高考數(shù)學理科一輪【學案37】合情推理與演繹推理含答案

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5學案37合情推理與演繹推理導學目標： 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異自主梳理自我檢測1(20xx·山東)觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(x)等于()af(x) bf(x) cg(x) dg(x)2(20xx·珠海質檢)給出下面類比推理命

2、題(其中q為有理數(shù)集，r為實數(shù)集，c為復數(shù)集)：“若a，br，則ab0ab”類比推出“若a，bc，則ab0ab”；“若a，b，c，dr，則復數(shù)abicdiac，bd”類比推出“若a，b，c，dq，則abcdac，bd”；“若a，br，則ab>0a>b”類比推出“若a，bc，則ab>0a>b”其中類比結論正確的個數(shù)是()a0 b1 c2 d33(2009·江蘇)在平面上，若兩個正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_4(20xx·陜西)觀察下列等式：132332,13233362,

3根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為_5(20xx·蘇州月考)一切奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為_探究點一歸納推理例1在數(shù)列an中，a11，an1，nn*，猜想這個數(shù)列的通項公式，這個猜想正確嗎？請說明理由變式遷移1觀察：sin210°cos240°sin 10°cos 40°；sin26°cos236°sin 6°cos 36°.由上面兩題的結構規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想探究點二類比推理例2(20xx·

4、;銀川月考)在平面內，可以用面積法證明下面的結論：從三角形內部任意一點，向各邊引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，且相應各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有1.請你運用類比的方法將此結論推廣到四面體中并證明你的結論變式遷移2在rtabc中，若c90°，acb，bca，則abc的外接圓半徑r，將此結論類比到空間有_探究點三演繹推理例3在銳角三角形abc中，adbc，beac，d、e是垂足求證：ab的中點m到d、e的距離相等變式遷移3指出對結論“已知和是無理數(shù)，證明是無理數(shù)”的下述證明是否為“三段論”，證明有錯誤嗎？證明：無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)，而與都是無理數(shù)，也是無理數(shù)1合情推

5、理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結論；證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向合情推理的過程概括為：.一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進一步證明2歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理它是一種由部分到整體，由個別到一般的推理(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理，它是一種由特

6、殊到特殊的推理3從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，把這種推理稱為演繹推理，也就是由一般到特殊的推理，三段論是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結論 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(20xx·福建廈門華僑中學模擬)定義a*b，b*c，c*d，d*a的運算分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的(a)、(b)所對應的運算結果可能是()ab*d，a*d bb*d，a*ccb*c，a*d dc*d，a*d2(20xx·廈門模擬)設f(x)，又記f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，則f2 010(x)等

7、于()a bx c. d.3由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：“mnnm”類比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb·c”；“(m·n)tm(n·t)”類比得到“(a·b)·ca·(b·c)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”；“”類比得到“”以上的式子中，類比得到的結論正確的個數(shù)是()a1

8、 b2 c3 d44(2009·湖北)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，比如：他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()a289 b1 024 c1 225 d1 3785已知整數(shù)的數(shù)對如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第60個數(shù)對是()a(3,8) b(4,7)c(4,8) d(5,7)二、填空題(每小題4分，共

9、12分)6已知正三角形內切圓的半徑是高的，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是_7(20xx·廣東深圳高級中學模擬)定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質：8(20xx·陜西)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個等式為_三、解答題(共38分)9（12分）已知數(shù)列an的前n項和為sn，a1，且sn20(n2)計算s1，s2，s3，s4，并猜想sn的表達式10(12分)(20xx·杭州調研)已知函數(shù)f(x) (a>0且a1)，(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關于點對稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)

10、f(2)f(3)的值11(14分)如圖1，若射線om，on上分別存在點m1，m2與點n1，n2，則·；如圖2，若不在同一平面內的射線op，oq和or上分別存在點p1，p2，點q1，q2和點r1，r2，則類似的結論是什么？這個結論正確嗎？說明理由學案37合情推理與演繹推理自主梳理歸納推理全部對象部分個別類比推理這些特征特殊到特殊一般原理特殊情況特殊情況一般特殊自我檢測1d由所給函數(shù)及其導數(shù)知，偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)因此當f(x)是偶函數(shù)時，其導函數(shù)應為奇函數(shù)，故g(x)g(x)2c正確，錯誤因為兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)，不能比較大小318解析兩個正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相

11、似比的平方同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為18.4132333435363212解析由前三個式子可以得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個數(shù)依次多1，等號的右邊是一個正整數(shù)的平方，后一個正整數(shù)依次比前一個大3,4，因此，第五個等式為132333435363212.5一切奇數(shù)都不能被2整除大前提21001是奇數(shù)小前提所以21001不能被2整除結論課堂活動區(qū)例1解題導引歸納分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具體到抽象的認識功能，對科學的發(fā)現(xiàn)是十分有用的，觀察、實驗，對有限的

12、資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學研究的最基本的方法之一解在an中，a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通項公式為an.這個猜想是正確的，證明如下：因為a11，an1，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以1(n1)×n，所以通項公式an.變式遷移1解猜想sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：左邊sin2cos(30°)cos(30°)sin sin2sin2cos2sin2右邊例2解題導引類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分數(shù)

13、來類比，平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等等我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理類比推理應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比、歸納、提出猜想解類比：從四面體內部任意一點向各面引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，pd，且相應各面上的高分別為ha，hb，hc，hd.則有1.證明如下：，同理有，vpbcdvpcdavpbdavpabcvabcd，1.變式遷移2在三棱錐abcd中，若ab、ac、ad兩兩互相垂直，且aba，acb，adc，則此三棱錐的外接球半徑r例3解題導引在演繹推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正確的，結論才是正確的，否則所得的結論可能就是錯

14、誤的推理時，要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關系證明(1)因為有一個內角是直角的三角形是直角三角形，大前提在abd中，adbc，即adb90°，小前提所以adb是直角三角形結論(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，大前提而m是rtadb斜邊ab的中點，dm是斜邊上的中線，小前提所以dmab.結論同理emab，所以dmem.變式遷移3解證明是“三段論”模式，證明有錯誤證明中大前提使用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的，因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，因此原理的真實性仍無法斷定課后練習區(qū)1b由(1)(2)(3)(4)圖得a表示|，b表示，c表示，d表示

15、，故圖(a)(b)表示b*d和a*c.2a計算f2(x)f，f3(x)f，f4(x)x，f5(x)f1(x)，歸納得f4ki(x)fi(x)，kn*，i1,2,3,4.f2 010(x)f2(x).3b只有、對，其余錯誤，故選b.4c設圖(1)中數(shù)列1,3,6,10，的通項公式為an，則a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.故ana1234n，an.而圖(2)中數(shù)列的通項公式為bnn2，因此所給的選項中只有1 225滿足a49b353521 225.5d觀察可知橫坐標和縱坐標之和為2的數(shù)對有1個，和為3的數(shù)對有2個，和為4的數(shù)對有3個，和為5的數(shù)對有4個，依次類推和為n1的數(shù)對有n

16、個，多個數(shù)對的排序是按照橫坐標依次增大的順序來排的，由60n(n1)120，nz，n10時，55個數(shù)對，還差5個數(shù)對，且這5個數(shù)對的橫、縱坐標之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第60個數(shù)對是(5,7)6空間正四面體的內切球的半徑是高的解析利用體積分割可證明7n8n(n1)(3n2)(2n1)2解析112,234932,345672552，第n個等式為n(n1)(3n2)(2n1)2.9解當n1時，s1a1.(2分)當n2時，2s1，s2.(4分)當n3時，2s2，s3.(6分)當n4時，2s3，s4.(8分)猜想：sn (nn*)(12分)10(1)證明函數(shù)f(x)的定義域為r，任取一點(x，y)，它關于點對稱的點的坐標為(1x，1y)(2分)由已知得y，則1y1，(4分)f(1x)，1yf(1x)即函數(shù)yf(x)的圖象關于點對稱(6分)(2)解由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.(9分)f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.(12分)11解類似的結論為：··.(4分)這個結論是正確的，證明