行(列)滿秩矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、摘 要本文將行（列）滿秩矩陣的性質(zhì)與可逆矩陣（即滿秩矩陣）的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行比較，歸納出行（列）滿秩矩陣在解線性方程組、矩陣秩的證明及矩陣分解等方面的若干應(yīng)用，使其不受方陣的正方性限制，而應(yīng)用起來(lái)又與可逆矩陣相差無(wú)幾。關(guān)鍵詞：可逆矩陣；行(列)滿秩矩陣；矩陣的秩；線性方程組AbstractThis article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (c

2、olumn) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible.Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The Sy

3、stem of linear equations. 目 錄1 引 言12 預(yù)備知識(shí)23 可逆矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用24 行（列）滿秩矩陣的性質(zhì)55 行（列）滿秩矩陣的若干應(yīng)用115.1 在矩陣秩的證明中的應(yīng)用115.2 在齊次線性方程組中的應(yīng)用125.3 在非齊次線性方程組中的應(yīng)用145.4 在幾類特殊矩陣分解方面的應(yīng)用17參 考 文 獻(xiàn)20行（列）滿秩矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用1 引 言矩陣是高等代數(shù)研究的一個(gè)重要內(nèi)容，用矩陣來(lái)表述問題，并通過(guò)矩陣的運(yùn)算解決相關(guān)問題的方法，通常叫做矩陣方法。矩陣?yán)碚摷捌湟讶怀蔀楝F(xiàn)今眾多科學(xué)領(lǐng)域中不能缺少的。例如在模糊識(shí)別、密碼通訊、分子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析、機(jī)器人位移、導(dǎo)航

4、、觀測(cè)等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用。矩陣的現(xiàn)代觀點(diǎn)是在十九世紀(jì)時(shí)慢慢形成的。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯（F.Gauss,1777-1855）在1801年時(shí)，就把一個(gè)線性變換中的所有系數(shù)當(dāng)成一個(gè)整體。而在1844年時(shí)，德國(guó)的另一位著名數(shù)學(xué)家愛森斯坦（F.Eissenstenin,1823-1852）根據(jù)“變換矩陣”和其乘積進(jìn)行討論。不過(guò)“”這一詞的由來(lái)卻是來(lái)自英國(guó)的數(shù)學(xué)家西爾維斯特（Sylvester,1814-1897），這是他于1850年首先提出并對(duì)其進(jìn)行了研究，以便之后的英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（A.Gayley,1821-1895）為創(chuàng)立矩陣?yán)碚撟龀鲋卮蟮呢暙I(xiàn)。從而，經(jīng)過(guò)西爾維斯特、凱萊等眾多數(shù)學(xué)家們的不懈努力，使得

5、矩陣?yán)碚摰玫胶艽蟮陌l(fā)展，并被廣泛應(yīng)用。如的特征根和特征向量、正交矩陣、酉矩陣、可逆矩陣而在矩陣的理論和應(yīng)用中，可逆矩陣（或者滿秩矩陣）卻是占據(jù)了重要的地位。它的應(yīng)用是多方面的，如在矩陣秩的證明、解方程組、特殊矩陣分解等問題中可逆矩陣比一般的矩陣更容易處理，這就要?dú)w功于逆的作用。但當(dāng)人們?cè)谑褂每赡婢仃嚱鉀Q問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，首先，它必須是一個(gè)方陣，而且矩陣的秩還必得與矩陣的階數(shù)相同。因此，人們經(jīng)由數(shù)學(xué)家的不斷探索，把滿秩矩陣推廣成行（列）滿秩矩陣，使它不受方陣的正方性所限制，而應(yīng)用起來(lái)又與可逆矩陣相差無(wú)幾，能夠更廣泛地使用矩陣這一工具來(lái)解決相關(guān)問題。本文是將他人的研究成果進(jìn)行收集整理，并在此基礎(chǔ)上，將行

6、（列）滿秩矩陣的性質(zhì)及其相關(guān)的應(yīng)用與可逆矩陣（即滿秩矩陣）的性質(zhì)及其相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行比較，歸納出行（列）滿秩矩陣在解線性方程組、相關(guān)矩陣的秩的證明及矩陣的分解等方面的應(yīng)用。2 預(yù)備知識(shí)設(shè)是一個(gè)的矩陣，如若將的每一行都看成維的一個(gè)行，則，這里邊是的第行，同理，若將的每一列都看成一個(gè)維的列向量，則，其中是的第列，.則稱，向量組是的行向量組。定義2.1 矩陣行向量組的秩，叫做矩陣的行秩；矩陣列的秩，則叫做矩陣的列秩。例1 設(shè),我們可知的行秩為3，而其列秩也為3.2.2 如果矩陣中不等于零的子式的最大為，則叫做矩陣的秩，可記為.例2 求矩陣的秩。解： 因?yàn)槲挥诰仃囍械牡?，2行和矩陣中的第2，3列的二階子

7、式里,中包含的三階子式只有兩個(gè)，且都為0，即，所以.3 可逆矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用定義3.1 設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，是階的單位矩陣。如果存在上的一個(gè)階方陣,使得，則我們就說(shuō)是可逆矩陣（或者滿秩矩陣），成為的逆矩陣。引理1 對(duì)任意矩陣恒有：秩秩，秩秩.性質(zhì)3.1 對(duì)可逆矩陣以及任意的，恒有：秩秩=秩.證明：根據(jù)性質(zhì)3.1可知，,所以，有.因此，我們也可證得,所以有.證畢。性質(zhì)3.2 設(shè)是階的可逆矩陣，是階的可逆矩陣，如果存在著，則.證明：將階方陣進(jìn)行分塊，即,其中.也將階方陣進(jìn)行分塊，即,其中.于是，按上式得 如果，不妨設(shè)，則.但可逆，所以可逆。將再進(jìn)行分塊，即,其中，再比較，得.這與可逆相矛盾，所以

8、不成立。同理可證也不成立，所以. 定義3.2 設(shè)是數(shù)域上階非零矩陣，若是存在階、階的可逆矩陣,使得，則我們就稱矩陣的秩為，記為.若是,規(guī)定.性質(zhì)3.3 對(duì)于任意的階方陣,設(shè),若是可逆矩陣，則有.證明：由題意可知，因?yàn)槭强赡婢仃?，所以存?即，令兩端同時(shí)左乘,則有,所以得證。性質(zhì)3.4 設(shè)都是不為零的方陣，且為可逆矩陣，若有,則.證明：因?yàn)槭强赡婢仃嚕瑒t存在,所以令兩邊同時(shí)左乘,有,所以.性質(zhì)3.5 設(shè)都是階不為零的，且,則.證明：因?yàn)?所以.又因?yàn)槭遣粸榱愕模?所以.性質(zhì)3.6 設(shè)都是數(shù)域上階的，如果,那么與可逆矩陣，并且,.證明：由于,則,因此,所以有,即都為可逆矩陣。令的兩端同時(shí)左乘,

9、即,由此得出,同理有,即.命題1 是階的可逆矩陣，那么，和有相同的解。證明：若令為的，即,則兩邊可得,所以也為的解。反之，若為的解，即，則兩邊左乘可得，所以也是的解，所以，與同解可證。 命題2 設(shè)為階可逆矩陣，則元的齊次線性方程組僅有唯一。證明：因?yàn)闉榭赡婢仃嚕源嬖?，令等式兩端同時(shí)乘以，則有，即，所以，命題得證。 命題3 證明.證明：設(shè)，則，若與分別是與的列向量的極大線性無(wú)關(guān)組，于是，即的列向量組可由與線性表示，所以，. 命題4 若階矩陣的秩分別是，則。證明：依題意可知，只需證. 因?yàn)?，所?做分塊矩陣的初等變換，則，又因?yàn)椴桓淖兙仃嚨闹龋?則,所以.4 行（列）滿秩矩陣的性質(zhì)定義4.1

10、 如果在階的中，個(gè)線性無(wú)關(guān)，則我們就稱該矩陣為列滿秩矩陣；如果的個(gè)，則稱該為行滿秩矩陣。例3 矩陣中的三個(gè)，所以，為列滿秩矩陣。而,三個(gè)行向量也線性無(wú)關(guān)，因此,則為行滿秩矩陣。定理1 設(shè)是階的，那么下面諸言：（1） 是列滿秩矩陣；（2） 內(nèi)存在著一個(gè)階的可逆子塊；（3） 的列數(shù)與等價(jià)；（4） 存在著,其中為，使得是一個(gè)；（5） 存在著,其中是行滿秩矩陣，則有.證明：（1）（2）只要根據(jù)矩陣秩數(shù)的定義就可證得。（2） （3） 利用初等變換，可以把的階可逆子塊移至最上方，則存在可逆矩陣，令,其中是階的可逆矩陣。令，所以是可逆的，進(jìn)而.（3） （4） 如果是可逆，有，則.假設(shè)，則就是列滿秩。而且，有

11、，因?yàn)槭请A的方陣，所以是一個(gè)可逆矩陣。（4） （5） 我們把按照行進(jìn)行分塊，即,則有,從而，又有，所以一定有，所以是行滿秩矩陣。（5） （1） 由可知，所以，則就是列滿秩矩陣。 設(shè)是階的，則下面各命題：（1）是行滿秩矩陣；（2）內(nèi)存在著一個(gè)階的可逆子塊；（3）的行數(shù)與等價(jià)；（4）存在著，其中為，使得是一個(gè)可逆；（5）存在著，其中為列滿秩，使得.證明：與定理1類似。 2 若均為列滿秩，則對(duì)的，就有秩=秩=秩=秩.證明：令,則秩 秩，再由定理1可知，存在，使得.于是,故又有，所以.由此結(jié)果又知，秩=秩=秩=秩.最后，自然就有秩=秩=秩.證畢。 命題5 設(shè)為階，為，證明：如果,那么.證明：因?yàn)闉樾袧M

12、秩矩陣，因此秩= 。又因?yàn)椋杂?，從而，由此推出?定理3 設(shè),則存在階(其中不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)秩.性質(zhì)4.1 階的是存在階的,使得.證明：由于是行滿秩，則有.（因?yàn)橹械乃辛邢蛄慷伎梢杂芍械膫€(gè)出來(lái)），因此有解。若解為，則有.將左右兩邊取其轉(zhuǎn)置，有，的，。由引理2可知.（由于中所有的均可用中的個(gè)線性表示出來(lái)）。所以，從而說(shuō)為列滿秩矩陣。反之，如果存在階的,使得則有解。所以對(duì)于也是有類似的結(jié)論。 定理4 設(shè)是階矩陣，則（1）是的為存在階，使得.（2）是行的為存在階，使得.證明：（1）是顯然的，下證性。由于，則存在，使得，令,則為所求。（2）的證明是類似的。由（1）得，記，則. 推論4.1 （1

13、）階矩陣是存在，使得.（2）階矩陣是存在,使得.由推論4.1可知：若矩陣既是，也是，則是可逆。 推論4.2 （1）矩陣是 左可消，即若,則.（2）是 右可消，即若，則.證明：（1）必要性。由于為，則存在，使得，將兩邊同時(shí)乘以，立即得.充分性。若，則有非零解，設(shè)為，于是,又因?yàn)樽罂上芍?，與上述矛盾，所以為矩陣。（2） 的證明與（1）類似。定理5 設(shè)階的秩為，則有階和階,使得.證明：因?yàn)殡A矩陣的秩為，則存在可逆矩陣，使得，令則,為所求。定理5中分解式稱為的一個(gè)，我們指出不是唯一的，事實(shí)上，對(duì)于任意的階可逆矩陣，也是的一個(gè)。但是我們有定理6 設(shè)階矩陣的秩為，若 是的兩個(gè)滿秩分解，則階的,使得,.

14、證明：由是階，存在，使得，于是 這里.下證階的矩陣可逆。由于是階，存在階，使得，于是,又因?yàn)槎际请A矩陣，所以可逆。將代人中，得,由列滿秩左可消知：,即.定理7 令為階的，則只有零解。證明：設(shè)，且有，所以線性方程組為，即，所以為列滿秩矩陣，因而線性無(wú)關(guān)，所以，即只有零解，命題得證。5 行（列）滿秩矩陣的相關(guān)應(yīng)用5.1 在矩陣秩的證明中的應(yīng)用定理8 .證明：設(shè)，由第4節(jié)中的定理5可知，有,其中均為為的，均為為的，所以有，從而知.由此定理及可得，定理 .定理9（Sylvester定律） 的行數(shù)，其中并不一定是方陣。證明：如果是階矩陣，那么就是的行數(shù)。由4.3中的定理2可知，存在著兩個(gè)高矩陣,令,的行

15、數(shù).再由4.3中的定理1可知，對(duì)于，令是可逆的，從而得到也是可逆的。并且，因?yàn)?，的列?shù)為，所以的行數(shù)為的行數(shù)。所以（的行數(shù)）(的行數(shù)）的行數(shù)5.2 在齊次線性方程組中的應(yīng)用定理10 如果的系數(shù)的秩是，那么該一定有個(gè)解為，并且：（1） 線性無(wú)關(guān)；（2） 由線性組合可表示的任一解.證明：（I）當(dāng)時(shí)，為，則該有唯一的零解，即線性相關(guān)。則（1），（2）不成立。（II） 當(dāng)時(shí)，中存在一個(gè)階子塊，設(shè)此在的，則有 由乘以得 由于的系數(shù)矩陣的秩為，且是階可逆子塊，所以.因此與 同解，而 有，令中的列為，則此為，即為原。則（1）可證。下證（2），由于的系數(shù)的轉(zhuǎn)置是階的，則由定理及等式，由于的列數(shù)為，所以該不是。

16、則線性無(wú)關(guān)，所以（2）可證。由此定理，我們就可知是線性方程組的基礎(chǔ)解系，此時(shí)它是作為一個(gè)整體被求出來(lái)的，這與可逆矩陣中需要一個(gè)個(gè)求有所區(qū)別。例4 求下面的解系：.解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣,則經(jīng)過(guò)初等變換，即所以系數(shù)矩陣的秩為2。左上角的2階子式。由矩陣的秩進(jìn)行分塊，則令,所以,則由可得.且有,則.所以列滿秩矩陣的兩個(gè)列就形成原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。5.3 在非齊次線性方程組中的應(yīng)用線性,如果可逆，那么它有唯一解：.如果不可逆，但是有解，它的解是否也表達(dá)？這需要先分析的性質(zhì)。如果可逆，那么,兩邊同時(shí)右乘,得 式表明：當(dāng)可逆時(shí)，是的一個(gè)解。因此受到啟發(fā)，當(dāng)不可逆時(shí)，為了找到的替代物，我們應(yīng)該去找矩陣方程的

17、解。11 設(shè)是數(shù)域上的階非零，則 一定有解，如果，并且,其中分別是上的階、階，那么的通解為.其中分別是數(shù)域上任意的階的。定義5.3.1 設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，的每一個(gè)解都稱為的一個(gè)，簡(jiǎn)稱為的廣義逆，記作表示的任一廣義逆。從定義5.3.1得出，.從定理11得出，當(dāng)時(shí)，設(shè)，且,則.從5.3.1得出，任一階矩陣均為的廣義逆。定理12（的相容性定理）有解的是.證明：必要性。設(shè)有解，則.充分性。令,那么就是的解。13 （的解的結(jié)構(gòu)定理）有解時(shí)，它的通解為.從定理13看出，所有的有解，則它的通解都有簡(jiǎn)潔漂亮的形式：.例5 設(shè)矩陣,證明：，其中是列滿秩矩陣。證明：因，則存在階、階的,從而,于是.例6 設(shè)矩陣.

18、證明：若為，則，對(duì)于任意的，矩陣方程都有解，即.證明：由于是，因此有，即，所以.又因?yàn)槭怯薪獾?，所以，有解。再由?的結(jié)論得,所以，是的解。例7 設(shè)矩陣.證明：若是，則對(duì)于任意的,方程都有的解。證明：由于是，那么，就有為。由,對(duì)于,根據(jù)例6及對(duì)的非零矩陣，有這一結(jié)論，可得.5.4 在幾類特殊矩陣分解方面的應(yīng)用我們都知道，行滿秩矩陣與列滿秩矩陣在矩陣分解的應(yīng)用中是經(jīng)常被使用的工具，現(xiàn)在我們來(lái)認(rèn)識(shí)一些它在矩陣滿秩分解和分解上的應(yīng)用。定理14 有分解式是階的實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的充分必要條件，其中為階行滿秩矩陣。證明：（充分性）因?yàn)椋瑒t，可知只有唯一。從而對(duì)的維非零的，就有,則有,即。（必要性）因?yàn)?，?/p>

19、以存在階，使得.令，則是階的行滿秩，且.定理15 設(shè)是的階，則有分解式是是冪等矩陣的充分，其中是階，是階行，而且.證明：充分性是顯然可證的。下面只證必要性。由可知，存在階的,使得，所以,令，,，那么，就有,是階的，是階，且.定理16 設(shè)是秩為的階方陣，則有是是對(duì)稱矩陣的充分，其中是階的，是階的矩陣。證明：顯然得證，下面只要證明。依題意，存在階的可逆矩陣，使得,其中是的行滿秩矩陣，由于,所以,設(shè)，其中是階方陣，所以,因此，有,且，進(jìn)而，,所以,令,所以,其中是階列滿秩矩陣，是階的對(duì)稱且可逆矩陣。 本文將行（列）滿秩矩陣的性質(zhì)與可逆矩陣（即滿秩矩陣）進(jìn)行比較，總結(jié)出其不變的性質(zhì)、定理，如左乘右乘秩不變性質(zhì)、消去律、線性方程組的解的相關(guān)定理等，再由這些性質(zhì)、定理歸納出行（列）滿秩矩陣在解線性方程組、矩陣秩的證明及矩陣分解等方面的若干應(yīng)用，使其不受方陣的正方性限制，而應(yīng)用起來(lái)又與可逆矩陣相差無(wú)幾。從而，我們將在此