(,)(ffff比較可知，比較可知， 在在 上最大值為上最大值為 ，最小，最小值值)(xf4 , 3132)4(f為為3) 1 (f0)( xf得得 : 令令 ，.,1221 xx五五.隨堂演練隨堂演練2.工廠生產某產品，當年產量為工廠生產某產品，當年產量為x（單位：百（單位：百臺）

8、時，總成本（單位：萬元）為臺）時，總成本（單位：萬元）為c(x)=3+x，其銷，其銷售收入售收入 （單位：萬元）為（單位：萬元）為 ,問年產量問年產量x為為25 . 05)(xxxr多少時，總利潤多少時，總利潤l（x） 最大？最大？利潤為利潤為)(.)()()(035042 xxxxcxrxl令令 ，得，得0)( xl4x于是于是 （萬元）是最大值。（萬元）是最大值。5)4(l即每年生產即每年生產400臺時，總利潤最大，最大利潤為臺時，總利潤最大，最大利潤為5萬元。萬元。xxl 4)(因為因為 是函數(shù)是函數(shù) 4x)(xl的唯一極大值點，的唯一極大值點，解解如圖，制作一個容積為如圖，制作一個容積

9、為 的圓柱形密閉的圓柱形密閉容器，容器，v怎樣設計才能使所用材料最??？怎樣設計才能使所用材料最??？hr六六. .思考探究思考探究一、導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最一、導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：主要有以下幾個方面：（1）與幾何有關的最值問題；）與幾何有關的最值問題；（2）與物理學有關的最值問題；（）與物理學有關的最值問題；（3）與利潤及其成）與利潤及其成本有關的最值問題；（本有關的最值問題；（4）效率最值問題。）效率最值問題。七七.課堂小結課堂小結二、求最大（最?。┲祽妙}的一般方法二、求最大（最小）值應用題的一般方法(1)分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化為數(shù)學問題，建立函數(shù)關系式，這是關鍵一步。為數(shù)學問