講稿4誤差的估算s

1、第三節(jié)誤差的估算由于物理量的數(shù)值的獲得途徑有直接測量和間接測量兩種，無論直測量，還是間測量都有誤差，誤差的計算也分兩種情況。廣義地講， 兩種情況的處理都屬于誤差計算。然而，間測量是由直測量決定的， 以直測量為基礎的，間測量的誤差是由直測量通過給定的函數(shù)關系確 定的。因此，狹義地講，常把直測量的誤差計算稱為誤差計算，而將 間測量的誤差計算叫誤差傳遞。此外，由于嚴格意義上的誤差是無法 計算的，因而只能通過各種方法進行近似計算， 故將誤差計算稱為誤 差的估算，而且可有多種方法進行估算。下面就介紹幾種常用的誤差 估算方法。一、直測量的誤差估算1 .算術(shù)平均誤差在測量列Xi中，各次測量的誤差的絕對值的算

2、術(shù)平均值叫算術(shù)平均誤差。記為X。按定義X 1nXiXoni 1或X 1nXini 1其中XiXi Xo。當n較大時，可用下式估算為Xi XX 一 n n 1此法比前法得到的偏差要大些。2.絕對誤差誤差的絕對值叫絕對誤差。狹義的絕對誤差，如上面的Xi , X 而廣義的絕對誤差還有后面要討論的Sx, x, Q等。3.相對誤差絕對誤差與平均值的百分比叫相對誤差，又叫百分誤差。記為Er 其估算方法為ErX100%X廣義地講后面要討論的晏、等都可叫相對誤差。X4.標準誤差（實驗標準差）按定義，標準誤差是測量列中各次誤差的方均根，記為x需要注意的是，上式是在測量次數(shù)很多時，測量列按正態(tài)分布時所得 到的結(jié)果

3、。實際上，由于真值無法獲得，而測量次數(shù)也只能是有限的。因此,標準誤差x只能通過偏差進行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、 極差法、Bessel法等，它們的估算結(jié)果基本一致。應用上，一般使用Bessel 方法。Bessel標準偏差Sx的計由統(tǒng)計理論可推導出，對有限次測量的算公式（Bessel公式）為:SxXi1 '2 1 2或Sx X i X i1 i inii即最后是用Sx代替x。通常所說的標準誤差，實際上就是 Sx5算術(shù)平均值的標準差算術(shù)平均值的標準差與實驗標準差的關系為Sx?Sx類似的關系還有算術(shù)平均值的平均差與算術(shù)平均差的關系1n? %而且 X0.80Sx。二、間測量的誤差計算

4、（誤差的傳遞）上面所討論的誤差計算方法是對直測量而言的， 在此基礎上我們 可以進一步討論間測量的誤差計算問題。我們知道，間測量是由直測 量通過一定的函數(shù)關系決定相應的間測量的誤差，它們之間的這種關 系叫誤差的傳遞，相應的計算公式叫誤差傳遞公式。 下面我們首先討 論誤差傳遞公式的一般形式，然后再將其運用于一些具體情況。1誤差傳遞公式的一般形式設間接測量量f與彼此獨立的直接測量量x、y、z （只取3個）間的函數(shù)關系為f f x, y,z測量結(jié)果用平均值和絕對誤差表示為y y yz z z和f f f其中,f f x,y,z。將f x, y, z在x, y, z點按泰勒級數(shù)展開有 f-f-f-f x

5、,y,zf x,y,z? x x? y y? z zxyz+（高階小量）將此結(jié)果與前面假定關系式f f f比較，忽略高階小量，并考慮到誤差傳遞中通過組合可能產(chǎn)生的最大值，取間測量的絕對誤差為相對誤差為根據(jù)標準差的定義，由上述展開式，在考慮到x,y,z是彼此獨立2f 2xx2In fy2In f其中丄、空分別為丄、xxx在x,y,z點處的值x的情況，可得標準差的傳遞公式的絕對形式為 22 f 2 y z z相對形式為為了較好地使用標準誤差的傳遞公式，需要說明的是:（1）如果f由x,y,z按加（減）關系確定時，常用標準誤差傳遞的絕對 形式計算。（2）如果f由x,y,z按乘（除）關系確定時，常用誤差

6、傳遞的相對形式 計算。（3）如果x, y, z彼此不獨立，還需計算相關系數(shù)（協(xié)方差）。例如：若 f x?y，當x y （僅數(shù)值相等）時的誤差傳遞，與取x y（ x與y完 全相關）后f x2的誤差傳遞是不一樣的。因為，當f x?y時有2 2fxy再取x y時，化為-.2?。fx而當f x2時丿 2?。fx可見，前者在取x y時，僅為數(shù)值上相等，而它們?nèi)允潜诵┆毩⒌膬?個變量；而后者，則為完全相關，即 x與y為同一個變量了，故結(jié)果 也不一樣了。2.誤差傳遞公式的具體形式為了實際計算方便，我們將一些常見函數(shù)關系確定的誤差傳遞公式列于下表。函數(shù)關系一般誤差傳遞公式標準差傳遞公式fx yfxyfJ 22

7、V xyfx? yfxx_yyff2 J x1 x2yyfkxfk? xfk xf仮f fff1 ? k xfp qx yfx pxq-y r zf|px22q y2r zr zfyzf” xyzfsin xfcosx|xfcosx| xfIn xfxxfxx誤差傳遞的實際例子(1)2.Y=aXlX2(fl為常系數(shù))(2)A7 AZ】AZ2Y 石 屯(3)醛=±/a)心(5)（3）和（5）式表明，當函數(shù)形式為積和商的形式時，其相對誤差為各自變量的 相對誤差之和。4.(ii)5.Y 務為常系數(shù)）LY1 AZ有Yb X(12)熟悉微積分的同志很容易得出上述各式下面再討論幾個實驗的例子。4小g 例1 .單擺法測重力加速度的公式'-我們由公式直接討論，微商取絕對值,起辛滋+ 4品罔疔 大小鉛球的中心距離，d為扭秤臂長，S為亮點最大位移量，M為大鉛球的質(zhì)量， T為振動周期，L為凹面鏡到刻度尺的距離。其中r、d、M可認為是定值常數(shù)（當 然也可測量），S T、L是實驗中的待測量。因而相對誤差蚯卡2曲”險 X Ar 十皀 I 7(13)(14)例2用萬有引力實驗器測定萬有引力的公式G = r2sd/ MT2L,式中r為現(xiàn)在我們直接用相對誤差的計算公