函數(shù)的基本性質(zhì)知識點總結(jié)

1、學習必備精品知識點函數(shù)的基本性質(zhì)基礎知識：1.奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x 都有f( x)= f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x 都有f( x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f( x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則 x 也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。（ 2）利用定義判斷

2、函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；確定 f( x)與 f(x)的關系；作出相應結(jié)論：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 ，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f( x) = f( x) 或 f( x) f(x) = 0 ，則 f(x)是奇函數(shù)。（ 3）簡單性質(zhì)：圖象的對稱性質(zhì)： 一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點成中心對稱；數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于 y 軸成軸對稱；一個函設f (x)， g(x)的定義域分別是D1, D2 ，那么在它們的公共定義域上：奇 +奇 =奇，奇奇 =偶，偶+偶 =偶，偶偶 =偶，奇偶 =奇2

3、.單調(diào)性（1）定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I 內(nèi)的某個區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個自變量 x1，x2，當 x1<x2 時，都有 f(x1)< f(x2)（ f( x1)>f(x2)），那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)（減函數(shù)） ；注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對于區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 x1， x2；當 x1<x2 時，總有 f(x1)<f(x2)。（2）如果函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D 叫做 y=

4、f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設復合函數(shù)y= fg( x) ，其中 u=g( x) , A 是 y= fg( x)定義域的某個區(qū)間，B 是映射 g : x u=g( x) 的象集：若 u=g( x) 在 A 上是增（或減） 函數(shù)， y= f(u)在 B 上也是增 （或減） 函數(shù)，則函數(shù) y= fg(x)學習必備精品知識點在 A 上是增函數(shù)；若 u=g( x)在 A 上是增（或減）函數(shù)，而 y= f(u)在 B 上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù) y= fg(x) 在 A 上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性的一般步驟：任取 x1， x2 D，且

5、x1<x2；作差 f(x1) f(x2)；變形（通常是因式分解和配方）；定號 （即判斷差 f(x1) f(x2)的正負）；下結(jié)論 （即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D 上的單調(diào)性）。（ 5）簡單性質(zhì)奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi)：增函數(shù) f ( x)增函數(shù) g( x) 是增函數(shù)；減函數(shù)f ( x)減函數(shù) g( x) 是減函數(shù)；增函數(shù) f ( x)減函數(shù) g( x) 是增函數(shù)；減函數(shù)f ( x)增函數(shù) g( x) 是減函數(shù)。若函數(shù) yf ( x) 是偶函數(shù)，則 f (xa) f (x a) ；若函數(shù) yf ( x a) 是偶函數(shù)，則 f (

6、x a) f ( x a) .3.函數(shù)的周期性如果函數(shù)y f(x) 對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0 的常數(shù)T，使得f(x T) f(x) 恒成立，則稱函數(shù)f(x) 是周期函數(shù)， T 是它的一個周期 .性質(zhì)：如果 T 是函數(shù) f(x) 的周期，則 kT(k N )也是 f(x) 的周期 .若周期函數(shù) f(x)的周期為 T，則 f ( x) （0 ）是周期函數(shù)，且周期為T。| 若 f (x)f ( x a) ,則 函 數(shù) yf ( x) 的 圖 象 關 于 點 ( a ,0)對 稱 ;若f ( x)f ( xa) , 則函數(shù) yf ( x) 為周期為 2a 的周期函數(shù) .2例題：1. y1

7、x 的遞減區(qū)間是； ylog 1( x23x2) 的單調(diào)遞增區(qū)間是。1x22. 函數(shù) f ( x) lg(21) 的圖象（）x1關于 y 軸對稱D. 關于直線 yx 對稱A. 關于 x 軸對稱B.C. 關于原點對稱學習必備精品知識點3.設 f ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，若當x0 時， f (x)log3 (1x) ，則 f ( 2)。4.定義在 R 上的偶函數(shù)f ( x) 滿足 f ( x2)f ( x2) ，若f ( x) 在 2,0 上遞增，則（）A. f (1)f (5.5)B f (1)f (5.5)C f (1)f (5.5)D以上都不對5. 討論函數(shù) f (x)x1 的單

8、調(diào)性。x6. 已知奇函數(shù)f (x) 是定義在 (2,2) 上的減函數(shù) ,若 f (m1)f ( 2m 1)0，求實數(shù) m的取值范圍。7.f ( x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x ，都有f ( x)f ( x 1)f ( x 1)。若已知函數(shù)f (0)2004，求 f (2004)。習題：題型一：判斷函數(shù)的奇偶性1.以下函數(shù)： （ 1 ） y1 ( x0) ；（ 2 ） yx41 ；（ 3） y2 x ；（ 4 ） ylog 2 x ；（ 5 ）xy log 2 ( x2， (6)f ( x)1x 2；其中奇函數(shù)是，偶函數(shù)是，x 1)x22非奇非偶函數(shù)是。2. 已知函數(shù) f ( x) = x1

9、x 1 , 那么 f ( x) 是()A. 奇函數(shù)而非偶函數(shù)B.偶函數(shù)而非奇函數(shù)C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)題型二：奇偶性的應用1.已知偶函數(shù)f (x) 和奇函數(shù) g( x) 的定義域都是 (-4,4), 它們在4,0 上的圖像分別如圖（ 2-3 ）所示，則關于x 的不等式 f ( x)g( x)0 的解集是 _ 。yy-4-20x-4-20xy=f(x)y=g(x)圖(2-3)2. 已知 f (x)ax7bx5cx3dx5 ，其中 a,b,c, d 為常數(shù)，若 f (7)7 ，則 f (7)_學習必備精品知識點3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間1,1 上單調(diào)遞減的是（）A

10、. f (x) sin xB.f (x)x1C.f ( x)1axaxD.f ( x) ln2x22x4.已知函數(shù) yf (x) 在 R是奇函數(shù)，且當 x0 時， f ( x)x 22x ，則 x0時， f (x) 的解析式為。0,f xx 1f x 1 05.若f x是偶函數(shù) ,且當x時,的解集是（）,則A.x 1 x 0B.x x 0或1 x 2C. x 0 x 2D. x 1 x 2題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性1. 判斷并證明 f ( x)2在 (0,) 上的單調(diào)性x12.判斷 f ( x)2x 22x1在 (,0) 上的單調(diào)性題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.求函數(shù) y log 0.7 ( x

11、23x2)的單調(diào)區(qū)間。2. 下列函數(shù)中，在(,0) 上為增函數(shù)的是（）A.yx 24x8B.yax3(a0)C.y21D.y log 1 (x)x23.函數(shù) f ( x)x1）的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（xA. 0,B.,0C. 0,1D. 1,4.下列函數(shù)中，在 (0 ， 2) 上為增函數(shù)的是 ()A.y=-3x+1B.y=|x+2|C.y=4D.y=x2-4x+3x5.函數(shù) y=54xx 2的遞增區(qū)間是 ()A.(- ， -2)B.-5， -2C.-2， 1D.1，+ )題型五：單調(diào)性的應用1. 函數(shù) f(x)=x2+2(a-1)x+2 在區(qū)間 (-， 4) 上是減函數(shù)，那么實數(shù)a 的取值范圍是

12、 ()A.3，+ )B.(-， -3C.-3D.(-， 52. 已知函數(shù) f(x)=2x 2-mx+3，當 x(-2 ，+) 時是增函數(shù)，當 x(- ， -2) 時是減函數(shù)，則f(1)等于 ()A.-3B.13C.7D.由 m而決定的常數(shù)學習必備精品知識點3.若函數(shù)f (x)x 3ax 2bx7 在 R 上單調(diào)遞增，則實數(shù)a, b 一定滿足的條件是（）A a23b 0B. a 23b 0C a23b 0D a 23b 14.函數(shù) f ( x)3ax2b 2 a, x 1,1, 若 f (x)1恒成立，則 b 的最小值為。5.已知偶函數(shù) f(x)在 (0， + )上為增函數(shù)，且f(2)=0 ，解

13、不等式 f log2 (x2+5x+4) 0。題型六：周期問題1.奇函數(shù) f ( x) 以 3為最小正周期，f (1) 3，則 f (47) 為 ()A.3B.6C.-3D.-62. 設 f ( x) 是定義在 R 上以 6 為周期的函數(shù)， f ( x) 在 (0,3) 內(nèi)單調(diào)遞增， 且 y=f ( x) 的圖象關于直線 x =3 對稱，則下面正確的結(jié)論是()A.f (1.5)<f (3.5)<f (6.5)B. f (3.5)<f (1.5)<f (6.5)C. f (6.5)<f (3.5)<f (1.5)D.f (3.5)<f (6.5)<f (1.5)3.已知 f x為偶函數(shù) , 且 f 2 xf 2x,當 2x0 時 , f x 2x,則 f 2006（）A 2006B 4C4D144.設 f ( x) 是 ( ,) 上的奇函數(shù)， f (x2)f ( x) ，當 0x1 時， f (x)x ，則