中考（數(shù)學）分類二 二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題(含答案)-歷年真題?？?、重難點題型講練

1、數(shù)學專題 精心整理類型一二次函數(shù)與線段問題【典例1】已知拋物線yax2bx6（a0）交x軸于點A(6，0)和點B(1，0)，交y軸于點C（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）如圖（1），點P是拋物線上位于直線AC上方的動點，過點P分別作x軸，y軸的平行線，交直線AC于點D，E，當PDPE取最大值時，求點P的坐標；（3）如圖（2），點M為拋物線對稱軸l上一點，點N為拋物線上一點，當直線AC垂直平分AMN的邊MN時，求點N的坐標【答案】（1）yx25x6，頂點坐標為(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)【解析】【分析】（1）將點A，B坐標代入拋物線解析式中，解方程組即可得出結(jié)論；（2

2、）先求出OA=OC=6，進而得出OAC=45°，進而判斷出PD=PE，即可得出當PE的長度最大時，PE+PD取最大值，設(shè)出點E坐標，表示出點P坐標，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出NFx軸，進而求出點N的縱坐標，即可建立方程求解得出結(jié)論【詳解】解：（1）拋物線yax2bx6經(jīng)過點A（6，0），B（1，0），解得a1，b5，拋物線的解析式為yx25x6yx25x6(x)2，拋物線的解析式為yx25x6，頂點坐標為（，）（2）由（1）知，拋物線的解析式為yx25x6，C（0，6），OC6A（6，0），OA6，OAOC，OAC45°PD平行

3、于x軸，PE平行于y軸，DPE90°，PDEDAO45°，PED45°，PDEPED，PDPE，PDPE2PE，當PE的長度最大時，PEPD取最大值設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為ykxd，把A（6，0），C（0，6）代入得解得k1，d6，直線AC的解析式為yx6設(shè)E（t，t6）（0t6），則P（t，t25t6），PEt25t6(t6)t26t(t3)2910，當t3時，PE最大，此時t25t612，P（3，12）（3）如答圖，設(shè)直線AC與拋物線的對稱軸l的交點為F，連接NF點F在線段MN的垂直平分線AC上，F(xiàn)MFN，NFCMFCly軸，MFCOCA45°，MF

4、NNFCMFC90°，NFx軸由（2）知直線AC的解析式為yx6，當x時，y，F(xiàn)（，），點N的縱坐標為點N在拋物線上，x25x6，解得，x1或x2，點N的坐標為（，）或（，）【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解一元二次方程，（2）中判斷出PD=PE，（3）中NFx軸是解本題的關(guān)鍵 【典例2】如圖1-1，拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上的一個動點，如果PAC的周長最小，求點P的坐標圖1-1【解析】如圖1-2，把拋物線的對稱軸當作河流，點A與點B對稱，連結(jié)BC，那么在PBC中，PBPC總是大于BC的如圖1-3，當點P落在BC上

5、時，PBPC最小，因此PAPC最小，PAC的周長也最小由yx22x3，可知OBOC3，OD1所以DBDP2，因此P(1,2)圖1-2 圖1-3【典例3】如圖，拋物線與y軸交于點A，B是OA的中點一個動點G從點B出發(fā)，先經(jīng)過x軸上的點M，再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點N，然后返回到點A如果動點G走過的路程最短，請找出點M、N的位置，并求最短路程圖2-1【解析】如圖2-2，按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點A，作點B關(guān)于x軸對稱的點B，連結(jié)AB與x軸交于點M，與拋物線的對稱軸交于點N在RtAAB中，AA8，AB6，所以AB10，即點G走過的最短路程為10根據(jù)相似比可以計算得到O

6、M，MH，NH1所以M(, 0)，N(4, 1)圖2-2【典例4】如圖3-1，拋物線與y軸交于點A，頂點為B點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點P的坐標圖3-1【解析】題目讀起來像繞口令，其實就是求|PAPB|的最小值與最大值由拋物線的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)設(shè)P(x, 0)絕對值|PAPB|的最小值當然是0了，此時PAPB，點P在AB的垂直平分線上（如圖3-2）解方程x222(x3)262，得此時P在PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PAPB|總是小于AB了如圖3-3，當點P在BA的延長線上時，|PA

7、PB|取得最大值，最大值A(chǔ)B5此時P圖3-2 圖3-3【典例5】如圖，拋物線的頂點為A（h，1），與y軸交于點B（0，），點F（2，1）為其對稱軸上的一個定點（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）已知直線l是過點C（0，3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PFd；（3）已知坐標平面內(nèi)的點D（4，3），請在拋物線上找一點Q，使DFQ的周長最小，并求此時DFQ周長的最小值及點Q的坐標【分析】（1）由題意拋物線的頂點A（2，1），可以假設(shè)拋物線的解析式為ya（x2）21，把點B坐標代入求出a即可（2）由題意P（m，m2m），求出d2，PF2（用m表示）

8、即可解決問題（3）如圖，過點Q作QH直線l于H，過點D作DN直線l于N因為DFQ的周長DF+DQ+FQ，DF是定值2，推出DQ+QF的值最小時，DFQ的周長最小，再根據(jù)垂線段最短解決問題即可【解答】（1）解：由題意拋物線的頂點A（2，1），可以假設(shè)拋物線的解析式為ya（x2）21，拋物線經(jīng)過B（0，），4a1，a，拋物線的解析式為y（x2）21（2）證明：P（m，n），n（m2）21m2m，P（m，m2m），dm2m（3）m2m+，F(xiàn)（2，1），PF，d2m4m3+m2m+，PF2m4m3+m2m+，d2PF2，PFd（3）如圖，過點Q作QH直線l于H，過點D作DN直線l于NDFQ的周長DF+DQ+FQ，DF是定值2，DQ+QF的值最小時，DFQ的周長最小，QFQH，DQ+DFDQ+QH，根據(jù)垂線段最短可知，當D，Q，H共線時，DQ+QH的值最小，此時點H與N重合，點Q