高考數(shù)學文科二輪提分訓練：直線方程和兩直線的位置關系含答案解析

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 直線方程和兩直線的位置關系高考試題考點一 直線的斜率和傾斜角 1.(2009年全國卷,文16)若直線m被兩平行線l1:x-y+1=0與l2:x-y+3=0所截得的線段的長為2,則m的傾斜角可以是15°30°45°60°75°其中正確答案的序號是.(寫出所有正確答案的序號) 解析:兩直線x-y+1=0與x-y+3=0之間的距離為=.又動直線被l1與l2所截的線段長為2,故動直線與兩直線的夾角應為30°,因此只有適合.答案:2.(20xx年湖南卷,文14)若不同兩點p、q的坐標分別為

2、(a,b)、(3-b,3-a),則線段pq的垂直平分線l的斜率為;圓(x-2)2+(y-3)2=1關于直線l對稱的圓的方程為. 解析:當直線pq的斜率不存在時,a=3-b,此時兩點重合,不滿足題意,因此直線pq的斜率k=1,線段pq的垂直平分線l的斜率為-1,線段pq的中點坐標為,直線l的方程為y-=-,即x+y-3=0.設圓心(2,3)關于直線x+y-3=0的對稱點為(m,n),則解得故所求圓的方程為x2+(y-1)2=1.答案:-1x2+(y-1)2=1考點二 直線方程的求法 1.(廣東卷,文7)垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第一象限的直線方程是()(a

3、)x+y-=0(b)x+y+1=0(c)x+y-1=0(d)x+y+=0解析:所求直線與圓x2+y2=1相切,即圓心(0,0)到直線距離為1,選項a、d符合要求,又因該直線與圓相切于第一象限,其在y軸上截距應大于0,排除選項d.故選a.答案:a2.(20xx年安徽卷,文4)過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()(a)x-2y-1=0(b)x-2y+1=0(c)2x+y-2=0(d)x+2y-1=0解析:法一直線x-2y-2=0的斜率k=,故所求直線斜率為,所以所求直線方程為y-0=(x-1),即x-2y-1=0.法二設所求直線方程為x-2y+c=0,把點(1,0)的坐標代入

4、可得c=-1.法三由題意可知,選項c、d不合適,又直線過點(1,0),可知選項a正確.故選a.答案:a3.(2009年安徽卷,文7)直線l過點(-1,2)且與直線2x-3y+4=0垂直,則l的方程是()(a)3x+2y-1=0(b)3x+2y+7=0(c)2x-3y+5=0(d)2x-3y+8=0解析:由題意知,直線l的斜率為-,因此直線l的方程為y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.故選a.答案:a考點三 兩條直線的位置關系的判定及應用 1.(遼寧卷,文9)已知點o(0,0),a(0,b),b(a,a3).若oab為直角三角形,則必有()(a)b=a3(b)b=a3+(c)(

5、b-a3) =0(d)|b-a3|+=0解析:由題知a0,b0,若aob為直角,則·=ba3,又b=0或a=0,不合題意.若bao為直角,則·=(0,-b)·(a,a3-b)=0,即b2-ba3=0,則b-a3=0與題意不符.若abo=0,則·=(-a,-a3)·(-a,b-a3)=a2-a3(b-a3)=0,得b-a3-=0.故選c.答案:c2.(20xx年浙江卷,文4)設ar,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+2y+4=0平行”的()(a)充分不必要條件(b)必要不充分條件(c)充分必要條件(d)既不充分也不必要條

6、件解析:若l1l2,則2a-2=0,a=1,故a=1是l1l2的充要條件.答案:c3.(2009年上海卷,文15)已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k的值是()來源:(a)1或3(b)1或5(c)3或5(d)1或2解析:l1l2,-2×(k-3)-2(k-3)(4-k)=0,(k-3)(k-5)=0,k=3或5.答案:c4.(20xx年浙江卷,文12)若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直,則實數(shù)m=. 解析:直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直.·=-1.m=1.答案:15

7、.(四川卷,文15)在平面直角坐標系內,到點a(1,2),b(1,5),c(3,6),d(7,-1)的距離之和最小的點的坐標是. 解析:設平面上任一點m,因為|ma|+|mc|ac|,當且僅當m在線段ac上時取等號,同理|mb|+|md|bd|,當且僅當m在線段bd上時取等號,連接ac,bd交于一點m,則|ma|+|mc|+|mb|+|md|最小,點m為所求.由a、c的坐標可得直線ac的方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0.由b、d的坐標可得直線bd的方程為y-5=-(x-1),即x+y-6=0.解得即m(2,4).答案:(2,4)6.(20xx年安徽卷,文17)設直線l1:y

8、=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0.(1)證明l1與l2相交;(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上.證明:(1)假設l1與l2不相交,則l1與l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得+2=0,這與k1為實數(shù)的事實相矛盾,從而k1k2,即l1與l2相交.(2)法一由方程組解得交點p的坐標為,而2x2+y2 =2+=1.此即表明交點p(x,y)在橢圓2x2+y2=1上.法二交點p的坐標(x,y)滿足故知x0.從而代入k1k2+2=0,得·+2=0.整理后,得22+y2=1,所以交點p在橢圓2x2+y2=1上.考點四 距離問題&

9、#160;1.(四川卷,文5)拋物線y2=8x的焦點到直線x-y=0的距離是()(a)2 (b)2 (c) (d)1解析:拋物線y2=8x的焦點f(2,0),到直線x-y=0的距離d=1.故選d.答案:d2.(20xx年上海卷,文7)圓c:x2+y2-2x-4y+4=0的圓心到直線l:3x+4y+4=0的距離d=. 解析:圓c的圓心坐標為(1,2),由點到直線的距離公式可得d=3.答案:33.(20xx年浙江卷,文17)定義:曲線c上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線c到直線l的距離.已知曲線c1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線c2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x

10、的距離,則實數(shù)a=. 解析:曲線c2是圓心為(0,-4),半徑r=的圓,圓心到直線l:y=x的距離d1=2,所以曲線c2到直線l的距離為d1-r=.設曲線c1上的點(x0,y0)到直線l:y=x的距離最短為d,則過(x0,y0)的切線平行于直線y=x.已知函數(shù)y=x2+a,則y=2x0=1,即x0=,y0=+a,點(x0,y0)到直線l:y=x的距離d=,由題意知=,所以a=-或a=.當a=-時,直線l與曲線c1相交,不合題意,故舍去.答案:考點五 直線與圓錐曲線的綜合 1.(北京卷,文19)直線y=kx+m(m0)與橢圓w: +y2=1相交于a,c兩點,o是坐標原點.(1

11、)當點b的坐標為(0,1),且四邊形oabc為菱形時,求ac的長;(2)當點b在w上且不是w的頂點時,證明:四邊形oabc不可能為菱形.(1)解:因為四邊形oabc為菱形,所以ac與ob相互垂直平分.所以可設a（t,）,代入橢圓方程得+=1,即t=±.所以|ac|=2.(2)證明:假設四邊形oabc為菱形.來源:因為點b不是w的頂點,且acob,所以k0.由消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.設a(x1,y1),c(x2,y2),則來源:=-,=k·+m=.所以ac的中點為m.因為m為ac和ob的交點,且m0,k0,所以直線ob的斜率為-.因為k&#

12、183;-1,所以ac與ob不垂直.所以四邊形oabc不是菱形,與假設矛盾.所以當點b在w上不是w的頂點時,四邊形oabc不可能是菱形.2.(山東卷,文22)在平面直角坐標系xoy中,已知橢圓c的中心在原點o,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為.(1)求橢圓c的方程;(2)a,b為橢圓c上滿足aob的面積為的任意兩點,e為線段ab的中點,射線oe交橢圓c于點p,設=t,求實數(shù)t的值.解:(1)設橢圓c的方程為+=1(a>b>0),由題意知解得a=,b=1,因此橢圓c的方程為+y2=1.(2)􀃠當a,b兩點關于x軸對稱時,設直線ab的方程為x=m,由題意得-<

13、m<0或0<m<.將x=m代入橢圓方程+y2=1,得|y|=.所以saob=|m|=.解得m2=或m2=.又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),因為p為橢圓c上一點,所以=1.由得t2=4或t2=.又t>0,所以t=2或t=.􀃡當a,b兩點關于x軸不對稱時,設直線ab的方程為y=kx+h,將其代入橢圓的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.設a(x1,y1),b(x2,y2).由判別式>0可得1+2k2>h2,此時x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|ab|=2.因為點o

14、到直線ab的距離d=,來源:所以saob=|ab|d=×2×=|h|.又saob=,所以|h|=.令n=1+2k2,代入整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.又=t=t(+)=t(x1+x2,y1+y2)=,因為p為橢圓c上一點,所以t2=1,即=1.將代入得t2=4或t2=,又t>0,所以t=2或t=,經檢驗符合題意,綜合得t=2或t=.3.(湖北卷,文22)如圖,已知橢圓c1與c2的中心在坐標原點o,長軸均為mn且在x軸上,短軸長分別為2m,2n(m>n),過原點且不與x軸重合的直線l與c1

15、,c2的四個交點按縱坐標從大到小依次為a,b,c,d.記=,bdm和abn的面積分別為s1和s2.(1)當直線l與y軸重合時,若s1=s2,求的值;(2)當變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線l,使得s1=s2?并說明理由.解:依題意可設橢圓c1和c2的方程分別為c1: +=1,c2: +=1,其中a>m>n>0,=>1.(1)如圖1,若直線l與y軸重合,即直線l的方程為x=0,則s1=|bd|·|om|=a|bd|,s2=|ab|·|on|=a|ab|,所以=.在c1和c2的方程中分別令x=0,可得ya=m,yb=n,yd=-m,于是=.若=,則=

16、,化簡得2-2-1=0.由>1,可解得=+1.故當直線l與y軸重合時,若s1=s2,則=+1.(2)如圖2,若存在與坐標軸不重合的直線l,使得s1=s2.根據對稱性,不妨設直線l:y=kx(k>0),點m(-a,0),n(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則d1=,d2=,所以d1=d2.又s1=|bd|d1,s2=|ab|d2,所以=,即|bd|=|ab|.由對稱性可知|ab|=|cd|,所以|bc|=|bd|-|ab|=(-1)|ab|,|ad|=|bd|+|ab|=(+1)|ab|,于是=.將l的方程分別與c1,c2的方程聯(lián)立,可求得xa=,xb=.根據對稱性可知xc=

17、-xb,xd=-xa,于是=.從而由和式可得=.令t=,則由m>n,>1,可得0<t<1,于是由可解得k2=.因為k2>0,于是式關于k有解,當且僅當>0,來源:等價于(t2-1) <0.由>1,0<t<1,可解得<t<1,即<<1,由>1,解得>1+,所以當1<1+時,不存在與坐標軸不重合的直線l,使得s1=s2;當>1+時,存在與坐標軸不重合的直線l,使得s1=s2.模擬試題考點一 直線的傾斜角與斜率的關系及求法 1.(20xx廣東省中山市高三期末)直線x+(a2+1)y+

18、1=0的傾斜角的取值范圍是()(a) (b) (c) (d) 解析:易知直線的斜率k=-,a20,a2+11,-1-<0,傾斜角.答案:b2.(20xx山東淄博高三期中)設函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線的斜率為()(a)4 (b)- (c)2 (d)-解析:f(x)=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=2+2=4.答案:a考點二 直線方程的求法 1.(20xx安徽蚌埠二中4月質檢)已知兩圓c1:x2+y2+d1x+e1y-3=0和c2:x2+y2+d2x+e2y-3=0

19、都經過點(2,-1),則同時經過點(d1,e1)和點(d2,e2)的直線方程為()(a)2x-y+2=0(b)x-y-2=0(c)x-y+2=0(d)2x+y-2=0解析:由已知得兩式相減得,2(d1-d2)=e1-e2,所求直線斜率為=2.所求直線方程為y-e1=2(x-d1),即2x-y+e1-2d1=0,又2d1-e1+2=0,2x-y+2=0.答案:a2.(20xx皖南八校第三次聯(lián)考)直線2x-y+1=0關于直線x=1對稱的直線方程是()(a)x+2y-1=0(b)2x+y-1=0(c)2x+y-5=0(d)x+2y-5=0解析:設點p(x,y)為所求直線上任一點,則點p關于直線x=1

20、對稱的點為p(2-x,y),又點p在直線2x-y+1=0上,2(2-x)-y+1=0,即2x+y-5=0.答案:c3.(20xx廣東省中山市高三期末)若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為. 解析:設切點為(x0, ),則切線的斜率k=y=4,又直線x+4y-8=0的斜率是-,切線l的斜率為4,故4=4,x0=1,切點為(1,1).切線方程為y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.答案:4x-y-3=0考點三 兩條直線的位置關系的判定及應用 1.(20xx山東臨沂高三上學期期中)若曲線f(x)= ,g(x)=xa,在點p(1,1)處的切線分別為

21、l1、l2,且l1l2,則a的值為()(a)-2(b)2 (c)(d)-解析:設l1、l2的斜率分別為k1、k2,則k1=f(1)= ,k2=g(1)=a,l1l2,a=-2.答案:a2.(20xx江南十校一模)已知直線l:ax+by+c=0(a、b不全為0),兩點p1(x1,y1),p2(x2,y2),若(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)>0,且|ax1+by1+c|>|ax2+by2+c|,則()(a)直線l與p1p2不相交(b)直線l與線段p1p2的延長線相交(c)直線l與線段p2p1的延長線相交(d)直線l與線段p1p2相交解析:由(ax1+by1+c)(ax2+

22、by2+c)>0,知點p1、p2在直線l的同側,又|ax1+by1+c|>|ax2+by2+c|,所以>,即點p1到直線l的距離大于點p2到l的距離,故直線l與線段p1p2的延長線相交.答案:b考點四 距離的求法 1.(20xx安徽省高三聯(lián)考)點p到點a(1,0)和直線x=-1的距離相等,且點p到直線y=x的距離為,這樣的點p的個數(shù)是()(a)1 (b)2 (c)3 (d)4解析:點p到點a和定直線距離相等,易知p點軌跡為拋物線,方程為y2=4x.設p(t2,2t),則=,解之得t1=1,t2=1t3=1-,p點有三個,故選c.答案:c2.(20xx安徽黃山高三三校

23、聯(lián)考)已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點p到y(tǒng)軸的距離為d1,到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為()(a) +2(b) +1(c) -2(d) -1解析:設p點坐標為,則d1=,d2=,=(-1)2-4××4<0,-y+4>0恒成立.d1+d2=+=y2-+2,d1+d2的最小值為2=2-=-1.答案:d綜合檢測1.(20xx福建模擬)若點(m,n)在直線4x+3y-10=0上,則m2+n2的最小值是()(a)2 (b)2 (c)4 (d)2解析:設原點到點(m,n)的距離為d,則d2=m2+n2,又因為(m,n)在直線4x+3y-10=0上,所以原點到直線4x+3y-