（人教B版必修5）第一章解三角形章末回顧學(xué)案（含答案）

1、第一章 解三角形 本章回顧1三角形中的邊角關(guān)系設(shè)ABC中，邊a，b，c的對(duì)角分別為A，B，C.(1)三角形內(nèi)角和定理ABC.(2)三角形中的誘導(dǎo)公式sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，sin cos ，cos sin ，tan cot .(3)三角形中的邊角關(guān)系abAB；a>bA>B；ab>c，bc>a，ca>b.(4)三角形中幾個(gè)常用結(jié)論在ABC中，abcos Cccos B(其余兩個(gè)略)；在ABC中，sin A>sin BA>B；在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.2正

2、弦定理(1)正弦定理在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則2R.其中R是ABC外接圓半徑(2)正弦定理的變形公式正弦定理反映了三角形的邊角關(guān)系它有以下幾種變形公式，解題時(shí)要靈活運(yùn)用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；1 / 10sin A，sin B，sin C；sin Asin Bsin Cabc；，.3余弦定理(1)余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C.(2)余弦定理的推論 cos A；cos B；cos C.4三角形

3、的面積三角形面積公式Sahabhbchc；Sabsin Cacsin Bbcsin A；S(abc)r (r為ABC內(nèi)切圓半徑)；S(R為ABC外接圓半徑)；S.5解三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法在三角形的六個(gè)元素中，若知道三個(gè)，其中至少一個(gè)元素為邊，即可求解該三角形，按已知條件可分為以下幾種情況：已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由ABC180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時(shí)只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對(duì)的角；再由ABC180°求出另一角在有解時(shí)只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余

4、弦定理求出角A、B；再利用ABC180°，求出角C.在有解時(shí)只有一解兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解，一解或無(wú)解.6已知兩邊及一邊對(duì)角解三角形，解的個(gè)數(shù)的判斷在ABC中，以已知a，b，A為例判斷方法如下表：A為銳角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba<bsin A解個(gè)數(shù)一解兩解一解無(wú)解A為直角A為鈍角圖形關(guān)系式a>baba>bab解個(gè)數(shù)一解無(wú)解一解無(wú)解一、構(gòu)建方程(組)解三角問(wèn)題例1如圖所示，設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，P

5、到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是1,2,3，求正方形的邊長(zhǎng)解設(shè)邊長(zhǎng)為x，x>0，在ABP中，cosABP，在CBP中，cosCBP，又cos2ABPcos2CBP1，221.x252或x252所以，x，即正方形的邊長(zhǎng)為.例2如圖所示，測(cè)量人員沿直線MNP的方向測(cè)量，測(cè)得塔尖A處的仰角分別是AMB30°，ANB45°，APB60°，且MNPN500 m，求塔高AB.分析設(shè)ABh，則MB，NB，PB都可用h來(lái)表示，在底面BMP中，MNPN500 m，借助MNB與MPB，利用公共角PMB，結(jié)合余弦定理的推論得出方程可求解解設(shè)ABh，ABMB，ABNB，ABPB，又AM

6、B30°，ANB45°，APB60°，MBh，NBh，PBh.在MPB中，cosPMB.在MNB中，cosNMB.整理，得h250.塔高AB為250 m.二、構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)解三角問(wèn)題例3如圖所示，已知O的半徑是1，點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上，BC1，點(diǎn)P是O上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè)(1)若POB，試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于的函數(shù)；(2)求四邊形OPDC面積的最大值分析四邊形OPDC可以分成OPC與PCD.SOPC可用OP·OC·sin 表示；而求PCD的面積關(guān)鍵在于求出邊長(zhǎng)PC，在PO

7、C中利用余弦定理即可求出；至于面積最值的獲得，則可通過(guò)三角函數(shù)知識(shí)解決解(1)在POC中，由余弦定理，得PC2OP2OC22OP·OC·cos 54cos ，所以ySOPCSPCD×1×2sin ×(54cos )2sin.(2)當(dāng)，即時(shí)，ymax2.答四邊形OPDC面積的最大值為2.例4甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時(shí)10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以每小時(shí)8海里的速度由A處向北偏西60°方向行駛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，甲、乙兩船相距最近？分析利用余弦定理構(gòu)建甲、乙兩船的距離關(guān)于時(shí)間t的目標(biāo)函數(shù)，

8、注意到t2時(shí)，乙到達(dá)A處，此時(shí)，甲地、乙地、A地三處構(gòu)不成三角形，要注意分類(lèi)討論如圖所示：解設(shè)甲、乙兩船經(jīng)t小時(shí)后相距最近，且分別到達(dá)P、Q兩處，因乙船到達(dá)A處需2小時(shí)當(dāng)0t2時(shí)，在APQ中，AP8t，AQ2010t，所以PQ 2.當(dāng)t>2時(shí)，在APQ中，AP8t，AQ10t20，PQ2.綜合知，PQ2 (t0)當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)，PQ最小答甲、乙兩船行駛小時(shí)后，相距最近三、利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解三角問(wèn)題例5在ABC中，已知，求證：ABC是等腰三角形或直角三角形分析從題中的等式結(jié)構(gòu)來(lái)看，情況較為復(fù)雜，且求證的是判定ABC為等腰三角形或直角三角形兩種情況因此，應(yīng)綜合應(yīng)用正、余弦定理，先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再討

9、論證明應(yīng)用正弦定理及二倍角公式，將已知等式變形為：，再由余弦定理將其變形為：，整理得0.0或0，若0，則C90°；若0，依據(jù)正弦定理得，即sin Bcos Bsin Ccos C所以sin 2Bsin 2C.所以2B2C或2B2C180°，即BC或BC90°.綜上所述，ABC是等腰三角形或直角三角形例6在ABC中，角A，B，C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若c2，a4，B45°，求ABC的面積分析解決本題的突破口是由c2聯(lián)想到余弦定理，這就需要降次，自然就得進(jìn)行等式的變形變形后自然容易發(fā)現(xiàn)它與余弦定理的關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用余弦定理解決問(wèn)題解因?yàn)閏2，所以變形得

10、(ab)(a2b2c2ab)0.因?yàn)閍b0，所以a2b2c2ab0，即a2b2c2ab.根據(jù)余弦定理的推論得cos C.又因?yàn)?°<C<180°，所以C60°.因?yàn)锽45°，ABC180°，所以A180°(60°45°)75°.根據(jù)正弦定理得，所以b124.根據(jù)三角形的面積公式得SABCabsin C×4×(124)×3612.四、構(gòu)建輔助圓解三角應(yīng)用題例7(能力創(chuàng)新題)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站

11、A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45° 且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由分析第(1)問(wèn)實(shí)際上就是求BC長(zhǎng)度，在ABC中，利用余弦定理求解即可；第(2)問(wèn)警戒區(qū)域是以E為中心的一個(gè)圓，半徑為7(海里)，問(wèn)題實(shí)質(zhì)上可以看作直線BC與圓E是否有交點(diǎn)，因此可以構(gòu)建輔助圓E來(lái)求解解(1)如圖所示，AB40，AC10，BAC，sin .由于0°<<90

12、6;，所以cos .由余弦定理得BC10.所以船的行駛速度為15(海里/小時(shí))(2)如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1y1AB40，x2ACcosCAD10cos(45°)30，y2ACsinCAD10sin(45°)20.所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k2，直線l的方程為y2x40.又點(diǎn)E(0，55)到直線l的距離d3<7，所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域五、利用正、余弦定理解平面幾何問(wèn)題例8(競(jìng)賽競(jìng)技題)(斯特瓦爾特定理)在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，若BDp，DCq，求證：AD

13、2pq.證明如圖所示，在ABD中，由正弦定理：cos B.在ABC中，由余弦定理：cos B.c2p2AD2(c2a2b2)AD2c2p2(c2a2b2)把a(bǔ)pq代入后整理得：AD2c2(c2b2)pq.即AD2pq.注當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，pq，此時(shí)，AD，即三角形中線長(zhǎng)定理斯特瓦爾特定理是三角形中線長(zhǎng)定理推廣，中線長(zhǎng)定理是該定理的特例1構(gòu)造三角形巧求代數(shù)式的值例1設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且，求ab2bc3ac的值解a2acc2a2c22accos 120°42；b2c22c232；a2abb2a222a·cos 150°52.三個(gè)條件式的結(jié)構(gòu)都類(lèi)似余弦定理，于是可以構(gòu)造直角三角形ABC，使C90°.AB5，BC3，CA4，在直角三角形ABC內(nèi)作一點(diǎn)O，使AOB150°，BOC90°，則COA120°，如圖所示OAa，OB，OCc.一方面：SABCSAOBSBOCSCOAa··sin 150°··c·casin 120°(ab2bc3ac