數(shù)值積分及matlab實現(xiàn)

1、數(shù)值積分與微分?jǐn)?shù)值積分與微分2009.4.22數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分1 引言引言 我們知道我們知道,若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)且其原上連續(xù)且其原函數(shù)為函數(shù)為F(x),則可用則可用Newton-Leibnitz公式公式baaFbFdxxf)()()(求得定積分求得定積分求定積分的值求定積分的值 , Newton-Leibnitz公式公式 無論在理論上無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題，因為積分學(xué)涉及的能完全解決定積分的計算問題，因為積分學(xué)涉及的實際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜

2、，在實際計算中實際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：經(jīng)常遇到以下三種情況： (1) 被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的 有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就無能為力了dxedxxxx10102sin和(2) 還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù) 32)(22xxxf并不復(fù)雜，但積分后其表達(dá)式卻很復(fù)雜，積分后其原函數(shù)F(x)為： ) 322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF(3) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式?jīng)]有具體的解析表達(dá)式, 其函數(shù)其函

3、數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。關(guān)系由表格或圖形表示。 對于這些情況對于這些情況, 要計算積分的準(zhǔn)確值都是十分要計算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。由此可見困難的。由此可見, 通過原函數(shù)來計算積分有它的通過原函數(shù)來計算積分有它的局限性局限性, 因而研究一種新的積分方法來解決因而研究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題公式所不能或很難解決的積分問題, , 這時需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。這時需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。 將積分區(qū)間細(xì)分將積分區(qū)間細(xì)分, ,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分

4、的思想，數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)發(fā)用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)發(fā)f(x)f(x)進(jìn)行積分進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。 建立數(shù)值積分公式的途徑比較多建立數(shù)值積分公式的途徑比較多, 其中最常用的其中最常用的有兩種：有兩種：（1）由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)由積分中值定理可知，對于連續(xù)函數(shù)f(x)，在，在積分區(qū)間積分區(qū)間a,b內(nèi)存在一點內(nèi)存在一點，使得，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為，高為 的矩形面積。但是點的矩形面積。但是點的具體位置一般是未知

5、的的具體位置一般是未知的, 因而因而 的值也是未知的的值也是未知的, 稱稱 為為f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上上的平均高度。那么只要對平均高度的平均高度。那么只要對平均高度 提供一種算法，提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(f三個求積分公式三個求積分公式 梯形公式梯形公式y(tǒng)=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形公式中矩形公式)2()()(bafabdxxfba按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值

6、的近似公式。例如例如 分別取分別取 和和則分別得到中矩形公式和梯則分別得到中矩形公式和梯形公式。形公式。)(f)2()(baff2)()()(bfaffy=f(x)ababy=f(x)yab Simpson公式公式(a+b)/2)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfbaf( )的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。 中矩形公式把中矩形公式把a,b 的中點處函數(shù)值的中點處函數(shù)值 作為作為平均高度平均高度f( )的近似值而獲得的一種數(shù)值積的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。分方法。 )()(21bfaf)2(bafab(a+b)/2 在這三個公式中在這三

7、個公式中, 梯形公式梯形公式把把f(a), f(b)的加權(quán)平均值的加權(quán)平均值 作為平均高度作為平均高度 Simpson公式是以函數(shù)公式是以函數(shù)f(x)在在a, b, (a+b)/2這三點的函這三點的函數(shù)值數(shù)值f(a), f(b), 的加權(quán)平均值的加權(quán)平均值 似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。1()4()( )62abfaffb)2(baf作為平均高度作為平均高度f( )的近的近（2）先用某個簡單函數(shù)先用某個簡單函數(shù) 近似逼近近似逼近f(x), 用用 代替原被積函數(shù)代替原被積函數(shù)f(x)，即，即 )(x)(xbabadxxdxxf)()(以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計算的角

8、度考慮以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計算的角度考慮,函數(shù)函數(shù) 應(yīng)對應(yīng)對f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易計算其積分。并且容易計算其積分。由于多項式能很好地逼近連續(xù)函數(shù)由于多項式能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計算積且又容易計算積分分,因此將因此將 選取為插值多項式選取為插值多項式, 這樣這樣f(x)的積分就的積分就可以用其插值多項式的積分來近似代替可以用其插值多項式的積分來近似代替 )(x)(x2.2 2.2 插值求積公式插值求積公式 設(shè)已知設(shè)已知f(x)f(x)在節(jié)點在節(jié)點 有函數(shù)值有函數(shù)值, ,作作n n次拉格朗日插值多項式次拉格朗日插值多項式 ), 1 , 0(nkxk)(kxf

9、nkkkxlxfxP0)()()()()()()(0kknkjjjkjkxxxxxxxxxl式中式中 )()()(10nxxxxxxx這里這里 多項式多項式P(x)P(x)易于求積易于求積, ,所以可取所以可取 作為作為 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)(knkkbaknkkbaknkkbabaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中 稱為求積系數(shù)。給出如下定義稱為求積系數(shù)。給出如下定義。 定義定義1 1 求積公式求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系數(shù)其

10、系數(shù) 時，則稱求積公式為插值時，則稱求積公式為插值求積公式。求積公式。 bakkdxxlA)(4)(4)設(shè)插值求積公式的余項為設(shè)插值求積公式的余項為 , ,由插值余項定理得由插值余項定理得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()() 1(ba,其中其中 當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)是次數(shù)不高于是次數(shù)不高于n n的多項式時，有的多項式時，有 =0,=0,求積公式求積公式(4)(4)能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)間間a,ba,b上的連續(xù)函數(shù)可用多項式逼近，所以一個上的連續(xù)函數(shù)可用多項式逼近，所以一個求積公式能對多大次數(shù)的多項式求積公式能對多大次數(shù)的多項

11、式f(x)f(x)成為準(zhǔn)確等式，成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，為此給出以是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，為此給出以下定義。下定義。 0)()1(xfn)( fR定義定義2 （代數(shù)精度）（代數(shù)精度） 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（4）對于一）對于一 切次數(shù)小于等于切次數(shù)小于等于m的多項式的多項式( (mxxxxf, 1)(2mmxaxaxaaxf2210)(是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為是準(zhǔn)確的，而對于次數(shù)為m+1m+1的多項式是不準(zhǔn)確的，的多項式是不準(zhǔn)確的，則稱該求積公式具有則稱該求積公式具有m m次代數(shù)精度（簡稱代數(shù)精度）次代數(shù)精度（簡稱代數(shù)精度） 或或)定理定理1 n+1個節(jié)點的求積

12、公式個節(jié)點的求積公式 為插值型求積公式的充要條件是公式為插值型求積公式的充要條件是公式 至少具有至少具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(例例1 設(shè)積分區(qū)間設(shè)積分區(qū)間a, b為為0, 2，取時，取時 時時, , 分別用梯形和辛卜生公式分別用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(43220)2()0()(ffdxxf20)2() 1 (4)0(31)(fffdxxf計算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較計算其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較解解: :梯形公式和辛卜生的計算結(jié)果與準(zhǔn)確值比梯形公式和辛卜生的計算結(jié)果與準(zhǔn)確值比 較如下表所示較如下表所示 f(x) 1 x x2

13、x3 x4 ex 準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式計算值梯形公式計算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生公式計算值辛卜生公式計算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 從表中可以看出從表中可以看出, ,當(dāng)當(dāng)f(x)是是 時時, ,辛辛卜生公式比梯形公式更精確卜生公式比梯形公式更精確 432,xxx 一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1 1次代數(shù)精度，辛卜生公次代數(shù)精度，辛卜生公式有式有3 3次代數(shù)精度次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進(jìn)行驗證。下面以梯形公

14、式為例進(jìn)行驗證 babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1時，時， abababdxba) 11 (2,1兩端相等兩端相等 取取f(x)=xf(x)=x時時, , )(21)(2),(212222abbaababxdxba取取f(x)=xf(x)=x2 2 時時, , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332兩端不相等兩端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 兩端相等兩端相等 構(gòu)造插值求積公式有如下特點：構(gòu)造插值求積公式有如下特點：(1)復(fù)雜函數(shù)復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計算多項式的積分的積分轉(zhuǎn)化為計算多項式的

15、積分(2) 求積系數(shù)求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點只與積分區(qū)間及節(jié)點xk有關(guān)，而與被有關(guān)，而與被積函數(shù)積函數(shù)f(x)無關(guān)，可以不管無關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出如何，預(yù)先算出Ak的值的值(3) n+1個節(jié)點的插值求積公式至少具有個節(jié)點的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度(4) 求積系數(shù)之和求積系數(shù)之和 可用此檢驗計算求積系數(shù)的正確性可用此檢驗計算求積系數(shù)的正確性 abAnkk03 牛頓牛頓柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求積公式求積公式 在插值求積公式在插值求積公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,當(dāng)所取節(jié)點是等距時稱為牛頓當(dāng)所取節(jié)點是等距時稱為牛

16、頓-柯特斯公式柯特斯公式其中其中 插值多項式插值多項式 求積系數(shù)求積系數(shù) )()()(0nkkkxfxlxPbakkdxxlA)(這里這里 是插值基函數(shù)。即有是插值基函數(shù)。即有 )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(將積分區(qū)間將積分區(qū)間 a,b 劃分為劃分為n等分等分, 步長步長求積節(jié)點為求積節(jié)點為 為了計為了計算系數(shù)算系數(shù)Ak, 由于由于 , 所以所以nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作變量代換作變量代換 當(dāng)當(dāng) 時時,有有 ,于是可得于是可得 thaxkbax,

17、nt, 0dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthknknnnkn0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnkabnnkiikn 00) )()!( !) 1()(dtitknnkCnnkiiknk00)()!(!)1( ( k=0,1,n ) 代入插值求積公式代入插值求積公式( (4)有有 nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(稱為牛頓稱為牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式,C,Ck k稱為柯特斯系數(shù)稱為柯特斯系數(shù)引進(jìn)記號引進(jìn)記號kkCabA)( ( k=0,1,n ) 則則容易驗證容易驗證 10nkkC bakkkkdx

18、xlAAabC)(1 nkbaknkkdxxlabC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab顯然顯然, , C Ck k是不依賴于積分區(qū)間是不依賴于積分區(qū)間a,ba,b以及被積函數(shù)以及被積函數(shù)f(x)f(x)的常數(shù)的常數(shù), ,只要給出只要給出n,n,就可以算出柯特斯系數(shù)就可以算出柯特斯系數(shù), ,譬譬如當(dāng)如當(dāng)n=1n=1時時 1011002121) 1(! 1! 011tdtCdttC當(dāng)當(dāng)n=2=2時時 202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(! 1! 12) 1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttC4 4 幾個低階求積公式幾個低

19、階求積公式 在牛頓在牛頓- -柯特斯求積公式中柯特斯求積公式中n=1,2,4=1,2,4時，就分別時，就分別得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)(1) 梯形公式梯形公式 當(dāng)當(dāng)n=1=1時，牛頓時，牛頓- -柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()()(21)(bfafabdxxfba定理定理2 （梯形公式的誤差）設(shè)（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在在 a,b 上具有連上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項）為續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項）為),()(12)()(31bafabfR （2 2） 辛卜生公式辛卜生公式

20、當(dāng)當(dāng)n=2=2時，牛頓時，牛頓- -柯特斯公式就是辛卜生公式（或柯特斯公式就是辛卜生公式（或 稱拋物線公式）稱拋物線公式） )()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba定理定理3 3（辛卜生公式的誤差）設(shè)在（辛卜生公式的誤差）設(shè)在a,ba,b上具有連續(xù)上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差為 ),()(2880)()()4(52bafabfR定理證明從略。定理證明從略。 （3 3） 柯特斯公式?？绿厮构?。 當(dāng)當(dāng)n=4=4時，牛頓時，牛頓- -柯特斯公式為柯特斯公式為 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfx

21、fxfabdxxfba定理定理4 4（柯特斯公式的誤差）設(shè)在（柯特斯公式的誤差）設(shè)在a,ba,b上具有連上具有連續(xù)的續(xù)的6 6階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為 ),()(49458)()6(74bafabfR定理的證明從略。定理的證明從略。 例例11 分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式計算定積分公式計算定積分 的近似值的近似值 ( (計算結(jié)果取計算結(jié)果取5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字) ) 15 . 0dxx(1) (1) 用梯形公式計算用梯形公式計算 4267767. 0 170711. 025. 0)1 () 5 . 0(

22、25 . 01d15 . 0ffxx(2) (2) 用辛卜生公式用辛卜生公式 /).(.d.xx43093403. 0 103866. 0411707. 0121(3) (3) 用柯特斯公式計算，系數(shù)為用柯特斯公式計算，系數(shù)為 , 17875. 03275. 012625. 0325 . 07 905 . 01d15 . 0 xx43096407. 0793326.2939223.1029822.2594975. 41801積分的準(zhǔn)確值為積分的準(zhǔn)確值為 43096441. 032d15 . 02315 . 0 xxx可見，三個求積公式的精度逐漸提高?？梢?，三個求積公式的精度逐漸提高。 例例12

23、 12 用辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分用辛卜生公式和柯特斯公式計算定積分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估計其誤差并估計其誤差( (計算結(jié)果取計算結(jié)果取5 5位小數(shù)位小數(shù)) ) 解解: : 辛卜生公式辛卜生公式 322036225941613)(24)(6bfbafafabS由于由于 由辛卜生公式余項由辛卜生公式余項 572)(23xxxxf0)()4(xfbafabfR,),(2880)()()4(5知其誤差為知其誤差為 0)(fR例例12 用辛卜生公式和用辛卜生公式和柯特斯柯特斯公式計算定積分公式計算定積分3123d)572(xxxx的近似值的近似值,并估計其誤差并

24、估計其誤差(計算結(jié)果取計算結(jié)果取5位小數(shù)位小數(shù)) 解解:柯特斯公式柯特斯公式 知其誤差為知其誤差為 0)(fR322097812532912835327451) 3 (7) 5 . 2(32) 2(12) 5 . 1 (32) 1 (79013fffffC例例12 用辛卜生公式和用辛卜生公式和柯特斯柯特斯公式計算定積分公式計算定積分3123d)572(xxxx的近似值的近似值,并估計其誤差并估計其誤差(計算結(jié)果取計算結(jié)果取5位小數(shù)位小數(shù)) 該定積分的準(zhǔn)確值該定積分的準(zhǔn)確值 ,這個例子告訴我這個例子告訴我們，對于同一個積分，當(dāng)們，對于同一個積分，當(dāng)n2時，公式卻是精確的，時，公式卻是精確的，這是

25、由于辛卜生公式具有三次代數(shù)精度，這是由于辛卜生公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公柯特斯公式具有五次代數(shù)精度式具有五次代數(shù)精度，它們對被積函數(shù)為三次多項，它們對被積函數(shù)為三次多項式當(dāng)然是精確成立的。式當(dāng)然是精確成立的。 3220I數(shù)值積分基本原理數(shù)值積分基本原理 求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛頓柯特斯法、牛頓柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間a,b分成分成n個子區(qū)間個子區(qū)間xi,xi+1，i

26、=1,2,n，其中，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。這樣求定積分問題就分解為求和問題。數(shù)值積分的實現(xiàn)方法數(shù)值積分的實現(xiàn)方法1變步長辛普生法變步長辛普生法基于變步長辛普生法，基于變步長辛普生法，MATLAB給出了給出了quad函數(shù)來求函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中其中fname是被積函數(shù)名。是被積函數(shù)名。a和和b分別是定積分的下限和分別是定積分的下限和上限。上限。tol用來控制積分精度，缺省時取用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程

27、，若取非控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過則展現(xiàn)積分過程，取程，取0則不展現(xiàn)，缺省時取則不展現(xiàn)，缺省時取trace=0。返回參數(shù)。返回參數(shù)I即定即定積分值，積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。 例例1 求定積分。求定積分。 (1) 建立被積函數(shù)文件建立被積函數(shù)文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。求定積分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S = 0.9008n = 772牛頓柯特斯法牛頓柯特斯法基于牛頓柯特斯法，基于牛頓柯特

28、斯法，MATLAB給出了給出了quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：調(diào)用格式為：I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中參數(shù)的含義和其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是函數(shù)相似，只是tol的缺省值取的缺省值取10-6。 該函數(shù)可以該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。例2 求定積分。(1) 被積函數(shù)文件fx.m。function f=fx(x)f=

29、x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2) 調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。I=quad8(fx,0,pi)I = 2.4674例例3 分別用分別用quad函數(shù)和函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，函數(shù)求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。調(diào)用函數(shù)調(diào)用函數(shù)quad求定積分：求定積分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254766n = 65 調(diào)用函數(shù)調(diào)用函數(shù)quad8求定積分：求定積分：format long;

30、fx=inline(exp(-x);I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I = 0.28579444254754n = 333被積函數(shù)由一個表格定義被積函數(shù)由一個表格定義在在MATLAB中，對由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題中，對由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。例例4 用用trapz函數(shù)計算定積分。函數(shù)計算定積分。命令如下：命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X); %生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量trapz(X,Y)ans = 0.285796824163931.3 二重定積分的數(shù)值求解使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在a,bc,d區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。例例5 計算二重定積分計算二重定積分(1) 建立一個函數(shù)文件建立一個函數(shù)文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1; %ki用于統(tǒng)計被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)用于統(tǒng)計被積函數(shù)的調(diào)用