質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)典型例題

1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)典型例題1 一質(zhì)點(diǎn)做拋體運(yùn)動(dòng)（忽略空氣阻力），如圖一所示。求：質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（1）是否變化？（2）是否變化？（3）法向加速度是否變化？（4）軌道何處曲率半徑最大？其數(shù)值為多少？解：（1）如圖一，如果把理解為切向加速度，即，則由圖二（a）所示，顯然先減小后增大。（2）（3）（4）質(zhì)點(diǎn)在任一點(diǎn)的曲率半徑，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，式中的速度V,夾角均為變量。故質(zhì)點(diǎn)在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的速度最大（）。最大，最小，所以在該處的曲率半徑最大。上拋石塊的位移和路程一石塊以V=4.9m/s的初速度向上拋出，經(jīng)過(guò)2S后，石塊的位移_，路程S_.解：如圖一，設(shè)定石塊上拋的初始點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直向上為正方向。則其運(yùn)動(dòng)方

2、程為2S內(nèi)的位移為，負(fù)號(hào)表明所求位移的方向?yàn)樨Q直向下，即物體在2S內(nèi)改變了運(yùn)動(dòng)方向。先求物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)刻，即，則總路程求解某一位置的速度質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，其加速度隨位置變化的關(guān)系為，如果在x=0處，其速度為，那么，在x=3m處的速度為多少？解：因?yàn)橛钪嫠俣?眾所周知，人造地球衛(wèi)星和人造行星是人類(lèi)認(rèn)識(shí)宇宙的重大發(fā)展但怎樣才能把物體拋向天空，使之成為人造衛(wèi)星或人造行星呢：）這取決于拋體的初速度。有趣的是，在1687年，牛頓出版的第一部著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中，有一幅插圖。這幅圖指出拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡取決于拋體的初速度，它明確地指出發(fā)射人造地球衛(wèi)星的可能性，當(dāng)然這種可能性在當(dāng)時(shí)只是理論上的 270

3、年后，人類(lèi)才把理論上的人造衛(wèi)星變成了現(xiàn)實(shí) 1人造地球衛(wèi)星 第一宇宙速度沒(méi)地球的半徑為、質(zhì)量為。在地面上有一質(zhì)量為m的拋體，以初速豎直向上發(fā)射，到達(dá)距地面高度為h時(shí)，以速度V繞地球作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，如略去大氣對(duì)拋體的阻力，拋體最小應(yīng)具有多大的速度才能成為地球衛(wèi)星？如把拋體與地球作為一個(gè)系統(tǒng)，由于沒(méi)有外力作用在這個(gè)系統(tǒng)上，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒于是， (1)上式可寫(xiě)成 （2）由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律，有 （3）上式可寫(xiě)成 （4） 將（4）式代入（2），得 已知地球表面附近的重力加速度 ，故上式為上式給出了人造衛(wèi)星由地面發(fā)射的速度V1與其所應(yīng)達(dá)到的高度之間的關(guān)系衛(wèi)星發(fā)射速度越大，所能達(dá)到的高度h就越大

4、由上式可以看出，對(duì)于地球表面附近的人造地球衛(wèi)星有，故上式可簡(jiǎn)化為其中，可得 這就是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需達(dá)到的最小速度，通常叫做第一宇宙速度在地球表面附近的衛(wèi)星（RE）h），由式（2）有.故常說(shuō)，人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球的最小速度亦為把式（3）代入式（1），有上式表明，人造地球衛(wèi)星的機(jī)械能是小于零的，即E0 2人造行星 第二宇宙速度如果拋體的發(fā)射速度繼續(xù)增大，致使拋體與地球之間的距離增加到趨于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，即r=，這時(shí)可認(rèn)為拋體已脫離地球引力的作用范圍拋體可成為太陽(yáng)系的人造行星在這種情況下，拋體在地球引力作用下的引力勢(shì)能為零，即、若此時(shí)拋體的動(dòng)能也為零，即，那么拋體在距地球無(wú)限遠(yuǎn)處的總機(jī)械能這就

5、是說(shuō)，在拋體從地面飛行到剛脫離地球引力作用的過(guò)程中，拋體以自己的動(dòng)能克服引力而作功，從而把動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)橐?shì)能由于略去阻力以及其他星體的作用力所作的功，故機(jī)械能應(yīng)守恒，額中V2是使拋體脫離地球引力作用范圍，在地面發(fā)射時(shí)拋體所必須具有的最小發(fā)射速度這個(gè)速度又叫第二宇宙速度由上式可得第二宇宙速度為 從上述關(guān)于第二宇宙速度的討論中可以看出，要使拋體脫離地球引力作用，只要 拋體具有不小于的發(fā)射速度就行，而這時(shí)可以不考慮發(fā)射速度的方向，就能得到所要求的數(shù)值。這是用能量觀點(diǎn)來(lái)討論這類(lèi)問(wèn)題最顯著的一個(gè)優(yōu)點(diǎn) 應(yīng)當(dāng)指出，若發(fā)射速度大于第二宇宙速醫(yī)，這時(shí)拋體的機(jī)械能大于零即E0。理論計(jì)算表明，這時(shí)拋體在太陽(yáng)引力作用

6、下繞太陽(yáng)作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)成為人造行星。 圖繪出了在地面上水平發(fā)射的拋體，其能量與以地球?yàn)閰⒖枷档倪\(yùn)動(dòng)軌跡之間的關(guān)系當(dāng)E0時(shí)，拋體的軌跡為橢圓（包括圓）；當(dāng)E0時(shí)為雙曲線；當(dāng)E=0時(shí)，為拋物線 3 飛出太陽(yáng)系 第三宇宙速度 上面講述了從地球表面發(fā)射的拋體達(dá)到或超過(guò)第二宇宙速度以后，它將外繞太陽(yáng)成為太陽(yáng)系中一顆人造行星。如果我們繼續(xù)增加從地球表面發(fā)射拋體的速度，并使之能脫離太陽(yáng)引力的束縛而飛出太陽(yáng)系，這個(gè)速度稱之為第三宇宙速度，用來(lái)表示。 顯然，要使拋體脫離太陽(yáng)系的束縛，必須先脫離地球引力的束縛，然后再脫離太陽(yáng)引力的束縛。這就是說(shuō)，拋體脫離地球引力束縛后還要具有足夠大的動(dòng)能實(shí)現(xiàn)飛出太陽(yáng)系的目的 首先

7、討論拋體脫離地球引力場(chǎng)的情形我們把地球和拋體作為一個(gè)系統(tǒng)，并取地球?yàn)閰⒖枷?。設(shè)從地球表面發(fā)射一個(gè)速度為的拋體，其動(dòng)能為，引力勢(shì)能為，當(dāng)拋體脫離地球引力的束縛后。它相村地球的速度為，按機(jī)械能守恒定律，有 （1）為求，取太陽(yáng)為參考系，此拋體距太陽(yáng)的距離為RS,相對(duì)太陽(yáng)的速度為。則拋體相對(duì)太陽(yáng)的速度應(yīng)當(dāng)?shù)扔趻侒w相對(duì)地球的速度與地球相對(duì)太陽(yáng)的速度VE之和，即如方向相同，則拋體相對(duì)太陽(yáng)的速度最大，有 （2） 此后拋體在太陽(yáng)的引力作用下飛行，其引力勢(shì)能為，動(dòng)能為；為太陽(yáng)的質(zhì)量，故拋體要脫離太陽(yáng)引力作用，其機(jī)械能至少是 （3） （4）把式（4）代入式（2），有 （5）如設(shè)地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道近似為一圓，那么

8、由于拋體與地球的運(yùn)動(dòng)方向相同亞都只受太陽(yáng)引力的作用，故可以認(rèn)為此時(shí)拋體至太陽(yáng)的距離，即是地球軌道圓的半徑。于是由牛頓第二定律有即得把上式代入（5）式，得將，則，將其代入（1），可得其中，所以第三宇宙速度為 自1957年世界上第一顆人造地球衛(wèi)星上天以來(lái)，1961年前蘇聯(lián)宇航員加加林乘坐宇宙飛船環(huán)繞地球一周人類(lèi)首次進(jìn)入了太空1969年7月美國(guó)阿波羅11號(hào)宇宙飛船首次實(shí)現(xiàn)載人登月1976年美國(guó)海盜1號(hào)宇宙飛船成功登上火星，發(fā)回5萬(wàn)多張照片和大量探測(cè)數(shù)據(jù)。1997年7月4日，美國(guó)“火星探路者”無(wú)人飛船又在火星上著陸，并以火星車(chē)在火星表面采集樣品拍攝照片表明，在幾十億年以前火星上非?？赡馨l(fā)生過(guò)特大洪水。

9、然而火星上是否有過(guò)液態(tài)水，甚至有過(guò)生命，仍然是一個(gè)有待進(jìn)一步考察研究的問(wèn)題1983年美國(guó)先驅(qū)者10號(hào)宇宙飛船超過(guò)太陽(yáng)引力的束縛成為了飛出太陽(yáng)系的第一個(gè)人造天體，人類(lèi)完全有信心指望載人火星飛行、建造適宜人類(lèi)居住的太空城等愿望終能成為現(xiàn)實(shí)。運(yùn)用矢量運(yùn)算求解平均速度如圖一所示，雷達(dá)站探測(cè)飛機(jī)的方位，在某一時(shí)刻測(cè)的飛機(jī)離該站連線與水平方向的夾角；經(jīng)過(guò)0.8S后，測(cè)得飛機(jī)離該站，連線與水平方向的夾角.求：飛機(jī)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度。解：取坐標(biāo)系如圖二所示，兩次測(cè)的飛機(jī)的位矢分別為根據(jù)平均速度的定義，在0.8S內(nèi)飛機(jī)的平均速度為（m/s）故平均速度的大小為平均速度的方向與x軸的夾角為求解桿頂影子的速度地面

10、上垂直豎立一根高20m的旗桿，已知正午時(shí)分太陽(yáng)在旗桿的正上方，如圖一，問(wèn)：在下午2時(shí)整，桿頂在地面上影子的速度為多少？在什么時(shí)刻桿的影子將伸展至20m. 解：地球自西向東自轉(zhuǎn)相當(dāng)于太陽(yáng)自東向西繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，地球自轉(zhuǎn)一周為，故太陽(yáng)繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)一周也是。這樣，太陽(yáng)繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為如從正午時(shí)分開(kāi)始計(jì)時(shí)，則桿的影長(zhǎng)為下午2時(shí)正桿頂在地面上的影子的速度大小為當(dāng)S=h時(shí)，則即所求時(shí)刻為下午三時(shí)整。求解橢圓規(guī)上某一點(diǎn)的速度和加速度如圖一所示，橢圓規(guī)的AB，A、B兩點(diǎn)分別沿Oy槽，Ox槽移動(dòng)，試證明桿上一點(diǎn)C的軌跡為一橢圓。又設(shè)桿上A點(diǎn)以勻速運(yùn)動(dòng)，求：C點(diǎn)的速度和加速度。解：設(shè)某一時(shí)刻AB桿與x軸的夾角為q，

11、則C點(diǎn)的坐標(biāo)為，在以上兩式中消去q，得因而C點(diǎn)的軌跡為一橢圓。C點(diǎn)的速度分量為（下面我們?cè)俑鶕?jù)A點(diǎn)的速度求出）因?yàn)?，所以，按照題意，,得到將上式代入式，得到故，C點(diǎn)的速度為將和對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得C點(diǎn)的加速度的分量為下面我們根據(jù)A點(diǎn)的加速度求解。由于桿的A端作勻速直線運(yùn)動(dòng)，或者，因此=0則由此，得，將上式代入C點(diǎn)的加速度的分量的表達(dá)式，得到則c點(diǎn)的合加速度的大小為求解復(fù)合振子的折合質(zhì)量如圖一，勁度系數(shù)為K的輕彈簧豎直懸掛，下端與一質(zhì)量為M的圓柱體（不能轉(zhuǎn)動(dòng)）相連，不可伸長(zhǎng)的細(xì)線繞過(guò)圓柱體，兩端分別系有質(zhì)量為和的重物。細(xì)繩與圓柱體之間的摩擦力可以忽略不計(jì)。試求：當(dāng)兩重物同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓柱體的振動(dòng)周期。

12、解：取圓柱體為研究對(duì)象，它的受力如圖二所示，其中kx為彈簧對(duì)它作用的向上的彈力，Mg為其自身重力，兩邊的T是兩邊繩對(duì)它的拉力，圓柱體在這幾個(gè)力的共同作用下運(yùn)動(dòng)。取彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，圓柱體的中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸，當(dāng)圓柱體中心位于任一位置x時(shí)，受向上的彈性力，向下的重力Mg以及兩繩的拉力2T，有牛頓第二定律，對(duì)于圓柱體，有 （1）上式中a為此刻圓柱體的加速度，又設(shè)此刻物塊相對(duì)于圓柱體的加速度為（設(shè)其方向向下），則此刻物塊相對(duì)于圓柱體的加速度為，故得此刻和兩物塊的加速度和分別為 （2） （3）同樣，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)于物塊和，可以分別列方程為 （4） (5)由（2）（3）（4）（5）式，解得 （6）（6）代入（1），有解，得圓柱體的加速度為引入一個(gè)新的變量，令則前式變?yōu)橛缮鲜娇梢?jiàn)，對(duì)于新的變量來(lái)說(shuō)，圓柱體將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其振動(dòng)的角頻率為因?yàn)閤與只差一個(gè)常量，故對(duì)于x來(lái)說(shuō)，圓柱體也是做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)的角頻率也就是上面的w，故得圓柱體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為故其等效質(zhì)量為.求解以等效單擺的振動(dòng)周期設(shè)想有一單擺，其擺長(zhǎng)L與地球半徑R相等，試求：此單擺在地球表面附近振動(dòng)的周期T為多少？已知地球半徑為6370km.分析：擺球在地面附近運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為它所受的地球引力的大小不