初二數(shù)學(xué)整式的乘除與因式分解復(fù)習(xí)2

1、整式的乘除與因式分解一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.把握與整式有關(guān)的概念；2.把握同底數(shù)冪、冪的乘法法就，同底數(shù)冪的除法法就，積的乘方法就；3.把握單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的相關(guān)運(yùn)算；4.把握乘法公式：平方差公式，完全平方公式；5.把握因式分解的常用方法；二、學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)：1、單項(xiàng)式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式；單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式；單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項(xiàng)式的次數(shù)；如：2a 2 bc 的 系數(shù)為2 ，次數(shù)為4，單獨(dú)的一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0；2、多項(xiàng)式： 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)；如： a 22 abx

2、1 ，項(xiàng)有a2 、2 ab 、 x 、1，二次項(xiàng)為a 2 、2ab ，一次項(xiàng)為x ，常數(shù)項(xiàng)為 1，各項(xiàng)次數(shù)分別為2， 2， 1，0，系數(shù)分別為1，-2， 1， 1，叫二次四項(xiàng)式；3、整式： 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式；留意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式；也不是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式；4、多項(xiàng)式按字母的升（降）冪排列：3如： x2x 2 y 2xy2 y 31按 x 的升冪排列：12 y 3xy2 x2 y 2x3按 x 的降冪排列：x32x 2 y 2xy2 y 31按 y 的升冪排列：1x3xy2x2 y 22 y3按 y 的降冪排列：2y 32 x2 y 2xyx 315、同底數(shù)冪的乘法法就：aaa

3、（ m,n 都是正整數(shù)）m nmn同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；留意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式；如： ab2 ab 3ab5523106、冪的乘方法就： a m na mn （ m, n 都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；如：3 冪的乘方法就可以逆用：即a mna m nan m如： 46 42 343 27、積的乘方法就：ab nan bn （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積；如：（2x3 y 2 z 5 = 2 5 x3 5 y 2 5z532x15 y10 z58、同底數(shù)冪的除法法就：a ma na m n （ a0,m, n 都是正整數(shù)，且mn同底數(shù)冪相除，底數(shù)不

4、變，指數(shù)相減；如： ab 4abab3a 3b 39、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；a 01 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1；p1a倒數(shù)；p （ aa3130, p 是正整數(shù)） ，即一個(gè)不等于零的數(shù)的p 次方等于這個(gè)數(shù)的p 次方的1如： 22810、單項(xiàng)式的乘法法就：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；留意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再運(yùn)算肯定值；相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法就；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式單項(xiàng)式乘法法就對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果

5、仍是一個(gè)單項(xiàng)式；如：2x 2 y 3 z3xy11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即 mabcmambmc m, a ,b,c 都是單項(xiàng)式 留意：積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；運(yùn)算時(shí)要留意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)；在混合運(yùn)算時(shí)，要留意運(yùn)算次序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)；如： 2 x 2x3 y3 yxy12、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法就；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加；3a如：2b a3b22 x5 x613、平方差公式： ab abab 留意平方差公式綻開(kāi)只有兩項(xiàng)公式特點(diǎn)： 左

6、邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；如： xyz xyz14、完全平方公式：ab2a 22abb 2公式特點(diǎn)： 左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊有三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，而另哪一項(xiàng)左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的留意：2 倍；a 2b 2ab22ab ab22ab22222ab2ab 24ab2ababababab ab完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2 倍；15、三項(xiàng)式的完全平方公式：abc 2a 2b2c22ab2ac2bc16、單項(xiàng)式的除法法就：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商

7、的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式；留意：第一確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，假如只在被除式里含有的字母，就連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式如：7a 2 b 4 m49a 2 b17、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法就：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加；即： ambmcmmammbmmcmmabc18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法三、學(xué)問(wèn)點(diǎn)分析：1.同底數(shù)冪、冪的運(yùn)算： am·an=am+n m， n 都是正整數(shù) . amn=amn m， n 都是正整數(shù) .例題 1. 如 2 a 2

8、64 ，就 a=；如 273n38 ，就 n=.例題 2. 如 5 2 x 1125 ，求 x2021x的值；2例題 3.運(yùn)算xnm322 y2 yx練習(xí)2 n1.如 a3 ，就6na=.2.設(shè) 4x =8y-1 ,且 9y=27 x-1 ,就 x-y 等于；2.積的乘方abn=an bnn 為正整數(shù) . 積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.3p例題 1.運(yùn)算：nm3. 乘法公式4pmnnm平方差公式：ababa 2b 2完全平方和公式：完全平方差公式：aba 22ab 2a 22abb 22abb2例題 1. 利用平方差公式運(yùn)算：2021×2007 20212

9、例題 2.利用平方差公式運(yùn)算：2007 2200720212006例題 3.利用平方差公式運(yùn)算：22007202120061例題 4.（ a2b 3cd）（ a 2b3c d）變式練習(xí)1廣場(chǎng)內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為2a 米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3 米，東西方向要加長(zhǎng)3 米，就改造后的長(zhǎng)方形草坪的面積是多少？2.（ 3+1 ）（ 32+1）（ 34+1）（ 32021+1 ）3401623. 已知 x1 x2,求21xx 2 的值4、已知 xy 216, xy 24，求 xy 的值5.假如 a2 b 2 2a 4b 5 0 ，求 a、 b 的值6.試說(shuō)明（ 1）兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方差必是

10、奇數(shù)（ 2）如 a 為整數(shù)，就a 3a 能被 6 整除7.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加4cm ，面積就增加56cm ，求原先正方形的邊長(zhǎng)4. 單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的乘除運(yùn)算（ 1）（ a1b）（ 2a6b）（ 3a213b2）；112（ 2） （ ab）（ a b） 2÷（ a2 2ab b2） 2ab（ 3）已知 x2 x 1 0，求 x3 2x2 3 的值5. 因式分解：1.提公因式法：式子中有公因式時(shí)，先提公因式；例 1 把 2ax10 ay5bybx 分解因式分析： 把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x 的降冪排列， 然后從兩組分別提出公因式2a 與b ，這時(shí)另一個(gè)因式

11、正好都是x5 y ，這樣可以連續(xù)提取公因式解： 2 ax10ay5bybx2a x5 yb x5 y x5 y2 ab 說(shuō)明： 用分組分解法， 肯定要想想分組后能否連續(xù)完成因式分解，由此合理挑選分組的方法此題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試?yán)?2 把 abc2d 2 a2b2 cd 分解因式分析： 依據(jù)原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式解： abc2d 2 a2b2 cdabc2abd 2a2 cdb2cd abc2a2 cdb2cdabd2 acbcad bd bcad bcad acbd 說(shuō)明： 由例 3、例 4 可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了

12、加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了安排律由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中 所起的作用2. 公式法： 依據(jù)平方差和完全平方公式例題 1 分解因式9x225y23.配方法：例 1 分解因式x26 x16解： x26x16x22x3323216 x3252 x35 x35x8 x2說(shuō)明： 這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，此題仍有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)4.十字相乘法：2（ 1） x pqxpq 型的因式分解這類式子在很多問(wèn)題中常常顯現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；2 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；

13、3 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和x2 pqxpqx2pxqxpqx xpqxp xp xq2因此，x pq xpq xp xq運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次三項(xiàng)式分解因式例 1 把以下各式因式分解：1x27 x6(2)x213x36解： 1616,167x27x6x1 x 6 xx 1 6 23649,4913x21 3x3 6x4 x 9 說(shuō)明： 此例可以看出， 常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同例 2 把以下各式因式分解：12x5x2422x2 x15解： 12438,385x25x2 4x3 x 8 xx 3 8 21553,532

14、x22x1 5x5 x 3 xx5 3 說(shuō)明： 此例可以看出， 常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中肯定值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同2222例 3 把以下各式因式分解：2(1) xxy6 y(2) xx8 xx12分析： 1 把 x2xy6 y2 看成 x 的二次三項(xiàng)式，這常常數(shù)項(xiàng)是6y2 ，一次項(xiàng)系數(shù)是y ，把6y2 分解成 3 y 與2 y 的積，而 3 y2 yy ，正好是一次項(xiàng)系數(shù)2由換元思想，只要把x2x 整體看作一個(gè)字母a ，可不必寫出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式a 28a12 解： 1x2xy6 y2x2yx62 x3y x2y2x2x28x2x12 x2x6 x2x2

15、x3 x2 x2 x1（ 2）一般二次三項(xiàng)式ax2bxc 型的因式分解大家知道， a xc a xc a a x2a ca c xc c 1122121 22 11 2反過(guò)來(lái)，就得到：a a x2a ca c xc ca xc a xc 121 22 11 21122我們發(fā)覺(jué)，二次項(xiàng)系數(shù)a 分解成a1a2 ，常數(shù)項(xiàng) c 分解成c1c2 ，把 a1 a, 2 ,c1 c, 2寫成 a1a2c1 ，c2這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1 c2a2 c1 ，假如它正好等于ax2bxc 的一次項(xiàng)系數(shù) b ，那么ax2bxc 就可以分解成 a xc a xc ，其中 a ,c 位于上一行， a ,

16、c11221122位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法必需留意， 分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情形，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解例 4 把以下各式因式分解：112 x25x225x26xy8y2解： 112x25x23x24 x1324112 y2225x6xy8yx2 y5 x4 y54 y說(shuō)明： 用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是 1 時(shí)較困難， 詳細(xì)分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，如原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法 ”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否就用加法 ”湊”，先 ”湊”

17、肯定值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)練習(xí)1、 已知 2xy1， xy32 ，求2x4 y 3x3 y 4的值；222、 如 x、y 互為相反數(shù)，且 x2 y14 ，求 x、y 的值提高練習(xí)1（ 2x2 4x10xy）÷（）15x 1y222如 x y 8， x2y2 4，就 x2 y2 3代數(shù)式4x2 3mx 9 是完全平方式就m 4（ a1）（ a 1）（ a2 1）等于（）（ a ） a4 1（b ） a4 1（ c）a4 2a2 1（ d） 1 a45已知 a b 10，ab 24，就 a2 b2 的值是（ a ） 148（ b ）76（ c）58（ d ） 52（）6（ 2）（x

18、3y） 2（4x 3y） 2；（ 2）（x22x 1）（ x2 2x1）；47（ 11 ）（ 1221 ）（ 1321）（ 1421）（ 1921）的值10218已知 x 2，求 x2 1 xx 2， x41的值x49已知（ a 1）（ b 2） a（ b 3） 3，求代數(shù)式a 2b 22 ab 的值10如（ x2px q）（ x22x 3）綻開(kāi)后不含x2， x3 項(xiàng)，求 p、q 的值整式的乘除與因式分解單元試題一、挑選題： （每道題 3 分，共 18 分）1、以下運(yùn)算中，正確選項(xiàng)a.x 2·x3=x6b. ab 3 =a3b3c.3a+2a=5a2d.（x3）2= x 52、以下從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）（ a）（ b）（ c）（ d）3、以下各式是完全平方式的是（）a、b、c、d、 4、以下多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（）（ a）（ b）（ c）（ d）5、如 x+m 與x+3 的乘積中不含x 的一次項(xiàng)，就m的值為（）a.3b. 3c