數(shù)學(xué)分析教案_(華東師大版)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)導(dǎo)言數(shù)學(xué)分析課程簡(jiǎn)介( 2學(xué)時(shí) )一、數(shù)學(xué)分析 (mathematical analysis)簡(jiǎn)介 :1. 背景 : 從切線、面積、計(jì)算 sin 32 、實(shí)數(shù)定義等問題引入 .2. 極限 ( limit ) 變量數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算：3. 數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容： 數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運(yùn)算研究變實(shí)值函數(shù) . 主要研究微分 (differential)和積分 (integration)兩種特殊的極限運(yùn)算 ,利用這兩種運(yùn)算從微觀和宏觀兩個(gè)方面研究函數(shù),并依據(jù)這些運(yùn)算引進(jìn)并研究一些非初等函數(shù) .數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算.數(shù)學(xué)

2、分析與微積分 (calculus)的區(qū)別 .二、數(shù)學(xué)分析的形成過程：1. 孕育于古希臘時(shí)期： 在我國，很早就有極限思想 . 紀(jì)元前三世紀(jì) , Archimedes 就有了積分思想 .2. 十七世紀(jì)以前是一個(gè)漫長(zhǎng)的醞釀時(shí)期 , 是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時(shí)期 .3. 十七世紀(jì)下半葉到十九世紀(jì)上半葉 微積分的創(chuàng)建時(shí)期 .4. 十九世紀(jì)上半葉到二十世紀(jì)上半葉 分析學(xué)理論的完善和重建時(shí)期：三、數(shù)學(xué)分析課的特點(diǎn) :學(xué)習(xí)必備歡迎下載邏輯性很強(qiáng) , 很細(xì)致 , 很深刻 ;先難后易 , 是說開頭四章有一定的難度 ,倘能努力學(xué)懂前四章 ( 或前四章的),后面的學(xué)習(xí)就會(huì)容易一些 ; 只要在課堂上專心聽講 ,

3、一般是可以聽得懂的,但即便能聽懂 , 習(xí)題還是難以順利完成 . 這是因?yàn)閿?shù)學(xué)分析技巧性很強(qiáng) ,只了解基本的理論和方法 , 不輔以相應(yīng)的技巧 , 是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的 , 也是重要的內(nèi)容之一 , 也是最難的內(nèi)容之一 .一般懂得了證明后 , 能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)練地用數(shù)學(xué)的語言和符號(hào)書寫出來， 似乎是更難的一件事 . 因此 , 理解證明的思維方式 , 學(xué)習(xí)基本的證明方法 , 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式 , 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項(xiàng)任務(wù) .有鑒于此 , 建議的學(xué)習(xí)方法是 : 預(yù)習(xí) , 課堂上認(rèn)真聽講 , 必須記筆記 , 但要注意以聽為主 , 力爭(zhēng)在課堂

4、上能聽懂七、八成 . 課后不要急于完成作業(yè) , 先認(rèn)真整理筆記 , 補(bǔ)充課堂講授中太簡(jiǎn)或跳過的推導(dǎo) , 閱讀教科書 , 學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)的敘述和書寫 . 基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后 , 再去做作業(yè) . 在學(xué)習(xí)中 , 要養(yǎng)成多想問題的習(xí)慣 .四、課堂講授方法 :1. 關(guān)于教材及參考書 : 這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方 , 本課程主要從以下教科書中取材 :1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，2001；2 劉玉璉 傅沛仁 編，數(shù)學(xué)分析講義，高等教育出版社， 1992；3 謝惠民，惲自求 等 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義，高等教育出版社， 2003；4 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版

5、社， 1999；5 林源渠，方企勤 數(shù)學(xué)分析解題指南，北京大學(xué)出版社， 2003.2. 本課程按 1 的邏輯順序并在其中取材 . 本課程為適應(yīng)教學(xué)改革的要求， 只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容， 并加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)， 注重學(xué)生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。 帶學(xué)習(xí)必備歡迎下載星號(hào)的內(nèi)容略講或刪去，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在數(shù)學(xué)分析選講課開設(shè).3. 內(nèi)容多 , 課時(shí)緊 : 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是 , 這里每次課介紹的內(nèi)容很多 , 因此 , 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少 , 講課只注重思想性與基本思路 , 具體內(nèi)容或推導(dǎo) , 特別是同類型或較簡(jiǎn)的推理論證及推導(dǎo)計(jì)算 , 可能講得很簡(jiǎn) , 留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重 .4. 講解的

6、重點(diǎn) : 概念的意義與理解 , 幾何直觀 , 理論的體系 , 定理的意義、條件、結(jié)論 . 定理證明的分析與思路 , 具有代表性的證明方法 , 解題的方法與技巧 .某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.五. 要求、輔導(dǎo)及考試：1. 學(xué)習(xí)方法 : 盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法 , 盡快進(jìn)入角色 . 課堂上以聽為主 ,但要做課堂筆記 . 課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化 , 補(bǔ)充筆記 . 一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時(shí)間比例應(yīng)為 : 3 。對(duì)將來從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來說 , 課堂聽講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富 : 要認(rèn)真評(píng)價(jià)教師的課堂教學(xué) , 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗(yàn) . 這對(duì)未來的教學(xué)工作是很有用的 .2.

7、 作業(yè) : 作業(yè)以練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題為主要內(nèi)容 . 大體上每周收一次作業(yè) , 一次收清 . 每次重點(diǎn)檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一 . 作業(yè)的收交和完成情況有一個(gè)較詳細(xì)的登記 , 缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評(píng)成績(jī) . 作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫工整 .3. 輔導(dǎo) : 大體每周一次 , 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時(shí)不缺席 .4. 考試 : 按教學(xué)大綱的要求 , 只以最基本的內(nèi)容進(jìn)行考試 , 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容 , 包括 1 中的典型例題 . 考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題， 理論證明題逐漸增多 .第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載教學(xué)目的：1. 使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的概念， 建立起實(shí)數(shù)集確界的清晰概念； 2.

8、使學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念， 熟悉與函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語。 要求學(xué)生： 理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、 稠密性與封閉性； 掌握鄰域的概念； 牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式； 理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理， 并在有關(guān)命題證明中正確地加以應(yīng)用； 深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、 反函數(shù)、有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和初等函數(shù)的定義， 熟悉函數(shù)的各種表示方法； 牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象，會(huì)求函數(shù)的定義域，會(huì)分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)： 函數(shù)、確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)。教學(xué)時(shí)數(shù)： 10 學(xué)時(shí)§ 1 實(shí)數(shù) （2 學(xué)時(shí)）教學(xué)目的： 使學(xué)生掌握實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：1

9、. 理解并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；2. 牢記并熟練運(yùn)用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個(gè)常見的不等式（它們是分析論證的重要工具）教學(xué)難點(diǎn)： 實(shí)數(shù)集的概念及其應(yīng)用教學(xué)方法： 講授（部分內(nèi)容自學(xué)）一復(fù)習(xí)引新：1. 實(shí)數(shù)集：回顧中學(xué)中關(guān)于實(shí)數(shù)集的定義.2. 四則運(yùn)算封閉性 :學(xué)習(xí)必備歡迎下載3. 三歧性 ( 即有序性 ):4.Rrchimedes 性 :5. 稠密性 : 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性 , 給出稠密性的定義 .6. 實(shí)數(shù)集的幾何表示 數(shù)軸 :7. 兩實(shí)數(shù)相等的充要條件 :8. 區(qū)間和鄰域 :二.講授新課：（一） .幾個(gè)重要不等式 :1.絕對(duì)值不等式 :定義1P3的六個(gè)不等式.2.其他

10、不等式:均值不等式:對(duì)記(算術(shù)平均值幾何平均值調(diào)和平均值 )學(xué)習(xí)必備歡迎下載有平均值不等式 :等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立 . Bernoulli不等式 : ( 在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過 )有不等式當(dāng)且,且時(shí),有嚴(yán)格不等式證：由且利用二項(xiàng)展開式得到的不等式:對(duì)由二項(xiàng)展開式有上式右端任何一項(xiàng) .作業(yè)： （）（）、（）§ 2數(shù)集確界原理（4 時(shí)）教學(xué)目的 ：使學(xué)生掌握確界原理，建立起實(shí)數(shù)確界的清晰概念。教學(xué)要求：1. 掌握鄰域的概念；2. 理解實(shí)數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運(yùn)用。教學(xué)重點(diǎn) ：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理） 。教學(xué)難點(diǎn) ：確界的定義及其應(yīng)用。學(xué)習(xí)必備歡

11、迎下載教學(xué)方法 ：講授為主。一、區(qū)間與鄰域二、有界數(shù)集與確界原理:1.有界數(shù)集 :定義 ( 上、下有界 ,有界 ) ， 閉區(qū)間、為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合也是有界數(shù)集 .無界數(shù)集 :定義 ,等都是無界數(shù)集 ,集合也是無界數(shù)集 .2. 確界 : 給出直觀和刻畫兩種定義 .例1則則例 2非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的 .例 3設(shè)和是非空數(shù)集，且有則有.例 4設(shè)和是非空數(shù)集 . 若對(duì)和都有則有證是的上界,是的下界,學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 5和為非空數(shù)集 ,試證明:證有或由和分別是和的下界,有或即是數(shù)集的下界 ,又的下界就是的下界 ,是的下界 ,是的下界 ,同理有于是有.綜上,有.3. 數(shù)

12、集與確界的關(guān)系 : 確界不一定屬于原集合 . 以例 1為例做解釋.4. 確界與最值的關(guān)系 : 設(shè) 為數(shù)集 . 的最值必屬于 , 但確界未必 , 確界是一種臨界點(diǎn) .非空有界數(shù)集必有確界 ( 見下面的確界原理 ),但未必有最值 .若存在 ,必有對(duì)下確界有類似的結(jié)論 .三、確界原理 :Th1.1( 確界原理 )設(shè) S 為非空數(shù)集。若 S 有上界，則 S 必有上確界；若 S 有下界，則 S 必有下確界。作業(yè)：；§3函數(shù)概念(2學(xué)時(shí))學(xué)習(xí)必備歡迎下載教學(xué)目的 ：使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念。教學(xué)要求 ：1. 深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表示方法；2. 牢記

13、基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。會(huì)求初等函數(shù)的存在域，會(huì)分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn) ：函數(shù)的概念。教學(xué)難點(diǎn) ：初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析。一、函數(shù) :1. 函數(shù) : 1P10 11 的四點(diǎn)說明 .2. 定義域 : 定義域和存在域 .3. 函數(shù)的表示法 :4. 反函數(shù) :一一對(duì)應(yīng) , 反函數(shù)存在定理 .5. 函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 :二、分段函數(shù) :以函數(shù)和為例介紹概念 .例 1去掉絕對(duì)值符號(hào) .例 2求例3設(shè)求(答案為8)三、函數(shù)的復(fù)合 :學(xué)習(xí)必備歡迎下載例4求并求定義域 .例 5 則A.B.C.D.4P407 E62.四、初等函數(shù) :1. 基本初等函數(shù) :2. 初等函數(shù) :3.初等函數(shù)的幾個(gè)特例 :設(shè)函數(shù)和都是初等函數(shù) ,則是初等函數(shù) ,因?yàn)楹投际浅醯群瘮?shù) ,因?yàn)?.冪指函數(shù)是初等函數(shù) , 因?yàn)閷W(xué)習(xí)必備歡迎下載作業(yè)：P153；4.(2)(3)； 5. (2)； 7: (3)；11§ 4 具有某些特性的函數(shù)( 2 學(xué)時(shí) )教