最新東北師大附屬中學(xué)高三一輪導(dǎo)學(xué)案：幾何證明選講【A】

1、 幾何證明選講(選修系列)a一、知識(shí)梳理（一）、相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1平行線等分線段定理及其推論（1）定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。（2）推論：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。2平行線分線段成比例定理及推論（1）定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。如圖，若，則有：注：把推論中的題設(shè)和結(jié)論交換之后，命題仍然成立。3相似三角形的判定及性質(zhì)（1）相似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)

2、邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。（2）相似三角形的判定預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。如圖，若ef/bc，則aefabc。判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。注：根據(jù)判定定理2，對(duì)于兩等腰三角形，只需再添加一頂角或底角對(duì)應(yīng)相等就可以了。若兩等腰三角形的一底角相等，則另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若頂角對(duì)應(yīng)相等，則它們的兩底角也對(duì)應(yīng)相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三

3、角形的頂角與另一等腰三角形的一底角對(duì)應(yīng)相等，它們不一定相似。（3）直角三角形相似的判定：上述所有的任意三角形相似的判定皆適用于直角三角形。定理1：如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似。定理2：如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。定理3：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（4）相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)（一）（）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。（）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。（）相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形的性質(zhì)（二）（）相似三角形

4、外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比。（）相似三角形外接圓的面積比等于相似比的平方。4直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，在rtabc中，cd是斜邊ab上的高，則有cd2=ad·bd，ac2=ad·ab，bc2=bd·ab。（二）、直線與圓的位置關(guān)系1圓周角定理（1）圓周角定理及其推論定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論（）推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。（）推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；900的圓

5、周角所對(duì)的弦是直徑。（2）圓心有定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。（2）圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。3圓的切線的性質(zhì)及判定定理切線的性質(zhì)定理及推論（1）定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑（2）推論：推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。4弦切角的性質(zhì)弦切角定理：弦

6、切角等于它所平的弧所對(duì)的圓周角。5與圓有關(guān)的比例線段圓中的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦ab、cd相交于圓內(nèi)點(diǎn)p（1）pa·pb=pc·pd（2）acpbdp（1）在pa、pb、pc、pd四線段中知三求一（2）求弦長(zhǎng)及角割線定理pab、pcd是的割線pa·pb=pc·pd（2）pacpdb（1）求線段pa、pb、pc、pd及ab、cd（2）應(yīng)用相似求ac、b切割線定理pa切于a，pbc是的割線（1）pa2=pb·pc（2）pabpca（1）已知pa、pb、pc知二可求一（2）求解ab、ac切線長(zhǎng)定理pa、pb是的切線（1）pa

7、=pb（2）opa=opb（1）證線段相等，已知pa求pb（2）求角二、題型探究題型探究一：相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)（一）平行線（等）分線段成比例定理的應(yīng)用例1：如圖，f為平行四邊形abcd邊ab上一點(diǎn)，連df交ac于g，延長(zhǎng)df交cb的延長(zhǎng)線于e。求證：dg·de=df·eg思路解析：由于條件中有平行線，考慮平行線（等）分線段定理及推論，利用相等線段（平行四邊形對(duì)邊相等），經(jīng)中間比代換，證明線段成比例，得出等積式。解答：四邊形abcd是平行四邊形，adbc，abdc，ad=bc，adbc，又abdc，即dg·de=df·eg。題型探究二：相似三角形判

8、定定理的應(yīng)用例2：如圖，bd、ce是abc的高，求證：adeabc。解答：題型探究三：相似三角形性質(zhì)定理的應(yīng)用例3：abc是一塊銳角三角形余料，邊bc=12cm，高ad=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在bc上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在ab，ac上，求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。思路解析：利用相似三角形的性質(zhì)定理找到所求正方形邊長(zhǎng)與已知條件的關(guān)系即可解得。解答：設(shè)正方形pqmn為加工成的正方形零件，邊qm在bc上，頂點(diǎn)p、n分別在ab、ac上，abc的高ad與邊pn相交于點(diǎn)e，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，pnbc，apnabc。解得x=4.8(cm).答：加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為4.8cm。題型探

9、究四：直角三角形射影定理的應(yīng)用例4：如圖，在rtabc中，bac=900，adbc于d，dfac于f，deab于e，求證：ad3=bc·be·cf。思路解析：題目中有直角三角形和斜邊上的高符合直角三角形射影定理的兩個(gè)條件，選擇合適的直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。解答：adbc，adb=adc=900，在rtadb中，deab，由射影定理得bd2=be·ab，同理cd2=cf·ac，bd2·cd2= be·ab·cf·ac 又在rtabc中，adbc，ad2=bd·dc 由得ad4= bd2·cd2

10、 =be·ab·cf·ac= be·ab·ad·bcad3=bc·be·cf題型探究五：圓周角定理的應(yīng)用例5：如圖，已知是abc的外接圓，cd是ab邊上的高，ae是的直徑。求證：ac·bc=ae·cd。解答：連接ec，b=e。ae是的直徑，ace=900。cd是ab邊上的高，cdb=900。在aec與cbd中，e=b，ace=cdb，aeccbd。，即ac·bc=ae·cd。題型探究六：圓內(nèi)接四邊形及判定定理的應(yīng)用例6：如圖，已知ap是的切線，p為切點(diǎn)，ac是的割線，與交于b

11、，c兩點(diǎn)，圓心在pac的內(nèi)部，點(diǎn)m是bc的中點(diǎn)。（1）證明：a，p，m四點(diǎn)共圓；（2）求oam+apm的大小。思路解析：要證a、p、m四點(diǎn)共圓，可考慮四邊形apom的對(duì)角互補(bǔ)；根據(jù)四點(diǎn)共圓，同弧所對(duì)的圓周角相等，進(jìn)行等量代換，進(jìn)而求出oam+apm的大小。解答：（1）連接op，om，因?yàn)閍p與相切于點(diǎn)p，所以opap，因?yàn)閙是的弦bc的中點(diǎn)，所以ombc，于是opa+oma=1800。由圓心在pac的內(nèi)部，可知四邊形apom的對(duì)角互補(bǔ)，所以a，p，o，m四點(diǎn)共圓。（2）由（1）得a，p，m四點(diǎn)共圓，所以oam=opm，由（1）得opap，由圓心在pac的內(nèi)部，可知opm+apm=900，所以o

12、pm+apm=900。題型探究七：圓的切線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用例7：已知ab是的直徑，bc是的切線，切點(diǎn)為b，oc平行于弦ad（如圖）。求證：dc是的切線。解答：連接od。oa=od，1=2，adoc，1=3，2=4，3=4。又ob=od，oc=oc，obcodc，obc=odc。bc是的切線，obc=900，odc=900，dc是的切線。題型探究八：與圓有關(guān)的比例線段例8：如圖所示，已知與相交于a、b兩點(diǎn)，過點(diǎn)a作的切線交于點(diǎn)c，過點(diǎn)b作兩圓的割線，分別交、于點(diǎn)d、e，de與ac相交于點(diǎn)p。（1）求證：adec；（2）若ad是的切線，且pa=6，pc=2，bd=9，求ad的長(zhǎng)。解答：（1）連接

13、ab，ac是的切線，bac=d。又bac=e，d=e，adec。（2）設(shè)bp=x,pe=y.pa=6，pc=2，由相交弦定理得pa·pc=bp·pe，xy=12 adec, 由可得，de=9+x+y=16.ad是的切線，de是的割線，ad2=db·de=9×16，ad=12。三、方法提升1、知識(shí)重點(diǎn)是平行線等分線段定理、平行截割定理及其推論，是研究相似形最重要和最基本的理論，它一方面可以直接判斷線段成比例，另一方面，當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時(shí)，常用定理把兩條線段的比“轉(zhuǎn)移”成另兩條線段的比。在使用定理和推論的時(shí)候，應(yīng)特別注意對(duì)應(yīng)的問題。 這一部分常見

14、的題型為利用比例計(jì)算線段的長(zhǎng)度和利用平行關(guān)系證明比例式（或等積式），突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于抓住平行找比例，沒有平行作平行，多個(gè)比例巧過渡，需要注意的是，在圖形中添加平行線一般要遵循的以下原則：一是不能破壞給定的條件；二是作出的輔助線要能“一線兩用”2、相似三角形的定義、判定和性質(zhì)是初中已學(xué)的內(nèi)容，但在初中平面幾何中沒有給出定理的證明，通過本講知識(shí)的學(xué)習(xí)可以體會(huì)邏輯推理、幾何證明的重要性，在解題過程中應(yīng)注意觀察基本圖形與定理間的關(guān)系，通過尋找基本圖形把已知和未知聯(lián)系起來，先明確需要證明哪兩個(gè)三角形相似，再尋找三角形相似的條件，從而發(fā)現(xiàn)證題思路3、相交弦定理、切割線定理及它們的推論和前面的切線長(zhǎng)定理一

15、樣，揭示了和圓有關(guān)的一些線段間的數(shù)量關(guān)系，這些定理的證明及應(yīng)用又常常和相似三角形聯(lián)系在一起，因此在解題中要善于觀察圖形，對(duì)復(fù)雜的圖形進(jìn)行分解，找出基本圖形和結(jié)論，從而準(zhǔn)確地解決問題.另外在和圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算問題中，要注意方程的思想的運(yùn)用.4、在與圓和圓的位置關(guān)系相關(guān)的一些問題中，常常需要探求線段相等或倍分或成比例、角相等或倍分，其實(shí)質(zhì)與探求一個(gè)圓中的對(duì)應(yīng)問題基本類似，只不過在兩個(gè)圓中，需要仔細(xì)觀察圖形，注意某些線段或角是兩個(gè)圓的公共元素，解決問題時(shí)又常常通過這些公共元素將其他元素聯(lián)系在一起.另外要注意分類討論這一思想方法的應(yīng)用.5、在解決與圓內(nèi)接四邊形有關(guān)的問題時(shí)，要注意觀察圖形，分清四

16、邊形的外角和內(nèi)對(duì)角的位置，正確應(yīng)用性質(zhì)6、當(dāng)兩圓相交時(shí)，常常通過連結(jié)兩圓的公共弦，構(gòu)建出圓內(nèi)接四邊形，進(jìn)一步解決問題四、反思感悟 五、高考真訓(xùn)練：1（幾何證明選做題）如圖，已知rtabc的兩條直角邊ac，bc的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，以ac為直徑的圓與ab交于點(diǎn)d，則bdcm.解析：,由直角三角形射影定理可得2（14）如圖，四邊形abcd是圓o的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)ab和dc相交于點(diǎn)p，若,則的值為 【答案】【解析】本題主要考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，屬于中等題。因?yàn)閍,b,c,d四點(diǎn)共圓，所以,因?yàn)闉楣步?，所以pbcpab,所以.設(shè)ob=x，pc=y，則有，所以【溫馨提示】四點(diǎn)共圓時(shí)

17、四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓與三角形綜合問題是高考中平面幾何選講的重要內(nèi)容，也是考查的熱點(diǎn)。3（13）已知圓c的圓心是直線與x軸的交點(diǎn)，且圓c與直線x+y+3=0相切，則圓c的方程為 【答案】本題主要考查直線的參數(shù)方程，圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于容易題。令y=0得t=-1，所以直線與x軸的交點(diǎn)為（-1.0）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓c的方程為4（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，的角平分線ad的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)e（i）證明：（ii）若的面積，求的大小。證明：（）由已知條件，可得因?yàn)槭峭∩系膱A周角，所以故abeadc. 5分（

18、）因?yàn)閍beadc，所以，即ab·ac=ad·ae.又s=ab·acsin，且s=ad·ae，故ab·acsin= ad·ae.則sin=1，又為三角形內(nèi)角，所以=90°. 10分5選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）ab是圓o的直徑，d為圓o上一點(diǎn)，過d作圓o的切線交ab延長(zhǎng)線于點(diǎn)c，若da=dc，求證：ab=2bc。解析 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結(jié)od，則：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， doc=dao+oda=2dco，所以dco

19、=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。（方法二）證明：連結(jié)od、bd。因?yàn)閍b是圓o的直徑，所以adb=900，ab=2 ob。因?yàn)閐c 是圓o的切線，所以cdo=900。又因?yàn)閐a=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，從而ab=co。即2ob=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。六、考點(diǎn)模擬演練一、填空題1如圖所示，已知在abc中，c90°，正方形defc內(nèi)接于abc，deac，efbc，ac1，bc2，則affc等于_答案：解析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，則由afeacb，可得，即，所以x，于是.2在rtabc中，cd、ce

20、分別是斜邊ab上的高和中線，設(shè)該圖中共有x個(gè)三角形與abc相似，則x_.答案：2解析：2個(gè)，acd和cbd.3在abc中，d，e分別為ab，ac上的點(diǎn)，且debc，ade的面積是2 cm2，梯形dbce的面積為6 cm2，則debc的值為_答案：12解析：adeabc，利用面積比等于相似比的平方可得答案4、（惠州20xx高三第三次調(diào)研考試文）如圖，已知o的割線pab交o于a，b兩點(diǎn)，割線pcd經(jīng)過圓心，若pa=3，ab=4，po=5，則o的半徑為_.答案：設(shè)圓的半徑為r,由得解得r=2。5、（江門20xx高三上期末調(diào)研測(cè)試?yán)恚┤鐖D4，點(diǎn)a，b，c是圓o上的點(diǎn)，且，則對(duì)應(yīng)的劣弧長(zhǎng)為 答案：6如圖

21、，ab是半圓o的直徑，點(diǎn)c在半圓上，cdab，垂足為d，且ad5db，設(shè)cod，則tan的值為_答案：解析：設(shè)bdk(k>0)，因?yàn)閍d5db，所以ad5k，aoob3k，所以ocob3k，od2k.由勾股定理得，cdk，所以tan.7如圖，pc切o于點(diǎn)c，割線pab經(jīng)過圓心o，弦cdab于點(diǎn)e.已知o的半徑為3，pa2，則pc_，oe_.答案：4解析：由切割線定理得：pc2pa×pb2×(62)16，所以pc4，連接oc，由題意可知，ocpc，又op5，故在rtpco中，coscpo，在rtpce中，coscpo，故ep，oeopep.8如圖所示，已知圓o的直徑ab

22、，c為圓o上一點(diǎn)，且bc，過點(diǎn)b的圓o的切線交ac的延長(zhǎng)線于點(diǎn)d，則da_.答案：3解析：由題意知三角形abc為直角三角形，由勾股定理，得ac2，又在直角三角形abd中，abd為直角，bc為斜邊ad上的高，所以bc2ac·cd，cd1，daaccd3，故填3.abcdo9、（20xx豐臺(tái)二模理10）如圖所示，db，dc是o的兩條切線，a是圓上一點(diǎn)，已知d=46°，則a= 答案：67°10、（20xx海淀二模理12）如圖，已知的弦交半徑于點(diǎn)，若，且為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 .答案：11兩個(gè)相似三角形的面積分別為9 cm2和25 cm2，它們的周長(zhǎng)相差6 cm，則較大的三角

23、形的周長(zhǎng)為_cm.解析：因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形面積分別為9 cm2和25 cm2，所以面積之比為925，相似比為35，則周長(zhǎng)比為35，設(shè)小三角形周長(zhǎng)為x cm，則大三角形周長(zhǎng)為(x6)cm，所以x(x6)35，x9(cm)，x615(cm)答案：1512如圖，在abcd中，e是dc邊的中點(diǎn)，ae交bd于o，sdoe9 cm2，saob_.答案：36 cm2解析：在abcd中，abde，aobeod，()2，e是cd中點(diǎn)，decdab，2，224，saob4sdoe，而sdoe9 cm2，saob4×936(cm2)13如圖，d、e兩點(diǎn)分別在ac、ab上，且de與bc不平行，請(qǐng)?zhí)钌弦粋€(gè)你認(rèn)

24、為適合的條件：_，使得adeabc.答案：1b或(2c或)解析：aa，由兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，可添加1b或2c，由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似，可添加.14如右圖，ab為o的直徑，弦ac4 cm，bc3 cm，cdab于d，則cd的長(zhǎng)為_cm.答案：解析：由ab為o的直徑，可知acb90°，由勾股定理可得ab5，因sacbac·bcab·cd，故3×45·cd，所以cd cm.15如圖所示，圓o的直徑ab6，c為圓周上一點(diǎn)，bc3，過c作圓的切線l，則點(diǎn)a到直線l的距離ad為_答案：解析：連結(jié)co，ab為直徑，acb90°.即abc為直角三角形，又ab6，bc3，sincab.cab30°，ac3，aooc.aoc為等腰三角形aco30°.又l為o的切線，ocl，即dco90°.dca60°.adac·sin60°.16.如圖，o的割線pba過圓心o，弦cd交pa于點(diǎn)f，且