高中物理八大解題方法之四：導(dǎo)數(shù)法

1、高中物理解題方法之導(dǎo)數(shù)法江蘇省特級教師戴儒京在物理解題中用導(dǎo)數(shù)法， 首先要把物理問題化歸為數(shù)學(xué)問題。在分析物理狀態(tài)和物理過 程的基礎(chǔ)上，找到合適的物理規(guī)律，即函數(shù)，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求解極值問題或其 他問題，然后再把數(shù)學(xué)問題回歸到物理問題，明確其物理意義。例1、兩等量同種電荷在兩點電荷連線的中垂線上電場的分布-13 -圖1.兩等量正點電荷的電場強度在 y坐標軸上的點的合成以兩點電荷的連線的中點為原點，以兩點電荷的連線的中垂線為y軸，則各點的電場強度可表不為：2k（-2萬）cosi y=2k（產(chǎn)因為原點的電場強度E00 ,往上或往下的無窮遠處的電場強度也為0,所以，從 O點向上或向下都是先增大

2、后減小，這是定性的分析。那么，在哪兒達到最大呢，需要定 量的計算。方法1.用三角函數(shù)法求導(dǎo)數(shù)E 2k（ 2 Q 2）cos 中把 y -1-代入得 E -2kQ sin2 cosl2 y2tanl2令 z sin2 cos ,求導(dǎo)數(shù) z' 2sin cos2.3. 一 2. 2sin = sin （2 cos sin ）, 欲使z' 0,需 sin0 （舍去）或 2 cos2sin0即tan 72 ,此處，y將其代入得Emax4 3 kQ2- 09 l方法2.用代數(shù)法求導(dǎo)數(shù)QE = 2k(12y ,1 y令 z y (1 2求導(dǎo)數(shù)得22z' (1 y )32 3y2(l

3、2y2)52,令其分子為0,得yT '代入得Emax4.3 kQ2- 09 l23.圖象用Excel作圖，得到關(guān)于等量同種電荷的電場在其中垂線上的分布的圖象，圖象的橫軸y表示各點到原點的距離(以兩點電荷的連線的中點為原點)，縱軸表示中垂線上各點的 電場強度。圖2.兩等量正點電荷的電場強度在y坐標軸上的分布 2l此圖象也驗證了以上所得的結(jié)果：圖象中令l 5,則當y 乂22 5,3.5處電場2強度最大例2、電源輸出功率最大問題的研究例題.如圖所示，R為電阻箱，V為理想電壓表.當電阻箱讀數(shù)為Ri=2Q時，電壓表讀數(shù)為 Ui=4V;當電阻箱讀數(shù)為 R2=5Q時電壓表讀數(shù)為U2=5V .求：(1

4、)電源的電動勢E和內(nèi)阻r。圖3電路圖(2)當電阻箱R讀數(shù)為多少時，電源的輸出功率最大溫大值Pm為多少？【解析】由閉合電路歐姆定律：E U1U2聯(lián)立上兩式并代入數(shù)據(jù)解得：E(2)解法1.代數(shù)法，電功率表達式：E2(R r)2將上式變形為：E2P E2,由上式可知R r 1 時P有最大值P m(R r) /4r RE24r9W解法2.導(dǎo)數(shù)法，電功率表達式：P (RE2 上上一口 , 上二R ,根據(jù)求導(dǎo)公式 r)2u(-)vu'v uv'2，v222_P1(R) E2 (R r)2 E2R 2(R(R r)42r)_ E2 (R r) (r R)(R r)4當R r時,E- 9W4r

5、導(dǎo)數(shù)的分子為零，即此時有極大值，將R r 1代入P式得最大值P本題的物理意義可用圖 4圖象說明:圖4電源輸出功率與外電路電阻的關(guān)系圖象的最高點為電源的輸出功率最大，其余的，對同一個輸出功率，可以有兩個電阻值。例3.證明：在碰撞中，完全非彈性碰撞動能損失最大大家知道，碰撞分彈性碰撞和非彈性碰撞兩類。彈性碰撞，動能和動量都守恒，非彈性 碰撞，動能不守恒了 ，但動量還是守恒的。在非彈性碰撞中，有一種叫完全非彈性碰撞， 兩個物體相碰后不分開，連在一起了，動能損失最大，動能不守恒，但動量還是都守恒的為什么在完全非彈性碰撞中， 動能損失最大呢？很多同學(xué)知其然不知其所以然，本文解 決知其所以然的問題。彈性形

6、變是指撤去外力后能夠恢復(fù)原狀的形變，能夠發(fā)生彈性形變的物體我們說它具有彈性。碰撞是在極短的時間內(nèi)發(fā)生的，滿足相互作用的內(nèi)力大于大于外力的條件，因此 不管系統(tǒng)是否受到外力，一般都滿足動量守恒。因此彈性碰撞是同時滿足動量守恒和動 能守恒的碰撞。一般意義上的碰撞，僅滿足動量守恒，碰撞過程中物體往往會發(fā)生形變，還會發(fā)熱、發(fā)聲，系統(tǒng)有動能損失，由于一般只研究碰撞發(fā)生在同一水平直線上的情況，系統(tǒng)在碰撞 前后的重力勢能不變，因此動能損失也對應(yīng)著機械能的損失，通常情況下是機械能轉(zhuǎn)化 為內(nèi)能。非彈性碰撞即物體發(fā)生碰撞后不反彈，區(qū)別于大多數(shù)的彈性碰撞，碰撞過程中 會有動能損失。如圖1所示，設(shè)質(zhì)量為 m1的小球，速

7、度為vi,與質(zhì)量為m2的小球，速度為V2,發(fā)生碰 撞，圖5碰撞碰撞后兩球的速度分別為vi'、v2',取向右為矢量的正方向。由系統(tǒng)的動量守恒定律得m-vi+m2v2=miVi' +艙2' S則碰撞中動能損失為Ek i mv；i 2 i ,2二 m2 V2二 m1Vi22-m2v2'2i 2由得 Vjmiv1m2V2Mi'm2代入得i 2 i 2Ek-mivi二 m2 V222-m1v1'22(m1v1m2 v2miv1')2m22一,求 Ek對vj的導(dǎo)數(shù)，得 Ek'(vi')mivi' (miVi m2v2

8、") mim2令 Ek'(vi')0,解得 Vi' miVim2v2, 即當 Vi'miVim2v2時,Ek有最大值mim2mim2將代入解得V2miVim2 V2，即Vi' V2',兩小球粘合在一起時，也就是完全非mim2彈性碰撞 情況下動能損失最大將代入解得動能損失最大為maxm1 m2 (v1 v2) 22(mi m2)例題.某同學(xué)利用如圖6所示的裝置研究碰撞問題。圖中兩擺擺長相同 l 1m,懸掛于同 一高度，A、B兩擺球均很小，質(zhì)量相等皆為 m。當兩擺均處于自由靜止狀態(tài)時，其側(cè) 面剛好接觸。向右上方拉動 B球使其擺線伸直并與豎直

9、方向成 450角，然后將其由靜止 釋放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上擺的最大角度的最大值和最 小各值各是多少？ 解：B球的初始高度為R,碰撞前B球的速度為Vb.在不考慮擺線質(zhì)量的情況下，根據(jù)題意及機械能守恒定律得：hi l(1 cos45 )12mvB mghi彈性碰撞時，動量守恒有 mvB mvA' mvB'1 o 11 1 o動能守怛有一mvB mvA' -mvB'2 22解得 Va' Vb , Vb ' 0 ,12根據(jù)mgh2 mvA',得h2 h1,為A球上升的取局局度。根據(jù)h2 l(1 cos 2),得21 4

10、5°,為A球上擺的最大角度。完全非彈性碰撞，即A、B兩球粘合在一起時，動量守恒有mvB 2mv',解得v',21 o 11根據(jù)mgh3 mv' mgh2，得h3 h ,為A球上升的取大局度的取小值。根據(jù)h3 l(1 cos 3),得3 22°,為A球上擺的最大角度的最小值。例4.電磁感應(yīng)問題如圖，質(zhì)量為M的足夠長金屬導(dǎo)軌abcd放在光滑的絕緣水平面上。一電阻不計，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒PQ放置在導(dǎo)軌上，始終與導(dǎo)軌接觸良好，PQbc構(gòu)成矩形。棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)為p,棒左側(cè)有兩個固定于水平面的立柱。導(dǎo)軌 bc段長為L,開始時PQ左 側(cè)導(dǎo)軌的總電阻為 R,右側(cè)

11、導(dǎo)軌單位長度的電阻為R°o以ef為界，其左側(cè)勻強磁場方向豎直向上，右側(cè)勻強磁場水平向左，磁感應(yīng)強度大小均為Bo在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用在導(dǎo)軌的bc邊上，使導(dǎo)軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為a o(1)求回路中感應(yīng)電動勢及感應(yīng)電流隨時間變化的表達式；(2)經(jīng)過多長時間拉力 F達到最大值，拉力F的最大值為多少？(3)某過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為 Q,導(dǎo)軌克服摩擦力做功為 W,求導(dǎo)軌動能的增加【答案】(1) 感應(yīng)電動勢 BLv1 C導(dǎo)軌做初速為冬的勻加速運動，v at , s at22BLat回路中感應(yīng)電流隨時間變化的表達式I BLvBLatBLat(2)Ff% R 2R

12、0(lat2)2導(dǎo)軌受外力F,安培力BILFn由牛頓定律F Ma_2R R0atFa,摩擦力Ff。其中B2L2atR R°at2(mgBIL)(mgB2L2atR R°at2)F FaFf MaFaFfMa mgR上式中，當-R0at ,即tR 時外力F取極大值。 aRo匚 (1)B2L2aFmax Ma mg 2RR(3)設(shè)在此過程中導(dǎo)軌運動距離s ,由動能定理W合 Mas由于摩擦力Ff(mg Fa),所以摩擦力做功W mgsWA mgs QWs mgEk MasMa-(WQ) omg【點評】本題考查電磁感應(yīng)，勻變速運動，牛頓定律等知識點以及分析判斷能力及極值的計算等數(shù)學(xué)

13、方法。難度：難。在式子yB212at R2I 2aB L 2的極值的計算中，答案用了變形ya ,然后根據(jù)兩式之R R0 atR Roatt積一定時，兩式相等時其和最小的數(shù)學(xué)方法，因分母最小，分式取最大值。R也可以用導(dǎo)數(shù)法求極值。設(shè)上式的分母為x - Rat,取導(dǎo)數(shù)：x'R 口-R)a ， tR令其等于。，解得極值條件為t J。代入得x 2、；aRR，此時，y1.aRoB2L2(1)B2L2aFmaxMamg 21 RR例5.交流電如圖(a),在同一平面內(nèi)固定有一長直導(dǎo)線 PQ和一導(dǎo)線框R, R在PQ的右側(cè)。導(dǎo)線PQ中通有正弦交流電流i, i的變化如圖(b)所示，規(guī)定從 Q到P為電流的正

14、方向。導(dǎo)線框R中的感應(yīng)電動勢QI圖®圖如A.在t T時為零4B.在t T時改變方向2C.在t T時最大，且沿順時針方向2D.在t T時最大，且沿順時針方向【解析】根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動勢 E ，即E為 的導(dǎo)數(shù)，有tBS,S不變，與B成正比，所以，E與i的導(dǎo)數(shù)成正比，據(jù)此可以畫出 E-t圖象如下：從圖象可以看出：A.在t T時為零，正確；4B.在t T時改變方向，錯誤；2C.在t T時為負最大，且沿順時針方向，正確；2D .在t T時為正最大，且沿逆時針方向，D錯誤【答案】20. ACE隨時間非均勻變化【點評】E t圖象是正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）圖象，說明電動勢E t函數(shù)是t函

15、數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)。例6.帶電粒子在磁場中的運動粒子速度選擇器的原理圖如圖所示，兩水平長金屬板間有沿水平方向、磁感應(yīng)強度為Bo的勻強磁場和方向豎直向下、電場強度為Eo的勻強電場。一束質(zhì)量為 m、電荷量為q的帶電粒子，以不同的速度從小孔0處沿中軸線射入此區(qū)域。研究人員發(fā)現(xiàn)有些粒 子能沿中軸線運動 并從擋板上小孔 P射出此區(qū)域，其他還有些帶電粒子也能從小孔P射出，射出時的速度與預(yù)期選擇的速度的最大偏差量為，通過理論分析知道，這些帶電粒子的運動可以看作沿中軸線方向以速度為1的勻速直線運動和以速率2在兩板間的勻強磁場中做勻速圓周運動的合運動，1、 2；均為未知量，不計帶電粒子重力及粒子間相互作用。若帶電粒子

16、能沿中軸線運動，求其從小孔O射入時的速度°增加磁感應(yīng)強度后，使帶電粒子以（1）中速度0射入，要讓所有帶電粒子均不能打 到水平金屬板，兩板間距 d應(yīng)滿足什么條件?（3）磁感應(yīng)弓S度為Bo時，為了減小從小孔 P處射出粒子速度的最大偏差量高速度選擇器的速度分辨本領(lǐng)，水平金屬板的長度L應(yīng)滿足什么條件?例1題圖【解答】（1）帶電粒子能沿中軸線運動受力平衡，則qv0B0 qE ,解得 v0BO（2）設(shè)磁感應(yīng)弓S度增為 B,對速度為v1的勻速直線分運動，有當B 2Bo時，半徑有最大值 1r mEA( 二)q BoB B2mEo4qBo要讓所有帶電粒子都不能打到金屬板，應(yīng)滿足52rm，即 dmEo菽

17、qv1B qE0 ,解得 v1 v0B勻速圓周分運動的速率v2v0 v12由向心力公式qv2 B 吧2 ,解得 r(3)要提高速度選擇器的速度分辨率，就要使不能沿軸線運動的偏離軸線有最大的距離，圓周運動完成半周期的奇數(shù)倍，則L vo(2n 1)T2(n 1,2,3,)圓周運動的周期T 2型qBo故應(yīng)滿足的條件L (2n 1)2嶼 (n 1,2,3,)qBo【拓展】從此題目談起，筆者提出并回答以下問題，以進一步理解此題。在得出r mE0( 口)后，即有當B 2Bo時，半徑有最大值rm '2 ,這是qBoB B24qB2為什么？【解答】這個是求極值問題，本來是數(shù)學(xué)問題，在物理題中，物理老師

18、也要解答。這就是高考要求的用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力這里要用導(dǎo)數(shù)法求極值：令1BoB1 B Bo2 =2B BoB2根據(jù)求導(dǎo)公式(v)1得r'一BoBoB ( B 2Bo)- 2-4Bo BmE 11其分子為。，得r 一°( 2)式取極值的條件是 B 2Bo,將此條件代入則得 q BoB BrmmE04qB0例7.振動和波問題 圖甲為一列簡諧橫波在t=0. 10s時的波形圖，P是平衡位置為x=1m處的質(zhì)點，Q是平衡位置為x=4m處的質(zhì)點，圖乙為質(zhì)點 Q的振動圖像，則（）A . t=0. 15s時，質(zhì)點Q的加速度達到正向最大B. t=0. 15s時，質(zhì)點P的運動方向沿y軸負方

19、向C.從t=0 . 10s到t=0 . 25s,該波沿x軸正方向傳播了 6mD.從t=0. 10s到t=0. 25s,質(zhì)點P通過的路程為 30cm答案：AB分析法：題考查振動圖像和波動圖像的綜合應(yīng)用。由圖乙可知 t=0. 15s時，質(zhì)點Q 到達波谷，其加速度達到正向最大，A選項正確；圖甲表示0. 10s時的波形圖，t=0. 10s 時由圖乙可知質(zhì)點 Q正經(jīng)過平衡位置向下振動， 結(jié)合圖甲可知這列波向左傳播 （因為波 向左傳播，Q才處在 上坡”的位置，其運動方向才向下）。又由圖甲可知波長為 8m, 由圖乙可知周期為 0. 20s,波速v=X/T=40m/s從0. 10s到0. 15s時間段內(nèi)，波向

20、左平 移s=vt=2m。畫出此時的波形如下圖（將波向左平移2m）y/cm從圖可以發(fā)現(xiàn)，此時質(zhì)點 P的運動方向沿y軸負方向，B選項正確；從t=0. 10s到t=0. 25s,該波沿x軸負方向傳播的距離 s=vt=6m, C選項方向判斷錯誤； 從t=0. 10sT到t=0. 25s,經(jīng)過的時間為0. 15s,等于4即0. 05s的3倍，質(zhì)點P做變速運動，通s 4= 30cm過的路程不能用 下來計算(從平衡位置或正負最大位移處開始計時，才能這樣算)，實際路程不等于 30cm (此處有的同學(xué)禁不住問：不是30cm,是多少呢？且往下看)。答案選擇AB?！竞瘮?shù)導(dǎo)數(shù)法】m y = - sin 27r( + )因為f二。時刻波方程是產(chǎn)=一£地加，波函數(shù)基本函數(shù)式是了 3 (因為本題波向左傳播，所以式中負號改為正號)由圖甲可知波長為 兄= 8m,振幅為A=10cm,由圖乙可知周期為 T=0 . 20s,所以本y = -10sin 2<+-)+題波函數(shù)可以寫為0.2 3 =4-10£in(l07Z+ =A選項：Q點的振動方程是少。-410血10龍對式求導(dǎo)數(shù)得速度函數(shù) v = WxIOttcosU =100kgsl0元 對式求導(dǎo)數(shù)得加速度函數(shù)口 = 1000"，(一mI。女)將t=0. 15s代入式得口 = 1000打“1n